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第03讲函数的基本性质


普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

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高三新数学第一轮复习教案(讲座 3)—函数的基本性质
一.课标要求
1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何 意义; 2.结合具体函数,了解奇偶性的含义;<

br />
二.命题走向
从近几年来看,函数性质是高考命题的主线索,不论是何种函数,必须与函数性质 相关联,因此在复习中,针对不同的函数类别及综合情况,归纳出一定的复习线索。 预测 2007 年高考的出题思路是:通过研究函数的定义域、值域,进而研究函数的单 调性、奇偶性以及最值。 预测明年的对本讲的考察是: (1)考察函数性质的选择题 1 个或 1 个填空题,还可能结合导数出研究函数性质的 大题; (2)以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质,以组合形式、一题多角度 考察函数性质预计成为新的热点。

三.要点精讲
1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函 数;如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性 质,则 f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: 1 ○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的 任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 ○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 2 ○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○ 作出相应结论:
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若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个 函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x ) , g ( x ) 的定义域分别是 D 1 , D 2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数(减函数) ; 注意: 1 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (2) 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数 y= f[g(x)],其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间,B 是映 射 g : x→u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方) ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ○ 。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x ) ? 增函数 g ( x ) 是增函数; 减函数 f ( x ) ? 减函数 g ( x ) 是减函数;

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增函数 f ( x ) ? 减函数 g ( x ) 是增函数; 减函数 f ( x ) ? 增函数 g ( x ) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意: 1 ○ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; 2 ○ 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤M(f(x)≥M) 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值; 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减, 在区间[b, c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 4.周期性 (1) 定义: 如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)= f(x),则称 f(x)为周期函数; (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ?
T 2 ) ? f (x ? T 2 ), 若 f(x)的周期中,存在一个最

小的正数,则称它为 f(x)的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0) 是周期函数,且周期为
T |? |



四.典例解析
题型一:判断函数的奇偶性 例 1.讨论下述函数的奇偶性:

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(1 ) f ( x ) ?

16

x

?1 ? 2 2
x

x

;

?1 n ( x ? 1 ? ? (2) f ( x) ? ?0 ? ?1 n ( 1 ? x ? x
2

x )( x ? 0 ) ( x ? 0) ? x )( x ? 0 ) ;

( 3 ) f ( x ) ? 1 og 2 ( 1 ? x

2

?

? 1 ? 1 );

(4) f ( x) ?

a

2

? x

2

| x ? a | ?a

( 常数 a ? 0 );

解: (1)函数定义域为 R,

f (? x) ?

16

?x

?1 ? 2 2
?x

?x

? 2

x

1 16
x

?1 ?1? 2

x

?

1 ? 16 4
x

x

?1?

16

x

?1 ? 2 2
x

x

? f (x) ,

∴f(x)为偶函数; (另解)先化简: f ( x ) ?
16 4
x x

?1

?1?

4

x

? 4

?x

?1

,显然 f ( x ) 为偶函数;从这

可以看出,化简后再解决要容易得多。 (2)须要分两段讨论: ①设
x ? 0 ,? ? x ? 0 , ? f ( ? x ) ? 1n ( 1 ? x ? x ) ? 1n 1 x ?1 ? x ? ? 1n ( x ?1 ? x ) ? ? f ( x );

②设
x ? 0 ,? ? x ? 0 , ? f ( ? x ) ? 1n ( ? x ?1 ? ? x ) ? 1n 1 1? x ? ? x ? ? 1n ( 1 ? x ? ? x ) ? ? f (x)

③当 x=0 时 f(x)=0,也满足 f(-x)=-f(x); 由①、②、③知,对 x∈R 有 f(-x) =-f(x), ∴f(x)为奇函数; (3)? ?
? ?1 ? x ?x ?
2 2

? 0

?1? 0

? x

2

? 1 ,∴函数的定义域为 x ? ? 1 ,

∴f(x)=log21=0(x=±1) ,即 f(x)的图象由两个点 A(-1,0)与 B(1,0)组成, 这两点既关于 y 轴对称,又关于原点对称,∴f(x)既是奇函数,又是偶函数; (4)∵x2≤a2, ∴要分 a >0 与 a <0 两类讨论,

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①当 a >0 时, ?

?? a ? x ? a ? | x ? a |? a

? 函数的定义域为

[( ? a , 0 ) ? ( 0 , a )],

? | x ? a |? 0 ,? f ( x ) ?

a

2

? x x

2

,∴当 a >0 时,f(x)为奇函数;

? | x ? a |? 0 , ? f ( x ) ?

a

2

? x

2

? x ? 2a

,取定义域内关于原点对

称 的 两 点 x1 ?

a 2

, x2 ? ?

a 2

,

? f (

a 2

) ? f (?

a 2

) ?

3 5

?

3 3

? 0 , ? 当 a ? 0 时 , f ( x ) 既不是奇函数,也不是偶函

数. 点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数 的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要 保证定义域不变) 。 例 2.(2002 天津文.16)设函数 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数:①y=- |f(x)|;②y=xf(x2) ;③y=-f(-x) ;④y=f(x)-f(-x) 。 必为奇函数的有_____(要求填写正确答案的序号) 答案:②④;解析:y=(-x)f[ (-x)2]=-xf(x2)=-y;y=f(-x)-f(x)= -y。 点评:该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。 题型二:奇偶性的应用 例 3. (2002 上海春,4)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3 (1+x) ,则 f(-2)=____ _。 答案:-1;解:因为 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,又 f(x)为奇函数,所以 f(- x)=-f(x) ,设 x<0,所以 f(x)=-f(-x)=-f(1-x) ,所以 f(-2)=-log33=-1。 点评:该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称 区域上函数的取值。 例 4.已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2-x),且 f(x)是偶函数,当 x∈ [0,2]时,f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式。 解:由条件可以看出,应将区间[-4,0]分成两段考虑: ①若 x∈[-2,0],-x∈[0,2], ∵f(x)为偶函数, ∴当 x∈[-2,0]时,f(x)= f(-x)=-2x-1, ②若 x∈[-4,-2 ) ,

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∴4+ x∈[0,2 ) , ∵f(2+x)+ f(2-x), ∴f(x)= f(4-x), ∴f(x)= f(-x)= f[4-(-x)]= f(4+x)=2(x+4)-1=2x+7; 综上, f ( x ) ? ?
?2 x ? 7 ?? 2 x ? 1 ( ? 4 ? x ?? 2 ) (?2 ? x ? 0) .

点评:结合函数的数字特征,借助函数的奇偶性,处理函数的解析式。 题型三:判断证明函数的单调性 例 5. (2001 天津,19)设 a ? 0 , f ( x ) ?
e
x

?

a e
x

是 R 上的偶函数。

a

(1)求 a 的值; (2)证明 f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上为增函数。
1 ae
x

解: (1)依题意,对一切 x ? R ,有 f ( ? x ) ? f ( x ) ,即
1 a 1 e
x

? ae

x

?

e

x

?

a e
x



a

∴ (a ?

)( e ?
x

) ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a ?

1 a

? 0 ,∴ a ? ? 1 ,

∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 。
x x (2)(定义法)设 0 ? x 1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? e ?
1 2

1 e
x1

?

1 e
x2

? (e

x2

? e 1 )(
x

1 e
x1 ? x 2

? 1) ? e 1 ( e
x

x 2 ? x1

? 1)

1? e e

x 2 ? x1

x 2 ? x1


x 2 ? x1

由 x 1 ? 0 , x 2 ? 0 , x 2 ? x 1 ? 0 ,得 x 1 ? x 2 ? 0 , e ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,

? 1 ? 0 ,1 ? e

x 2 ? x1

? 0,

即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,∴ f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上为增函数。 (导数法)∵ a ? 1 , x ? ( 0 , ? ? )
1 e
x

x ∴ f ?( x ) ? ( e ?

)? ? e ?
x

1 e
x

?

(e ) ? 1
x 2

e
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x

? 0

∴ f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上为增函数

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点评:本题用了两种方法:定义法和导数法,相比之下导数法比定义法更为简洁。 例 6.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,对 x∈R 有 f(x)>0,且 f(5)=1,设 F(x)= f(x)+
1 f (x)

,讨论 F (x)的单调性,并证明你的结论。

解:这是抽角函数的单调性问题,应该用单调性定义解决。 在 R 上任取 x1、x2,设 x1<x2,∴f(x2)= f(x1),
F ( x 2 ) ? F ( x1 ) ? [ f ( x 2 ) ? ? [ f ( x 2 ) ? f ( x 1 )][ 1 ? 1 f (x2 ) 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) ] ? [ f ( x1 ) ? 1 f ( x1 ) ]

],

∵f(x)是 R 上的增函数,且 f(10)=1, ∴当 x<10 时 0< f(x)<1, 而当 x>10 时 f(x)>1; ① 若 x1<x2<5,则 0<f(x1)<f(x2)<1, ② ∴0< f(x1)f(x2)<1, ∴1 ?
1 f ( x1 ) f ( x 2 )

<0,

∴F (x2)< F(x1); ②若 x2 >x1>5,则 f(x2)>f(x1)>1 , ∴f(x1)f(x2)>1, ∴1 ?
1 f ( x1 ) f ( x 2 )

>0,

∴ F(x2)> F (x1); 综上,F (x)在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数。 点评:该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的 问题,其基本能力是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点。 题型四:函数的单调区间 例 7. (2001 春季北京、安徽,12)设函数 f(x)= 单调区间,并证明 f(x)在其单调区间上的单调性。 .解:在定义域内任取 x1<x2, ∴f(x1)-f(x2)=
x1 ? a x2 ? b ? x2 ? a x2 ? b ? ( x 1 ? a )( x 2 ? b ) ? ( x 1 ? b )( x 2 ? a ) ( x 1 ? b )( x 2 ? b )
x ? a x ? b

(a>b>0) ,求 f(x)的

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?

( b ? a )( x 1 ? x 2 ) ( x 1 ? b )( x 2 ? b )



∵a>b>0,∴b-a<0,x1-x2<0, 只有当 x1<x2<-b 或-b<x1<x2 时函数才单调. 当 x1<x2<-b 或-b<x1<x2 时 f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x)在(-b,+∞)上是单调减函数,在(-∞,-b)上是单调减函数. 点评:本小题主要考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调 性的定义求函数的单调区间。
2 例 8. (1)求函数 y ? lo g 0 .7 ( x ? 3 x ? 2 ) 的单调区间;

(2)已知 f ( x ) ? 8 ? 2 x ? x , 若 g ( x ) ? f ( 2 ? x ) 试确定 g ( x ) 的单调区间和单调
2 2

性。 解: (1)函数的定义域为 ( ?? ,1 ) ? ( 2 , ?? ) , 分解基本函数为 y ? log 显然 y ? log
t 、t ? x
2

0 .7

? 3x ? 2
2

0 .7

t 在 ( 0 , ?? ) 上是单调递减的,而 t ? x

? 3 x ? 2 在 ( ?? ,1 ), ( 2 , ?? ) 上

分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则:
2 所以函数 y ? lo g 0 .7 ( x ? 3 x ? 2 ) 在 ( ?? ,1 ), ( 2 , ?? ) 上分别单调递增、单调递减。

(2)解法一:函数的定义域为 R,
2 分解基本函数为 g ? f ( t ) ? ? t ? 2 x ? 8 和 t ? 2 ? t 。
2

显然 g ? f ( t ) ? ? t ? 2 x ? 8 在 (1, ?? ) 上是单调递减的, ( ?? ,1 ) 上单调递增;
2

而 t ? 2? x
2? x
2

2

在 ( ?? , 0 ), ( 0 , ?? ) 上 分 别 是 单 调 递 增 和 单 调 递 减 的 。 且

? 1 ? x ? ?1 ,

根据复合函数的单调性的规则: 所以函数的单调增区间为 ( ? ? , ? 1), ( 0 ,1) ;单调减区间为 (1, ? ? ), ( ? 1, 0 ) 。
4 2 解法二: g ( x ) ? 8 ? 2 ( 2 ? x ) ? ( 2 ? x ) ? ? x ? 2 x ? 8 ,
2 2 2

g ?( x ) ? ? 4 x ? 4 x ,
3

第 8 页 共 14 页

令 g ? ( x ) ? 0 ,得 x ? ? 1 或 0 ? x ? 1 , 令 g ?( x ) ? 0 , x ? 1 或 ? 1 ? x ? 0 ∴单调增区间为 ( ? ? , ? 1), ( 0 ,1) ;单调减区间为 (1, ? ? ), ( ? 1, 0 ) 。 点评:该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。 题型五:单调性的应用 例 9.已知偶函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,解不等式 f[log2(x2+5x+4)] ≥0。 解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为 f[log2(x2+5x+4)]≥f(2)。 又∵f(x)为偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-∞,0)上为减函数且 f(-2)=f(2)=0。 ∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ① 或 log2(x2+5x+4)≤-2 ② 由①得 x2+5x+4≥4,∴x≤-5 或 x≥0 ③ 由②得 0<x2+5x+4≤
?5? 2 10

1 4


?5? 2 10

≤x<-4 或-1<x≤



由③④得原不等式的解集为 {x|x≤-5 或
?5? 2 10

≤x≤-4 或-1<x≤

?5? 2

10

或 x≥0 } 。

例 10.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)在[0,+∞]上是增函数,是否存在实 数 m,使 f(cos2θ -3)+f(4m-2mcosθ )>f(0)对所有θ ∈[0, 符合条件的所有实数 m 的范围,若不存在,说明理由。 解:∵f(x)是 R 上的奇函数,且在[0,+∞]上是增函数, ∴f(x)是 R 上的增函数,于是不等式可等价地转化为 f(cos2θ -3)>f(2mcosθ -4m), 即 cos2θ -3>2mcosθ -4m,即 cos2θ -mcosθ +2m-2>0。 设 t=cosθ ,则问题等价地转化为函数 g(t)?=t2-mt+2m-2=(t-
m 2

?
2

]都成立?若存在,求出

)2-

m 4

2

+2m-2 在[0,1]上的值恒为正,又转化为函

数 g(t)在[0,1]上的最小值为正。 ∴当
m 2

<0,即 m<0 时,g(0)=2m-2>0 ? m>1 与 m<0 不符;
m 2

当 0≤

≤1 时,即 0≤m≤2 时,g(m)=-

m 4

2

+2m-2>0 ? 4-2

2

<m<4+2

2



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∴4-2 当
m 2

2

<m≤2

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>1,即 m>2 时,g(1)=m-1>0 ? m>1。

∴m>2 综上,符合题目要求的 m 的值存在,其取值范围是 m>4-2
2


?
2

另法(仅限当 m 能够解出的情况): cos2θ -mcosθ +2m-2>0 对于θ ∈[0, 立,等价于 m>(2-cos2θ )/(2-cosθ ) 对于θ ∈[0, ∵当θ ∈[0,
?
2

]恒成

?
2

]恒成立
2

]时,(2-cos2θ )/(2-cosθ ) ≤4-2

,∴m>4-2

2



点评:上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。 题型六:最值问题 例 11. (2002 全国理,21)设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R。 (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的最小值。 解: (1)当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x) ,此时 f(x)为偶函数。 2 2 当 a≠0 时,f(a)=a +1,f(-a)=a +2|a|+1,f(-a)≠f(a) ,f(-a)≠-f(a) 。 此时函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数。 (2)①当 x≤a 时,函数 f(x)=x2-x+a+1=(x-
1 2 1 2

)2+a+

3 4



若 a≤

,则函数 f(x)在(-∞,a)上单调递减,从而,函数 f(x)在(-∞,a)

上的最小值为 f(a)=a2+1。 若 a> f(a) 。 ②当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x-a+1=(x+
1 2 1 2 1 2

,则函数 f(x)在(-∞,a ] 上的最小值为 f(

1 2

)=

3 4

+a,且 f(

1 2

)≤

)2-a+

3 4



若 a≤- ≤f(a) 。

,则函数 f(x)在[a,+∞ ) 上的最小值为 f(-

1 2

)=

3 4

-a,且 f(-

1 2



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若 a>-

1 2

,则函数 f(x)在[a,+∞]上单调递增,从而,函数 f(x)在[a,+

∞]上的最小值为 f(a)=a2+1。 综上,当 a≤-
1 2 1 2 1 2 1 2 3 4

时,函数 f(x)的最小值是

3 4

-a。

当-

<a≤

时,函数 f(x)的最小值是 a2+1。

当 a>

时,函数 f(x)的最小值是 a+



点评:函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题,如果平时注意知识的积累, 对解此题会有较大帮助.因为 x∈R,f(0)=|a|+1≠0,由此排除 f(x)是奇函数的可能性. 运用偶函数的定义分析可知,当 a=0 时,f(x)是偶函数,第 2 题主要考查学生的分类讨 论思想、对称思想。 例 12.设 m 是实数,记 M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+
1 m ?1

)。

(1)证明:当 m∈M 时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意 义,则 m∈M; (2)当 m∈M 时,求函数 f(x)的最小值; (3)求证:对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1。 (1)证明:先将 f(x)变形:f(x)=log3[(x-2m)2+m+ 当 m∈M 时,m>1,∴(x-m)2+m+ 故 f(x)的定义域为 R。 反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意义,则只须 x2-4mx+4m2+m+ 令Δ <0,即 16m2-4(4m2+m+
1 m ?1 1 m ?1 1 m ?1 1 m ?1 1 m ?1

],

>0 恒成立,

>0。

)<0,解得 m>1,故 m∈M。 ,

(2)解析:设 u=x2-4mx+4m2+m+ ∵y=log3u 是增函数, ∴当 u 最小时,f(x)最小。 而 u=(x-2m)2+m+
1 m ?1



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显然,当 x=m 时,u 取最小值为 m+ 此时 f(2m)=log3(m+
1 m ?1

1 m ?1



)为最小值。
1 m ?1

(3)证明:当 m∈M 时,m+

=(m-1)+

1 m ?1

+1≥3,

当且仅当 m=2 时等号成立。 ∴log3(m+
1 m ?1

)≥log33=1。

点评:该题属于函数最值的综合性问题,考生需要结合对数函数以及二次函数的性 质来进行处理。 题型七:周期问题 例 13.若 y=f(2x)的图像关于直线 x ? 为( A. )
a ? b 2 a 2

和x ?

b 2

( b ? a ) 对称,则 f(x)的一个周期

B. 2 ( b ? a )
a 2

C.

b ? a 2

D. 4 ( b ? a )

解:因为 y=f(2x)关于 x ?

对称,所以 f(a+2x)=f(a-2x)。

所以 f(2a-2x)=f[a+(a-2x)]=f[a-(a-2x)]=f(2x)。 同理,f(b+2x) =f(b-2x), 所以 f(2b-2x)=f(2x), 所以 f(2b-2a+2x)=f[2b-(2a-2x)]=f(2a-2x)=f(2x)。 所以 f(2x)的一个周期为 2b-2a, 故知 f(x)的一个周期为 4(b-a)。选项为 D。 点评:考察函数的对称性以及周期性,类比三角函数中的周期变换和对称性的解题 规则处理即可。若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称(a≠b) ,则这个函数是周 期函数,其周期为 2(b-a) 。 例 14 . 已 知 函 数 y ? f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 函 数 , 周 期 T ? 5 , 函 数
y ? f ( x )( ? 1 ? x ? 1) 是奇函数 又知 y ? f ( x ) 在 [ 0 , 1] 上是一次函数, [1, 4 ] 上是二次函 在
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数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ? 5 。 ①证明: f (1) ? f ( 4 ) ? 0 ;

第 12 页 共 14 页

②求 y ? f ( x ), x ? [1, 4 ] 的解析式; ③求 y ? f ( x ) 在 [ 4 , 9 ] 上的解析式。 解:∵ f ( x ) 是以 5 为周期的周期函数, ∴ f ( 4 ) ? f ( 4 ? 5 ) ? f ( ? 1) , 又∵ y ? f ( x )( ? 1 ? x ? 1) 是奇函数, ∴ f (1) ? ? f ( ? 1) ? ? f ( 4 ) , ∴ f (1) ? f ( 4 ) ? 0 。 ②当 x ? [1, 4 ] 时,由题意可设 f ( x ) ? a ( x ? 2 ) ? 5 ( a ? 0 ) ,
2

由 f (1) ? f ( 4 ) ? 0 得 a (1 ? 2 ) ? 5 ? a ( 4 ? 2 ) ? 5 ? 0 ,
2 2

∴a ? 2 , ∴ f ( x ) ? 2 ( x ? 2 ) ? 5 (1 ? x ? 4 ) 。
2

③∵ y ? f ( x )( ? 1 ? x ? 1) 是奇函数, ∴ f (0 ) ? 0 , 又知 y ? f ( x ) 在 [ 0 , 1] 上是一次函数, ∴可设 f ( x ) ? k x ( 0 ? x ? 1) ,而 f (1) ? 2 (1 ? 2 ) ? 5 ? ? 3 ,
2

∴ k ? ? 3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? ? 3 x , 从而当 ? 1 ? x ? 0 时, f ( x ) ? ? f ( ? x ) ? ? 3 x ,故 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x ) ? ? 3 x 。 ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ? 1 ? x ? 5 ? 1 , ∴ f ( x ) ? f ( x ? 5) ? ? 3( x ? 5) ? ? 3 x ? 1 5 。 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 , ∴ f ( x ) ? f ( x ? 5 ) ? 2[( x ? 5 ) ? 2 ] ? 5 ? 2 ( x ? 7 ) ? 5
2 2

第 13 页 共 14 页

∴ f (x) ? ?

? ? 3 x ? 1 5, ? 2 ( x ? 7 ) ? 5,
2

4 ? x ? 6 6 ? x ? 9



点评:该题属于普通函数周期性应用的题目,周期性是函数的图像特征,要将其转 化成数字特征。

五.思维总结
1.判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定 义的等价形式:f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0; 2.对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上,要 明确对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点 对称 这是函数具备奇偶性的必要条件。 稍加推广, 可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称 的充要条件是对定义域内的任意 x,都有 f(x+a)=f(a-x)成立 函数的奇偶性是其相应图象的 特殊的对称性的反映; 3.若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)=0,因此, “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分 非必要条件; 4.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的对称 性可以判断函数的奇偶性。 5.若存在常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立,则称 T 为函数 f(x) 的周期,一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集。 6.单调性是函数学习中非常重要的内容,应用十分广泛,由于新教材增加了“导数” 的内容,所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高,因此解决具体函数的单调性问 题,一般求导解决,而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。 注意,关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析,严格的解答还是应该运 用定义或求导解决。
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