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几何起码常识凸显数学课本有一系列重大错误 3


几何起码常识凸显数学课本有一系列重大错误 ——不能不重视著名数学家朱梧槚的“超人”发现
黄小宁(通讯:广州市华南师大南区 9-303 邮编 510631)

[摘要]相等的图形必合同——此几何起码 常识 c 和区间概念使中学生也能一下子认识 2500 年都无人能 .. 识的 R 外标准无穷大、小正数以及 2300 多年初等几何一直未能识的等长却不合同的直线段。不识这类“更 无理”的数和直线段使中学几百年解析几何一直张冠李戴地将两异点集误为同一点集,从而将无穷多各异 射线误为同一线,继而产生出病态的“高深”理论:直线段的部分点可与全部点一样多;射线可≌其真子 集;巴拿赫-塔尔斯基定理。 [关键词]貌似重合的伪二重直线段(只有重叠关系而无重合关系);等长却不合同的直线段;用而不知 的“更无理”数;推翻百年集论和百年“R完备、封闭”论;推翻巴拿赫-塔尔斯基定理;著名数学家朱梧槚; 保距变换 百年集论被誉为是“人类最伟大的创造之一” 集 A 各元 x 保距(偏离原位)变为 x′=x+△x 生成 (胡作玄《引起纷争的金苹果》27 页,福建教育出 的 B≌A,当△x≡0 时 B=A≌A。A≌B≠A 是说 A 与 B 版社,1993)。“最伟大数学家”希尔伯特断言: 是不同地点的同一图形。极显然:点集:.....各点 任何人都不能推翻集合论。然而中国著名数学家朱 任意交换位置后还是原来的点集,但点与点之间的 梧槚教授及肖奚安、杜国平、宫宁生教授却“超人” 距离变大(小)后(集的组成成员没变但组织结构 地洞察到“集合论中的无穷集都是自相矛盾的非集 变了)就不能还是原点集了。所以不改变组成成员 [1] ”。这就是说“定义:可与其真子集对等的集称为 的变距变换必改变点集的组织结构。 无穷集”中的“无穷集”是自相矛盾的非集;换言 铜球是铜分子的集合 A, A 变形为铜版是因其组 之,根本不存在可与其真子集对等的无穷集。不少 织结构变了, A 平移到新位置成 A′还是由移动前的 人认为这是与 4 位数学家身份极不相称的“怪论”。 所有铜分子组成的集,这移动只是改变各分子的位 文献 [2] 证明真正的无穷集均不可对等于其任何真 置而不能改变 A 的组成成员和组织结构。同样,保 子集,本文是[2]的姐妹篇。法制界有将无罪人判为 距变换是刚体运动从而不改变点集的组成成员和组 死刑犯的悲剧,科教界有将百害而无一利的病态学 织结构。设 A={x}表 A 各元均由 x 代表,变量 x 说误为“最伟大创造”的悲剧。 的变域是 A。 A 任两异元 x 与 x′=x+△x 之间的距离 人类认识直线(段)已有 2300 多年。“科学” |△x|=|x-x′|>0 是关于 x 与 x′的二元函数。 国内 共识:数学,尤其是“初等数学中的初等数学”: 一地图上任两大城市间的距离是一变数ρ ,这图被 关于最简单、基本的图形:直线(段)方面的中学 人带到国外后图上任两大城市间的距离还是ρ 而不 知识绝不可能有重大错误,更谈不上有一系列...; 会变为别的变数,因国内、内外的图是同一图。同 数学定理绝不可能被推翻。有一种很有市场的“凡 理,空间图形任两异元点间的距离绝不可随图形的 是”:凡是连“小人物”也谈不上的“草根”绝不 保距变换而变为另一变量。例复平面 z=x+iy 的 x 可能有重大科学发现。中央电视台有一档 “挑战不 轴:直线 z=x 中任两异元点 x 和 x+△x 之间的距离 可能”节目,笔者的科研是挑战“绝对不可能”。 是|△x|(x 的变域是 x 轴),直线 z=x 绕点 z=0 反 iθ 按“橡皮几何学”观点直线段可弹性伸长。本文发 时针旋转θ 角成直线 w=ze =x(cosθ +isinθ ) 现直线段 A 的一部分线段 B?A 弹性伸长成与 A 等长 =xcosθ +ixsinθ =X+iY≌x 轴,直线 w 任两异元点 的直线段不≌A。人类由认识直线段到发现这类用而 (X,Y)和(X+△X,Y+△Y)间的距离 △X2 ? △Y2 还 不知的彼此等长却无合同关系的“更无理”直线段 =|△x| (x 的变域是 x 轴) ; 注: 由 X=xcosθ 与 Y=xsin 竟须历时 2300 多年!但若担心广大高中生(应熟悉 θ 知:△X=cosθ △x,△Y=sinθ △x。 h 定理 1:至少有两元的点(数)集 A={x}=B= 非常简单易懂的保距变换概念)看此文后还不能立 { y } (x 与 y 可是复变数)的必要条件是 A≌B(因 刻认识这类直线段那就是污蔑其是弱智群体了,因 相等的图形必合同),这等价于距离 |△x|=|△y|。 “反科学”的神话般“超人”发现来自于太浅显的 同样, A 与 B 可是三维空间点集, ...... 。 保距变换概念和区间概念从而可将革命道理形象直 证: ⑴ A=B ≌ B 时 A 与 B 的元 x 与 y 必可有一一 观化。 1.几何起码常识 c 和区间概念推翻百年 “R 完备” 对应关系:x?y=y(x),在此关系下 y+△y 中的△ 论——由发现无理数到发现“更无理”的 R 外标准 y=y(x+△x)-y(x),A=B≌B 说明 A 各元 x 变为 y 无穷小正数竟须历时 2500 年 (x)(x? y(x))组成 B={y(x)}=A 必是不改 因与 x∈R 相异或相等的实数均可表为 y=x+△x 变点集的组成成员和组织结构的保距变换;由 A≌B (△x 可=0 也可≠0)故 x 变换为实数 x′=x+△x 的 的定义 A 任两异元 x 与 x+△x 间的距离是|△x|=| 几何意义可是: R 轴的元点 x 沿 R 轴方向移动变为点 (x+△x)-x|=|y(x+△x)-y(x)|=|△y|=B 任两 x′=x+△x,即实数的改变可形象化为一维空间中点 异元 y 与 y+△y 间的距离。 ⑵A 任两异元 x 与 x′=x+ 的位置的改变(各点只作位置改变而没别的改变即 △x 间的距离|△x|>0 是随 x 与 x′的不同而不同的 变位前后的点是同一点)。说 R 轴各元点 x 可变换 变数,x 与 x′都可遍取 A 一切元。A={1,2,3}各 为点 y=x+△x=x+1>x 就是说 R 轴可沿轴正向平移距 元 x=1,2,3。x=1 时异于 x=1 的元 x+△x=1+△x 离 1 变为 y=x+1 轴,其余类推。直线段 D=[0,1]?R 可=2 与 3,△x 可=1 与 2;x=2 时与其相异的元 x+ 轴各元点 x 沿轴平移变为点 x′=x+△x=3x 生成元为 △x=2+△x 可=1 与 3,△x 可=-1 与 1;x=3 时 x+△ 点 x′=3x 的线段[0,3]?x′=3x 轴,各点 x 平移的 x=3+△x 可=1 与 2∈A,△x 可=-2 与-1。所以△x 距离是|△x|=|3x-x|;这是元点的非保距平移使 D 的变域是{3,±2,±1},|△x|的变域是{1,2, 有伸长变换(相应有收缩变换)。数学的图形可是 3}。至少有两元的 B={y}任两异元 y 与 y+△y 间 离散的点的点集。点集:??(这不是省略号)各 的距离是|△y|, 显然若 A=B 则变数|△y|必=|△x|; 点可作保距或非保距平移。至少有两元的点(数) 同样,A 可是任何别的至少有两元的点集,??。

同样, A 与 B 可是三维空间点集 (此时点 x= (x1, x2,x3),点 y=(...)),......。证毕。 h 定理 2:至少有 4 元的 A={x}的任何一部分 C(至少有两元)?A 都不可≌A。 证:C?A 任两异元间的距离ρ =|△x|(x 变域是 C?A),A 任两异元间的距离是ρ ′=|△x|(x 变域 是 A);由ρ 中 x 不可遍取 A 一切元知这两|△x|不 是同一距离函数,据 h 定理 1C 不≌A。证毕。 高中有“平面内的不变直线”知识。几何起码 常识 c 显示自有变换(函数)概念几百年来数学在 变换前后的直(射)线是否为同一直(射)线的问 题上一直存在重大错误:将变动了的直(射)线误 为不变直(射)线。 + 设 R 所有非负元 x?0 组成 R 。R 轴的射线 x?0 + 即射线 R 各元点 x?0 沿轴正向非保距平移变为点 x′=x+△x=0.5x?0 生成元为点 x′的射线 x′=0.5x ?0,中学数学一直认定变换前后的射线是同一线。 其实这是违反几何起码常识 c (重合相等的图形必合 同)的错误,因射线 x?0 收缩成射线 0.5x?0 是非 保距变换使收缩前后的射线不合同从而更不相等。 又例 xy 平面上∥y 轴的直线 x=3(元点(x≡3,y) 中 y 的变域是 R)可伸缩变换为直线 x′=x=3(y′ =ky,正常数 k≠1),中学几百年解析几何一直认定 伸缩前后的直线是同一线; 其实这是违反起码常识 c 的错误,因伸缩变换是非保距变换;中学“定义域 为 R 的 x′=kx(正常数 k≠1)的值域=R”也是违反 起码常识 c 的几百年错误,因 R 轴各元点 x 沿 R 轴 方向非保距移动变为点 x′=x+△x=kx 生成元为点 x′的 x′=kx 轴不≌R 轴从而更?。 据常识 c 空间任一直线 A 沿 A 伸缩变换(伸缩 系数 k>0 且≠1 可取无穷多数) 可变为无穷多各异直 线相互叠压在一起。而几百年解析几何一直只识其 中的一条直线且将无穷多各异直线误为同一线。可 见几何学对直线和平面(直线的集合)等的认识有 “以井代天”的“井底”误区。所以“沿本身伸缩 前后的直线是同一线”中的“直线”因违反起码常 识 c 从而确是如上述 4 位数学家所说“是自相矛盾 的非集”。将各异直线误为同一线自然就会将各异 直线段误为同一线段(见后文)。 h 定理 3:若点集 A(至少有两元)各元点 p 保 距变为点 p′(p)生成元为点 p′的 B≌A 则 A 各点 p 到 A 任一点 p0 的距离ρ =ρ ′=B 各元点 p′ (p) 到 点 p′0(p0)∈B 的距离,即ρ ′与ρ 是同一距离函 数。 证:设 A={x}≌B={y(x)},A 各元点 x 到 A 任一点 x0 的距离ρ =|x-x0|,B 各元点 y(x)到点 y0(x0)∈B 的距离ρ ′=|y(x)- y0(x0)|,由 A ≌B 的定义ρ ′=ρ ;同样,A 与 B 可是 n?2 维空间 图形,??。证毕。 设射线 x?0 去掉起点 x=0 后就成为“缺起点” 射线 x>0。 [3]书将 R 轴一切正数点 x 组成的射线 x>0 称为正实轴。复平面 z=x+iy 的点 z=0 的对应点 2 n w=z =0。[3]书 208 页:映射 w(z)=z (自然数 n? n n 2)将正实轴 z=x>0 映射成正实轴 w=z =x >0。说射线 n n z=x>0 的象 w=z =x >0 也是射线是正确的, 但说这象= n 原象就违反几何起码常识 c 了,因映射 z?w=z 是非 保距映射使象不≌原象从而更≠原象。 n “R 各数 x 有对应标准数 x(自然数 n?2) 和 x+1 + + 等”。射线 x?0 即射线 R 各元点 x 沿 R 正向非保距 2 平移变为点 x′=x+△x=x ?0 生成元为点 x′的射线 2 2 x′=x ?0;中学几百年函数“常识”:射线 x′=x + ?0 与射线 R 重合。 其实这是违反起码常识 c 的错误, 2 因变换 x?x (可将 2 换为正数 k≠1)是非保距变换

使?。保距变换将射线的起点变为新射线的起点。 射线 x?0 各点 x?0 到该线起点 x=0 的距离是 x?0 2 2 而射线 x′=x ?0 各点 x′=x ?0 到该线起点 x′=0 2 的距离却是 x ?0,据 h 定理 3 两射线不≌从而 2 4 6 更...。同理,在变换 x ?x (或 x 等等)下射线 2 + 4 x ?0(x 的变域是 R )的象:射线 x ?0 等等均≠ 2 射线 x ?0。 可见中学数学一直将无穷多各异射线 x 2 3 ?0、x ?0、x ?0、...误为同一线。 2 3 4 正变数 x?1 时 x?x ?x ?x ?…>0???h 自由落体的高 h ? 0 是由大到小取值的,同 样...。 区间[0, 1]表示 0 与 1 及 0 与 1 之间所有数 + + 组成的集。线段 D=[0,1]?射线 R 各点 x 沿 R 正向 2 2 非保距平移变为点 x′=x 生成元为点 x′=x (0? 2 2 x ?1)的线段 D′=[0,1]?射线 x′=x ?0 覆盖在 + D 上(注![0,1]与[0,1]?射线 x′?0 或 R 等有根 本区别);中学几百年函数“常识”:“D′=D”其 实是违反起码常识 c 和区间概念的错误。 理由: ⑴D 不≌D′从而更?。所以 D′是几百年用而不知的点 集! 可见“=D 却不≌D 的 D′”中的 D′=D 显然“是 自相矛盾的非集”,而真正的无穷集 D′≠D。同理 k D 各点 x 非保距变为点 x′=x (正常数 k≠1)生成 4 3 2 元为点 x ′的集≠ D 。⑵ 0<?<x <x <x <x<1 。区间 4 4 3 3 2 2 Q=[0,1]=[0,x ]∪[x ,x ]∪[x ,x ]∪[x ,x]∪ [x,1]的子区间[x,1]中的变数(高等数学是研究 变量的)x>0 且?1 由大到小取值而由 1 处出发→0 遍取 D=[0,1]?R 一切正数 x 时[x,1]的长由 0→1 地逐渐变长而长到包含 D 一切正数元 x∈[x,1], 据区间概念和 h 式此时 Q 中包含 D 一切正数 x 的[x, 1] 之外还有无穷多正数 t∈[0,x),这类 t 是标 准分析一直用而不知的“更无理”的标准无穷小正 数 t<D 一切正数 x∈[x,1]使 R 远不可包含一切标 准正数(无穷多正数 t 的倒数显然也在 R 外),关 键是 x>0 被限制只能在[x, 1]?Q 内取值。 可见区间 2 概念表明定义域为 D 的 x′=x ?0 的值域 D′中有用 2 而不知的 R 外标准正数 x′=x <R 所有正数——推翻 百年“R 完备、封闭”论。否定无理数使数学自相 矛盾,否定“更无理”数使初等数学出现违反起码 常识 c 和区间概念的尖锐自相矛盾。人类由发现无 理数到发现更无理数 t 竟须历时 2500 年! 但获此发 现所必需的知识仅是关于区间概念方面的中学常 n 识。可见“R 各数 x 有对应标准数 x 且 R 含一切标 准正数” 中的 R 因违反区间概念和...从而确 “是自 相矛盾的非集”。详论见文[4],但[4]的论据应改 为本文的论据。 以上说明对射(直)线(无穷集)的认识一直存 在极重大缺陷和错误。 2.区间概念让用而不知的 R 外标准无穷大数一 下子暴露出来——推翻巴拿赫-塔尔斯基定理 射线 x?1 与射线 x′=x+1?1 有共同的起点。 + + 射线 x?0 即射线 R 有子部射线 s(?R ):x?1(由 + R 一切?1 的元 x?1 组成),射线 x?0(x+1?1) + 沿 R 轴正向平移距离 1 变为≌R 的射线 s′: x′=x+1 ?1(△x′=△x);射线 x?1 与射线 x+1?1 重合 吗?流传几百年使世人深信不疑的中学 “s=s′” 是 将两异射线误为同一线。理由:⑴据 h 定理 2 射线 + + + + R 的真子集 s?R 不可≌R ——说明≌R 的 s′不可是 + + s?R 。⑵s?R 任两异元间的距离是|△x|(x 的变域 + + 是 s?R ) 而 s′≌R 任两异元 x′与 x′+△x′间的 + 距离是|△x′|=|△x|(x 的变域是 R )≠前|△x|, + 据 h 定理 1s≠s′。 ⑶射线 s?R 各点 x?1 到该线起 + 点 x=1 的距离ρ =x-1?0 (x?1 的变域是 s?R ), 射

线 s′各点 x′=x+1?1 到该线起点 x′=1 的距离 + ρ ′=x+1-1=x?0(x?0 的变域是 R ),因ρ ′≠ρ 故据 h 定理 3s 不≌s′从而更≠s′。同理易证射线 s:x?1 沿 R 轴负向平移距离 1 变为射线 x-1?0 不 + 能与 R 即射线 x?0 重合。 + + 中学几百年“~R 的 s′=s?R ”错误导致有“射 线可≌其真子集”这一违反合同图形概念的病态认 识,进而使康脱推出病态的“射线的部分点可与全 部点一样多”。 对 R(包含一切已知正数)各正数元 x>0 均有对 应标准数 x′=x+1>x 等等,均有区间[0,x]。区间 [0,x]∪(x,x′=x+1]的子区间[0,x]中的 x>0 由 小到大遍取 R 一切正数 x 时[0,x]就长到包含 R 一 切正数 x,极显然:据区间概念在各[0,x](x>0 遍 取 R 一切正数)之外还有“更无理”无穷大标准正 数 x′=x+1 大于 R 一切正数 x∈[0,x]。这表明射线 + s′:x′=x+1?1 中有大于 R 一切元的元点 x′—— s 不≌s′从而更≠s′的原因。 所以仅由区间概念就 可知射线 A 沿 A 正向平移非 0 距离变成的射线 B≌A 中有元点“更无理”地突破了 A 的“框框”而在 A 外使 B≌A 不可是 A 的真子集。否定“更无理”数使 数学出现违反保距变换概念和区间概念的重大自相 矛盾。所以“对加法封闭的 R”中的 R 确“是自相 矛盾的非集”而真正的无穷集 R 对加法不封闭。 x 轴可伸缩成 x′=x+△x=kx(正常数 k≠1)轴 叠压在 x 轴上。由-1?x?1 得-2?2x?2。直线段 A={x}=[-2,2]? x 轴的一部分线段 B={x}=[-1, 1]? x 轴各元点 x 变为点 x+△x=x′=2x(x? x′=2x) 生成元为点 x′的直线段 A′(~B? A)={x′=2x} =[-2,2]? x′=2x 轴叠压在线段 A( ? B)=[-2,2] ? x 轴上即线段 A 的一部分线段 B? A 弹性伸长成与 A 等长的直线段 A′。中学几百年“A=A′≌A′即定 义域为 A 的 x′=2x 的值域=A”其实是被伪二重线段 迷惑,真相是:-2?x?2 中 x 的变域是 A=[-2,2] ? x 轴,但-2?2x?2(x 的变域是 B? A)中 x′=2x 的变域≠A。理由:⑴由 x 轴≠x′轴可知 A=[-2,2] ? x 轴与 A′?x′轴不是同一线段, 正如张三的左手 与李四的左手不是同一手一样。⑵A={x}任两异元 点间的距离是|△x|>0,而 A′={x′=2x}(△x′ =2 △ x )任两异元间的距离是 | △ x ′ |=|2 △ x|>| △ x|,据 h 定理 1A′不≌A 从而更≠A。⑶保距变换将 直线段 U 的中心点变为新线段 V ≌ U 的中心点。 A=[-2,2]? x 轴各元点 x 到 A 的中心 x=0 的距离是 |x|而 A′=[-2, 2]? x′=2x 轴各元点 x′=2x 到 A′ 的中心 x′=0 的距离是|x′|=|2x|≠|x|;据 h 定理 3A 不≌A′从而更≠A′。所以解析几何一直张冠李 戴地将 A′误为 A。据 h 定理课本上类似这样将两不 合同的线段 A′~B 和 A ? B 误为同一线段搞错一次函 数的值域的几百年重大错误比比皆是——使康脱推 出病态的“直线段的部分点可与全部点一样多”; 详论见[5]和[2]。所以真正的无穷集均不可对等于 其任何真子集。 z=x+iy 面可伸展成 w=f(z)=x+i2y=u+iv 平面 叠压在 z 面上(非保距变换)。数学一直认定 w 面=z 面。 其实这是肉眼直观错觉。 z 面任两异元点 z 与 z+ △z(△z =△x+i△y)间的距离是|△z|>0 而 w 面任 两异元点间的距离是|△w|(△w=△x+i2△y)≠|△ z|。据 h 定理 1z 面不≌w 面从而更?。同理在非保 距变换:点(x,y)?点(X,Y)=(2x,3y)下,元为 点(x,y)的 xy 平面的象:XY 平面≠xy 面。同理复 变函数论中的:某非保距变换...将 z 平面变为自己

;其实是将两异面误为同一面。...。几何学有一病 态的巴拿赫-塔尔斯基定理,据此定理可推出“一颗 豌豆可变成硕大无比的太阳”;据 h 定理 1、2、3 可证此“高深莫测”的“定理”的症结是将“自相 [1] 矛盾的非集 ”误为无穷集,从而将伪合同、伪重 合图形误为合同、重合图形。 3.将“非常高深理论”还原为非常朴实科学常 识势必能大大减轻学生学习负担和缩短学制 学习上不能满足于只知结论不懂原理的低层次 浅薄。傅种孙: “有多边形于此,截去一角所余必不 与原形等积。试问何以知其然?答道‘全体大于部 分’。区区 6 字就解决了。事实上问题并不是这样 简单,须知希尔伯特费十数页的篇幅才把它解决 的。”(《数学通报》1962/11,25 页)——可见 “全体大于部分”的正确性使希尔伯特费十数页的 篇幅才能解决的问题只用区区 6 字就解决了。本来 根据连小学生也一看就知的非常朴实的几何常识就 能证明的小学数学题却要“故弄玄虚”地变为需据 “非常高深理论” 费十数页才能证明的大学数学题, 这是典型的化简为繁、化清为浊。数学的证明中有 不少类似这样化简为繁的例子(例对隐函数存在定 理的证明)。这势必大大增加学生的学习负担(使 “减负”成空话)和不得不延长学制。产生远远脱 离实际从而对经济建设和加强国防无关的“高深莫 测”“数学”的症结是对数与形的认识有惊人浅薄 和极重大错误; “深入才能浅出, 浅入就只能深出。 ” “假传万卷书,真传一句话。”“大道至简至易”, 小道至繁至难。详论见[4]。 4.结束语 “区区 6 字就能解决”变成“费十数页才能解 决”现象说明百年集论百年来浪费了亿万学生(包 括物理、哲学、逻辑学专业的学生)大量宝贵时间 (“时间就是金钱,?”)与精力以及亿万元宝贵 学费。育人课本的重大错误造成的重大经济损失一 点也不亚于经济建设的重大错误造成的经济损失, 是否及时纠正与每一人的切身利益息息相关。用 h 定理检验知几何学 2300 年来一直将无穷多各种各 类的伪合同、伪重合图形误为合同、重合图形从而 陷入以井代天和张冠李戴的“井底”误区;不识这 类比虚数更“虚”的伪合同图形使康脱误入百年歧 途推出康健离脱的病态理论。破除迷信、解放思想 、实事求是才能创造 2 千载难逢的神话般世界奇迹 使数学发生革命飞跃:一下子跃出“井底”进入到 认识“更无理”的数和图形的时代从而不再被蒙在 “井”里。
参考文献 [1]朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生。关于无穷集合概 念的不相容性问题的研究[J],南京邮电大学学报(自然版), 2006(6)。 [2]黄小宁。 凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错 误——让中学生也能一下子认识 2300 年都无人能识的直线 段[J],数理化解题研究,2016(24):19。 [3]西安交通大学高等数学教研室。 工程数学: 复变函数 (第 4 版)[M],北京:高等教育出版社,1996。 [4]黄小宁。 著名数学家朱梧槚的发现揭示课本有一系列 重大错误——发现最小、大正数推翻百年集论破解 2500 年 芝诺著名世界难题[J],科技视界,2014(10):70。 [5]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系 列重大错误——让 2300 年都无人能识的直线段一下子暴露 出来[J],数学学习与研究,2016(5):151。 E-mail:hxl268@163.com;电联:13178840497



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