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高中数学竞赛平面几何讲座


第四讲

四点共圆问题

判定定理 1: 若两个直角三角形共斜边, 则四个顶点共圆, 且直角三角形的斜边为圆的直径. 判定定理 2:共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆. 判定定理 3:对于凸四边形 ABCD,若对角互补,则 A、B、C、D 四点共圆. 判定定理 4:相交弦定理的逆定理:对于凸四边形 ABCD 其对角线

AC、BD 交于 P, 若 PA·PC=PB·PD,则 A、B、C、D 四点共圆。 判定定理 5:割线定理的逆定理:对于凸四边形 ABCD 两边 AB、DC 的延长线相交于 P, 若 PB·PA=PC·PD,则 A、B、C、D 四点共圆。 托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和. 即:若四边形 ABCD 内接于圆,则有 AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD .
A D P
P C D A B

A B

C D

B

C

1 “四点共圆”作为证题目的 例 1. 给出锐角△ABC, 以 AB 为直径的圆与 AB 边的高 CC′及其延长线交于 M, N.以 AC 为直径的圆与 AC 边的高 BB′及其延长线将于 P,Q.求证:M, N,P,Q 四点共圆.(第 19 届美国数学奥林匹克)

N C′ B P

A Q B′ K M C

例 2.A、B、C 三点共线,O 点在直线外,O1,O2,O3 分别为△OAB,△OBC, △OCA 的外心.求证:O,O1,O2,O3 四点共圆. (第 27 届莫斯科数学奥林匹克) O

O1
? ?

O3 A
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O2 C

B

2 以“四点共圆”作为解题手段 (1)证角相等 例 3.在梯形 ABCD 中,AB∥DC,AB>CD,K,M 分别在 AD,BC 上, ∠DAM=∠CBK.求证:∠DMA=∠CKB.

D K A ·

C M · B

(2)证线垂直 例 4.⊙O 过△ABC 顶点 A,C,且与 AB,BC 交于 K,N(K 与 N 不同).△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于 B 和 M.求证:∠BMO=90°. (第 26 届 IMO 第五题)

A K B M N G O C

(3)判断图形形状 例 5.四边形 ABCD 内接于圆,△BCD,△ACD,△ABD,△ABC 的内心依次记 为 IA,IB,IC,ID.试证:IAIBICID 是矩形. (第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)

D
IB IA

C

IC

ID

A
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B

(4)计算 例 6.正方形 ABCD 的中心为 O,面积为 1989 ㎝ 2.P 为正方形内 一点,且∠OPB=45°,PA:PB=5:14.则 PB=__________

(5)其他 例 7.设有边长为 1 的正方形,试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大 的和一个面积最小的,并求出这两个面积(须证明你的论断). (全国高中联赛)

例 8.NS 是⊙O 的直径,弦 AB 丄 NS 于 M,P 为 ANB 上异于 N 的任一点,PS 交 AB 于 R,PM 的延长线交⊙O 于 Q.求证:RS>MQ.(1991,江苏省竞赛)

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练习题
1.⊙O1 交⊙O2 于 A,B 两点,射线 O1A 交⊙O2 于 C 点,射线 O2A 交⊙O1 于 D 点.求证:点 A 是△BCD 的内心. (提示:设法证明 C,D,O1,B 四点共圆,再证 C,D,B,O2 四点共圆,从而知 C,D,O1,B,O2 五点共圆.)

2.△ABC 为不等边三角形.∠A 及其外角平分线分别交对边中垂线于 A1,A2;同 样得到 B1,B2,C1,C2.求证:A1A2=B1B2=C1C2. (提示:设法证∠ABA1 与∠ACA1 互补造成 A,B,A1,C 四点共圆;再证 A, A2, B, C 四点共圆, 从而知 A1, A2 都是△ABC 的外接圆上, 并注意∠A1AA2=90°.)

3.设点 M 在正三角形三条高线上的射影分别是 M1,M2,M3(互不重合).求证: △M1M2M3 也是正三角形.

4.在 Rt△ABC 中,AD 为斜边 BC 上的高,P 是 AB 上的点,过 A 点作 PC 的垂 线交过 B 所作 AB 的垂线于 Q 点.求证:PD 丄 QD. (提示:证 B,Q,E,P 和 B,D,E,P 分别共圆)

5.AD,BE,CF 是锐角△ABC 的三条高.从 A 引 EF 的垂线 l1,从 B 引 FD 的垂 线 l2,从 C 引 DE 的垂线 l3.求证:l1,l2,l3 三线共点.(提示:过 B 作 AB 的垂 线交 l1 于 K,证:A,B,K,C 四点共圆)

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