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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第2章 2.3.4


2.3.4

2.3.4
【学习要求】

平面向量共线的坐标表示

1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线.
本 课 3.掌握三点共线的判断方法. 时 【学法指导】 栏 目 1.应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点 开 在于不需要引入参数

“λ”,从而减少了未知数的个数,而且 关

使问题具有代数化的特点、程序化的特征.具体运用时,要注 意向量的共线、平行与几何中的共线、平行的区别. 2.平面向量共线的坐标表示定理中的“当且仅当”就是说若 x1y2 -x2y1=0,则 a,b 共线;反过来,若 a 与 b 共线,则 x1y2- x2y1=0.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.4

1.两向量共线的坐标表示
本 课 时 栏 目 开 关

设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)当 a∥b 时,有 x1y2-x2y1=0 . x1 y1 = x (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时,有 2 y2 .即两向量的相应坐标成 比例.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.4

→ → 2.若P1P=λPP2,则 P 与 P1、P2 三点共线.
本 课 时 栏 目 开 关

当 λ∈ (0,+∞)

时,P 位于线段 P1P2 的内部,特别地 λ

=1 时,P 为线段 P1P2 的中点; 当 λ∈ (-∞,-1) 当 λ∈ (-1,0) 时,P 位于线段 P1P2 的延长线上; 时,P 位于线段 P1P2 的反向延长线上.

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2.3.4

本 探究点一 平面向量共线的坐标表示 课 时 a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 栏 目 开 λ 使得 a=λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示? 关

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2.3.4

问题 1 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),如果 a∥b,那 么 x1y2-x2y1=0,请你写出证明过程.

答 ∵a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0.
本 课 时 栏 目 开 关

∴x2,y2 不全为 0,不妨假设 x2≠0. ∵a∥b,∴存在实数 λ,使 a=λb,
? ?x1=λx2, 即(x1,y1)=λ(x2,y2)=(λx2,λy2),∴? ? ?y1=λy2,

x1 ∵x2≠0.∴λ=x . 2 x1 x1y2 将 λ=x 代入 y1=λy2 得 y1= x ,即 x1y2-x2y1=0. 2 2

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2.3.4

问题 2 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,如果 x1y2-x2y1 =0,那么 a∥b.请你写出证明过程.
本 课 时 栏 目 开 关

答 ∵b≠0,∴x2,y2 不全为 0,不妨假设 x2≠0,则由 x1y2 x1 -x2y1=0 得 y1=x y2. 2
? x1 ? x1 ∴(x1,y1)=?x1,x y2?=x (x2,y2) ? 2 ? 2

x1 令 λ=x ,则 a=λb.所以 a∥b. 2

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2.3.4

探究点二

共线向量与中点坐标公式

问题 1 设 P1、P2 的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),求线段 P1P2 的中点 P 的坐标.
本 课 时 栏 目 开 关

答 如图所示,P 为 P1P2 的中点, → → ∴P1P=PP2, → → → → ∴OP-OP1=OP2-OP

→ 1 → → ∴OP=2(OP1+OP2)
?x1+x2 y1+y2? ? =? , ? 2 ?. 2 ? ?

∴线段

?x1+x2 y1+y2? ? P1P2 的中点坐标是? ? 2 , 2 ?. ? ?

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2.3.4

问题 2 设 P1、P2 的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).点 P 是线 段 P1P2 的一个三等分点,求 P 点的坐标.
答 点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点,分两种情况:
本 课 时 栏 目 开 关

→ 1 → → → → → 1 → ①当P1P=3P1P2时,OP=OP1+P1P=OP1+3P1P2 2→ 1→ → 1 → → =OP1+3(OP2-OP1)=3OP1+3OP2
?2x1+x2 2y1+y2? ? =? , ? ?; 3 3 ? ?

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2.3.4

→ 2 → → → → → 2 → ②当P1P= P1P2时,OP=OP1+P1P=OP1+ P1P2 3 3
→ 2 → → 本 =OP1+ (OP2-OP1) 3
课 时 栏 1→ 2→ 目 = OP1+ OP2 3 3 开 关

?x1+2x2 y1+2y2? ? =? , ? ?. 3 3 ? ?

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2.3.4

问题 3 已知△ABC 的三个顶点坐标依次为 A(x1,y1),B(x2, y2),C(x3,y3).求△ABC 的重心 G 的坐标.


本 课 时 栏 目 开 关

延长 AG 交 BC 于点 D,

∵G 为△ABC 的重心, ∴D 为 BC 的中点,
? → 2 → 2? ?1 → 1 → ? ∴AG=3AD=3? AB+ AC? 2 ? ?2 1→ 1→ =3AB+3AC, → → → → 1→ 1 → ∴OG=OA+AG=OA+3AB+3AC 1 → → 1 → → → → 1 → → =OA+3(OB-OA)+3(OC-OA)=3(OA+OB+OC) ?x1+x2+x3 y1+y2+y3? ? =? , ? ?. 3 3 ? ?

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2.3.4

探究点三

共线向量与线段分点坐标

在平面直角坐标系中, 我们可以利用共线向量
本 课 时 栏 目 开 关

坐标之间的关系求解坐标.如图所示,设 P → P1P 点是直线 P1P2 上的一点,且 =λ. → PP2

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问题 1 定比 λ 与分点位置的一一对应关系如下表:

2.3.4

λ
本 课 时 栏 目 开 关

P 点位置 P 点名称
λ

λ<-1 λ=-1 -1<λ<0 在 P1P2 的 在 P2P1 的 延长线上 外分点
0<λ<1

λ=0 与 P1 重合 始点
λ>1

不存在 延长线上 外分点
λ=1

P 点位置 在 P1 与中点之间 P 为 中点 在中点与 P2 之间 P 点名称 内分点

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2.3.4

问题 2 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),试用 λ 及 P1,P2 点的坐标 表示 P(x,y)点的坐标. → → → → → 答 ∵OP=OP1+P1P=OP1+λPP2 → → → → → → =OP1+λ(OP2-OP)=OP1+λOP2-λOP, → → 1 λ → OP1+λOP2 ∴OP= = (x1,y1)+ (x2,y2) 1+λ 1+λ 1+λ ? 1 ? ? 1 ? λ ? ? ? λ =?1+λx1,1+λy1?+?1+λx2,1+λy2? ? ? ? ? ?
?x1+λx2 y1+λy2? ? , =? ? 1+λ ?. 1 + λ ? ? ?x1+λx2 y1+λy2? ? , ∴P? ? 1+λ ?. 1 + λ ? ?

本 课 时 栏 目 开 关

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2.3.4

【典型例题】 例1 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a

-3b 平行?平行时它们是同向还是反向?
本 课 时 栏 目 开 关



ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), ∵ka+b 与 a-3b 平行, 1 ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得 k=-3. ? 1 ? 2 1 ? ? 此时 ka+b= -3-3,-3+2 =-3(a-3b), ? ? 1 ∴当 k=-3时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向.

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2.3.4

本 课 时 件进行判断,特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时,要 栏 目 注意坐标之间的搭配. 开 关

小结

此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条

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2.3.4

→ 跟踪训练 1 已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB → 与CD是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反? → 解 AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3),
本 课 时 栏 目 开 关

→ CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6). 方法一 ∵(-2)×(-6)-3×4=0, 且(-2)×4<0, → → ∴AB与CD共线且方向相反. → → → → 方法二 ∵CD=-2AB,∴AB与CD共线且方向相反.

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2.3.4

例 2 已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 A,B,C 三 点之间的位置关系.
→ → → 解 ∵AB=OB-OA=(1,3)-(-1,-1)=(2,4), → → → AC=OC-OA=(2,5)-(-1,-1)=(3,6), → → 又 2×6-3×4=0,∴AB∥AC. ∵直线 AB、AC 有公共点 A, ∴A、B、C 三点共线.
小结 利用共线向量是判断三点共线的一种常用方法, 其 实质是从同一点出发的两个向量共线, 则这两个向量的三 个顶点共线. 这是从平面几何中判断三点共线的方法移植 过来的,而利用共线向量更加简捷.

本 课 时 栏 目 开 关

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2.3.4

跟踪训练 2 已知三点 A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,试求 m 的值. → 解 AB=(2,4)-(1,2)=(1,2). → AC=(3,m)-(1,2)=(2,m-2). → → ∵A,B,C 三点共线,即向量AB,AC共线, → → ∴存在实数 λ 使得AB=λAC,

本 课 时 栏 目 开 关

即(1,2)=λ(2,m-2)=(2λ,λm-2λ).
? ?2λ=1, ∴? ? ?λm-2λ=2.

1 ? ?λ= , ?? 2 即 m=6 时,A,B,C 三点共线. ? ?m=6.

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2.3.4

例 3 已知点 A(3,-4)与点 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且 → → |AP|=2|PB|,求点 P 的坐标.

本 课 时 栏 目 开 关

设 P 点坐标为(x,y).

→ → → → → → ∵|AP|=2|PB|,∴AP=2PB或AP=-2PB. → → 当AP=2PB时,(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
? ?x-3=-2-2x ∴? ? ?y+4=4-2y

1 ? ?x= ?1 ? ,解得? 3 ,∴P 点坐标为?3,0?. ? ? ? y = 0 ?

→ → 当AP=-2PB时,

则(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),

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? ?x-3=2+2x ∴? ? ?y+4=-4+2y ? ?x=-5 ,解得? ? ?y=8

2.3.4

.

本 课 ?1 ? 时 ? ? 栏 综上,点 P 的坐标为?3,0?或(-5,8). 目 开 关 小结 在求有向线段分点坐标时,不必过分强调公式记忆,可

∴P 点坐标为(-5,8).

以转化为向量问题后解方程组求解,同时应注意分类讨论.

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2.3.4

→ 跟踪训练 3 已知点 A(1,-2),若向量AB与 a=(2,3)同向, → |AB|=2 13,求点 B 的坐标.

→ → 本 解 设AB=(x,y),AB与 a 同向, 课 → 时 栏 ∴AB=λa (λ>0),即(x,y)=λ(2,3),
目 开 关
? ?x=2λ, ∴? ? ?y=3λ,

→ 又|AB|=2 13,

∴x2+y2=52.∴4λ2+9λ2=52,λ=2 (λ>0).
→ 即AB=(4,6).∴点 B 的坐标为(5,4).

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.3.4

1.下列各组的两个向量共线的是
本 课 时 栏 目 开 关

( D )

A.a1=(-2,3),b1=(4,6) B.a2=(1,-2),b2=(7,14) C.a3=(2,3),b3=(3,2) D.a4=(-3,2),b4=(6,-4)

-3 2 解析 ∵ = ,∴a4∥b4,故选 D. 6 -4

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2.3.4

2.已知 a=(-1,2),b=(2,y),若 a∥b,则 y 的值是 ( D )
本 课 时 栏 目 开 关

A.1 C.4

B.-1 D.-4

解析 ∵a∥b,∴(-1)×y-2×2=0,∴y=-4.

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2.3.4

→ → 3.若点 A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线,则使AB=λBC 成立的实数 λ 的值为
本 课 时 栏 目 开 关

( D ) C.1 D.2

A.-2

B. 0

→ → 解析 AB=(2,4),BC=(x-1,2), → → ∵A,B,C 三点共线,∴AB与BC共线, → ∴2×2-4(x-1)=0,∴x=2,∴BC=(1,2). → → ∴AB=2BC,∴λ=2.

故选 D.

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2.3.4

→ → → 4.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),如果 A、

-2或11 B、C 三点共线,则实数 k=___________.
本 课 时 栏 目 开 关

→ → → 解析 ∵OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k), → → ∴AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5), ∵A、B、C 三点共线, ∴(4-k)(k-5)-(-7)×6=0,解得 k=-2 或 k=11.

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2.3.4

1.两个向量共线条件的表示方法 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2)
本 课 时 栏 目 开 关

(1)当 b≠0,a=λb. (2)x1y2-x2y1=0. x1 y1 (3)当 x2y2≠0 时, = ,即两向量的相应坐标成比例. x2 y2

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2.3.4

2.向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用,可分为两个方面.
本 课 时 栏 目 开 关

(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平 行、 共线知识, 可以证明三点共线、 直线平行等几何问题. 要 注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值, 求轨迹方程.要注意方程思想的应用,向量共线的条件,向 量相等的条件等都可作为列方程的依据.


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