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2014届高三数学(人教A版)一轮复习练习曲:限时规范特训 选修4-1 几何证明选讲 第2讲 Word版含解析]


选修 4-1

第2讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 吉林月考]如图,P 是圆 O 外一点,过 P 引圆 O 的两条割 线 PB、PD,PA=AB= 5,CD=3,则 PC 等于( A. 2 或-5 C. 3 答案:B 解析:设 PC=x,由割线定理知 PA· PB=PC· PD. 即 5×2 5

=x(x+3),解得 x=2 或 x=-5(舍去).故选 B. 2. 如图,⊙O 中弦 AB、CD 相交于点 F,AB=10,AF=2.若 CF∶DF=1∶4,则 CF 的长等于( A. C. 3 答案:B 解析:∵CF∶DF=1∶4,∴DF=4CF. ∵AB=10,AF=2,∴BF=8. ∵CF· DF=AF· BF,∴CF· 4CF=2×8,∴CF=2. 3. [2013· 广州调研]如图, 四边形 ABCD 内接于⊙O, BC 是直径, MN 与⊙O 相切,切点为 A,∠MAB=35° ,则∠D=( A. 35° C. 125° 答案:C 解析:连接 BD,则∠MAB=∠ADB=35° ,由 BC 是直径,知∠BDC=90° ,所以∠D= ∠ADB+∠BDC=125° . 4. [2013· 海淀区期末]如图, 半径为 2 的⊙O 中, ∠AOB=90° , D 为 OB 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,则线段 DE 的长为 ( ) A. C. 5 5 3 5 5 B. D. 2 5 5 3 2 B. 90° D. 150° ) 2 ) B. 2 D. 2 2 B. 2 D. 10 )

答案:C

解析:延长 BO 交圆 O 于点 F,由 D 为 OB 的中点,知 DF= 3, DB=1, 又∠AOB=90° , 所以 AD= 5, 由相交弦定理知 AD· DE 3 5 =DF· DB,即 3×1= 5×DE,解得 DE= . 5 5. [2013· 北京模拟]如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D, E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G. 给出下列三个结论: ①AD+AE=AB+BC+CA; ②AF· AG=AD· AE; ③△AFB∽△ADG. 其中正确结论的序号是( A. ①② C. ①③ 答案:A 解析: AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD+AE, 故①正确; ∵AE2=AF· AG,AD2=AF· AG, ∴AE2· AD2=(AF· AG)2. ∴AE· AD=AF· AG,故②正确; 连接 FD,∠AFB+∠BFG=∠FDG+∠BFG=180° , ∴∠AFB=∠FDG≠∠ADG. ∴△AFB 与△ADG 不相似,故③不正确. 6. [2013· 南通模拟]如图,已知 EB 是半圆 O 的直径,A 是 BE 延长线上一点, AC 切半圆 O 于点 D, BC⊥AC 于点 C, DF⊥EB 于点 F,若 BC=6,AC=8,则 DF=( A. 1 C. 4 答案:B 解析:设圆的半径为 r,AD=x, 连接 OD,得 OD⊥AC. 故 AD OD x r = ,即 = , AC BC 8 6 B. 3 D. 6 ) ) B. ②③ D. ①②③

4 故 x= r. 3 又由切割线定理 AD2=AE· AB, 即 16 2 15 r =(10-2r)×10,故 r= . 9 4

AD DF 由三角形相似,知 = ,则 DF=3. AB BC

二、填空题 7. [2013· 银川模拟]如图,直线 PC 与⊙O 相切于点 C,割线 PAB 经过圆心 O,弦 CD⊥AB 于点 E,PC=4,PB=8,则 CE =________. 12 答案: 5 解析:由切割线定理知 PA· PB=PC2,所以 PA=2,则圆的直径为 6,半径为 3,所以 OC· PC PO=5, 连结 OC 在△OCP 中, 由三角形的面积相等知 CE· OP=OC· PC, 所以 CE= = OP 3×4 12 = . 5 5 8. 如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延 长线上一点,且 DF=CF= 2,AF∶FB∶BE=4∶2∶1,若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为________. 答案: 7 2

解析:因为 AF∶FB∶BE=4∶2∶1,所以可设 AF=4x,FB=2x,BE=x.由割线定理, 1 1 得 AF· FB=DF· FC,即 4x×2x= 2× 2,解得 x= .所以 AF=2,FB=1,BE= .由切线长 2 2 1 1 7 定理,得 EC2=BE· EA,即 EC2= ×( +3),解得 EC= . 2 2 2 9. [2013· 梅州质检]如图,AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C,使 BC=2OB,CD 是圆 O AD 的切线,切点为 D,连接 AD,BD,则 的值为________. BD

答案: 2 解析:连接 OD,则 OD⊥CD.设圆 O 的半径为 r,则 OA=OB=OD=r,BC=2r.所以 OC=3r,CD= OC2-OD2=2 2r.由弦切角定理,得∠CDB=∠CAD,又∠DCB=∠ACD, AD AC 4r 所以△CDB∽△CAD.所以 = = = 2. BD CD 2 2r 三、解答题 10. [2013· 惠州模拟]如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,ADE、CFD 和 CGE 都是 ⊙O 的割线,AC=AB.

(1)证明:AC2=AD· AE; (2)证明:FG∥AC. 证明:(1)∵AB 是⊙O 的一条切线,∴AB2=AD· AE.又∵AC=AB,∴AC2=AD· AE. AC AE (2)∵AC2=AD· AE,∴ = ,又∵∠DAC=∠CAE, AD AC ∴△CAD∽△EAC,∴∠ACD=∠AEC. 又∵四边形 DEGF 是⊙O 的内接四边形, ∴∠CFG=∠AEC,∴∠ACD=∠CFG. ∴FG∥AC. 11. [2013· 济宁模拟]如图,AB 是圆 O 的直径,以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P.过点 A 作直线交圆 O 于点 Q,交圆 B 于点 M,N.

(1)求证:QM=QN; 10 (2)设圆 O 的半径为 2,圆 B 的半径为 1,当 AM= 时,求 MN 的长. 3 解:(1)连接 BM,BN,BQ,BP, ∵B 为小圆的圆心,∴BM=BN. 又∵AB 为大圆的直径,∴BQ⊥MN. ∴QM=QN. (2)∵AB 为大圆的直径,∴∠APB=90° . ∴AP 为圆 B 的切线. ∴AP2=AM· AN. 由已知 AB=4,PB=1,AP2=AB2-PB2=15, 10 10 10 又 AM= ,∴15= ×( +MN). 3 3 3 7 ∴MN= . 6

12. [2013· 沈阳检测]如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平 分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M.

(1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM· MB=DF· DA. 解:(1)连接 OC,则有∠OAC=∠OCA,

又∵CA 是∠BAF 的角平分线, ∴∠OAC=∠FAC. ∴∠FAC=∠ACO. ∴OC∥AD. ∵CD⊥AF, ∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线. (2)连接 BC,在 Rt△ACB 中,CM⊥AB, ∴CM2=AM· MB. 又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC2=DF· DA. 易知△AMC≌△ADC,∴DC=CM. ∴AM· MB=DF· DA.


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