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高一数学竞赛辅导讲义-第9-12讲


宜阳一高数学竞赛辅导讲座(9)
函数的基本性质
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性 等等, 在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧妙利用函数及其图象的相关性质, 可以使得问题得到简化,从而达到解决问题的目的. 一、二次函数的性质运用

例 1 设方程 x -x+1=0 的两根是α , β , 求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函 数 f(x).

2

例 2 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0<
x1 . 2

1 , a

1. 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a ? 0), 则由已知 f(α )=β ,f(β )=α 相减并整理得(α -β )[(α +β )a+b+1]=0, 因为方程 x2-x+1=0 中△ ? 0, 所以α ? β ,所以(α +β )a+b+1=0. 又α +β =1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1, 所以 c-1=1,所以 c=2. 又 b=-(a+1),所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f(α )=β 得 aα 2-(a+1)α +2=β , 所以 aα 2-aα +2=α +β =1,所以 aα 2-aα +1=0. 即 a(α 2-α +1)+1-a=0,即 1-a=0, 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2.
2【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),
1

即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以 f(x)>x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+

1 ]<0,所以 f(x)<x1. a

综上,x<f(x)<x1. (Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, 所以 x0=

a( x1 ? x 2 ) ? 1 x1 ? x 2 1 ? ? , 2a 2 2a

所以 x0 ?

x1 x2 1 1? 1? ? ? ? ? x2 ? ? ? 0 ,所以 2 2 2a 2 ? a?

x0 ?

x1 . 2

2

宜阳一高数学竞赛辅导讲座(10)
二.指数和对数的运算技巧。
例 4 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求

q 的值。 p

例 5 对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z, w,若 ax=by=cz=70w,且 证:a+b=c.

1 1 1 1 ? ? ? ,求 x y z w

例 8 解方程组: ?

x? y ? ? y 12 ?x (其中 x, y∈R+). x? y 3 ?y ?x ?

3

4【解】 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t,则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t, 所以 9 t +12 t =16 t,即 1+ ? ? ? ? ? .

?4? ?3?

t

?4? ?3?

2t

1? 5 q 12t ? 4 ? 记 x= ? t ? ? ? ,则 1+x=x2,解得 x ? . 2 p 9 ?3?


t

q q 1? 5 >0,所以 = . 2 p p

5【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以

1 1 1 1 1 1 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70, x z w w w y

相加得

?1 1 1? 1 1 1 1 1 (lga+lgb+lgc)= ? lg70,由题设 ? ? ? , ? ? ? ? ? w x y z w ?x y z?

所以 lga+lgb+lgc=lg70,所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以 a>1. 又 a≤b≤c,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c.

8.【取对数法】 【解】 两边取对数,则原方程组可化为 ? 把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6, 代入①得 lgx=2lgy,即 x=y2,所以 y2+y-6=0. 又 y>0,所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 ?

?( x ? y) lg x ? 12lg y . ①② ?( x ? y) lg y ? 3glx

? ? x1 ? 1 ? ?x ? 4 . ;? 2 ? ? y1 ? 1 ? ? y2 ? 2

4

宜阳一高数学竞赛辅导讲座(11)
函数解题方法
4.实数 x,y 满足 x2=2xsin(xy)-1,则 x1998+6sin5y=______________.

5.已知 x= 19 ? 99 是方程 x4+bx2+c=0 的根,b,c 为整数,则 b+c=__________.

8. ⑴解方程:(x+8)2001+x2001+2x+8=0

⑵解方程:

2x ? 4x 2 ? 1

x 2 ? 1 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1

? 2 ( x ?1 )

2

9.设 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,f⑴=1,f⑵=2,f⑶=3,求

1 [f⑷+f(0)]的值. 4

2.已知(3x+y)2001+x2001+4x+y=0,求 4x+y 的值.

3.解方程:ln( x ? 1 +x)+ln( 4x ? 1 +2x)+3x=0
2 2

例 7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.

4.解:如果 x、y 不是某些特殊值,则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程,可以采用配方法 (x-sin(xy))2+cos2(xy)=0 ∴ x=sin(xy) 且 cos(xy)=0 ∴ x=sin(xy)=±1 ∴ siny=1 xsin(xy)=1 原式=7 5.解:(逆向思考:什么样的方程有这样的根?) 由已知变形得 x- 19 ? 99 ∴ x2-2 19 x+19=99 即 x2-80=2 19 x
5

再平方得 x4-160x2+6400=76x2 即 x4-236x2+6400=0 ∴ b=-236,c=6400 故 b+c=6164 2001 2001 8.⑴解:原方程化为(x+8) +(x+8)+x +x=0 即(x+8)2001+(x+8)=(-x)2001+(-x) 构造函数 f(x)=x2001+x 原方程等价于 f(x+8)=f(-x) 而由函数的单调性可知 f(x)是 R 上的单调递增函数 于是有 x+8=-x x=-4 为原方程的解 ⑵两边取以 2 为底的对数得

log2

2x ? 4x 2 ? 1 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 1
2 2 2

? ( x ? 1) 2

即 log2 ( 2x ? 4x 2 ? 1 ) ? log2 ( x 2 ? 1 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 ) ? x 2 ? 2x ? 1 即 log2 ( 2x ? 4x 2 ? 1 ) ? 2x ? log2 ( x 2 ? 1 ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 ) ? ( x 2 ? 1) 构造函数 f ( x) ? log2 ( x ? x 2 ? 1 ) ? x
于是 f(2x)=f(x2+1) 易证:f(x)世纪函数,且是 R 上的增函数, 所以:2x=x2+1 解得:x=1 9.解:由已知,方程 f(x)=x 已知有三个解,设第四个解为 m, 记 F(x)=f(x)-x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m) ∴ f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-m)+x f⑷=6(4-m)+4 f(0)=6m ∴
1 [f⑷+f(0)]=7 4

2. 解:构造函数 f(x)=x2001+x,则 f(3x+y)+f(x)=0 逐一到 f(x)的奇函数且为 R 上的增函数, 所以 3x+y=-x 故 4x+y=0 3 .解:构造函数 f(x)=ln( x ? 1 +x)+x
2

则由已知得:f(x)+f(2x)=0 不难知,f(x)为奇函数,且在 R 上是增函数(证明略) 所以 f(x)=-f(2x)=f(-2x) 由函数的单调性,得 x=-2x 所以原方程的解为 x=0 例 7 【解】 方程可化为 ? ? ? ? ? ? ? ? =1。设 f(x)= ? ? ? ? ? ? ? ? , 则 f(x) 在(-∞,+∞)上是减函数,因为 f(3)=1,所以方程只有一个解 x=3.
6

?1? ?2?

x

?2? ?3?

x

?5? ?6?

x

?1? ?2?

x

?2? ?3?

x

?5? ?6?

x

宜阳一高数学竞赛辅导讲座(12)
3 2. 已知 a , b 是常数, 函数 f ( x) ? ax ? b ln( x ?

x 2 ? 1) ? 3 在 (??,0) 上的最大值为 10,

则 f ( x) 在 (0,??) 上的最小值为



5. 函数 y= x 2 ? 4x ? 5 ? x 2 ? 4x ? 8 的最小值是______________.

例 2 求函数 f(x)= x ? 3x ? 6 x ? 13 ?
4 2

x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。

例 6 解方程:(3x-1)( 9x 2 ? 6x ? 5 ? 1)+(2x-3)( 4x 2 ? 12x ? 13 +1)=0.

? 2x ? 3 y ? 0 12 . 若 实 数 x , y 满 足 条 件 : ? 2 ,则 2 x ? y 的最小值 2 4 x ? 9 y ? 36 ?
为 。
1 x

13.设 x>0,求 y= x ?

-- x ?

1 ? 1 的最大值。 x

2.【奇偶性-4】5.提示:利用两点间距离公式处理 y= (x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (x ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 表示动点 P(x,0)到两定点 A(-2,-1)和 B(2,2)的距离之和 当且仅当 P、A、B 三点共线时取的最小值,为|AB|=5 例 2【解】 f(x)= ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? ( x ? 0) ,记点 P(x, x-2),A(3,2) ,
2 2 2 2 2 2

B(0,1) ,则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。
2 2 因为|PA|-|PA|≤|AB|= 3 ? ( 2 ? 1) ? 10 ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点

时等号成立。
7

所以 f(x)max= 10. 例 6【解】 令 m=3x-1, n=2x-3,方程化为 m( m 2 ? 4 +1)+n( n 2 ? 4 +1)=0. ①

若 m=0,则由①得 n=0,但 m, n 不同时为 0,所以 m ? 0, n ? 0. ⅰ)若 m>0, 则由①得 n<0, 设 f(t)=t( t 2 ? 4 +1),则 f(t)在 (0, +∞) 上是增函数。 又 f(m)=f(-n),

4 5 4 ⅱ)若 m<0,且 n>0。同理有 m+n=0,x= ,但与 m<0 矛盾。 5 4 综上,方程有唯一实数解 x= . 5
所以 m=-n,所以 3x-1+2x-3=0,所以 x= .

12. 【答案】 4 2 【解答】由条件知, 2 x ? 3 y ? 0 , 2 x ? 3 y ? 0 ,因此, 2x ? 3 y , x ? 0 。 由对称性,不妨设 y ? 0 ,则 2 x ? y ? 2x ? y 。 设 2x ? y ? t , 代 入 4x2 ? 9 y2 ? 36 , 消

x 并 整 理 , 得

8 y2 ? 2ty ? 36 ? t 2 ? 0 。………… ①
由①的判别式 △ ? 4t 2 ? 32(36 ? t 2 ) ? 0 ,得 t ? ?4 2 或 t ? 4 2 。 由 2x ? 3 y ? y 知, t ? 2 x ? y ? 0 , t ? 4 2 。 又 t ? 4 2 时,①化为 8 y2 ? 8 2 y ? 4 ? 0 ,得 y ?
2x ? 3y ? 0 。

2 9 2 ,此时 x ? ,符合 2 4



t 的最小值为 4 2 。因此, 2 x ? y 的最小值为 4 2 。
1 x
+ x?

13.(对偶原理)设 u= x ?

1 。 ? 1 ,则 u 就是我们所需要对 y 的对偶量(函数) x
1 2? 3 ? 2- 3

此时 yu=1,由于 u ? 2 ? 2 ? 1 ,故 u 最小值为 2+ 3 , 故 y 最大值为

注:基本不等式: a ?

1 1 ? 2 a ? (a ? 0) a a
8



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