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广东省惠州市高三考试数学试题(文科)


广东省惠州市高三考试数学试题(文科)
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共l0小题,在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.每小 题5分,满分50分. 1.命题“ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题是( A. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 C. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ).

B. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 D. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1

2.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ? 密文(加密) ,接受方由密文 ? 明文(解 密) ,已知加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b,2b ? c,2c ? 3d ,4d ,例如,明文 1, 2,3, 4 对 应密文 5, 7,18,16 .当接受方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为( A. 4,6,1,7
?

) .

B. 7,6,1,4
?

C. 6,4,1,7
? ?

D. 1,6,4,7 ) .

3.已知向量 c ? (2 x ? 1, 4) , d ? (2 ? x ,3) ,若 c // d ,则实数 x 的值等于( A. ?

1 2

B.

1 2

C.

1 6

D. ?

1 6
) .

4.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

5.在一次射击训练中,一小组的成绩如下表: 环数 人数

7 2

8

9 3

. 已知该小组的平均成绩为 81 环,那么成绩为 8 环的人数是( A.5 B .6 C .4
) .

) .

D.7

6. 下列函数为奇函数的是(

? ? ? x (x ? 0) A. y ? ? ? ? x (x ? 0)

B . y ? x3

C . y ? 2x

D . y ? log 2 x

7. 下列四个几何体中,每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是(

) .

①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

开始

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

k=1
8.如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.2450 B.2500 C.2550 ) .

S ?0 k ? 50?
是 否

D.2652

? ? ) 的图象先向左平移 ,然后将所得图象上 3 6 所有的点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象
9.将函数 y ? sin(2 x ? 对应的函数解析式为( A. y ? ? cos x ) . C. y ? sin x

S ? S ? 2k
k ? k ?1

输出S
结束

B. y ? sin 4 x

10.已知全集 R,集合 E={x|b<x< 则有( ).

a+b } ,F={x| ab <x<a},M={x|b<x ? ab} ,若 a>b>0, 2
C. M=E ? (?R F) D. M=(?R E) ? F

? D. y ? sin( x ? ) 6

A. M=E ? F

B. M=E ? F

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题:本大题共5小题,其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算 前一题得分.每小题5分,满分20分. 11.化简:

(1 ? i) 2 ? i



12. 已知 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且对任 意 x ? R ,都有: f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) ,又 1 ? f ( x)

f (1) ?

1 1 , f (2) ? , 则 f (2007 ) ? 2 4



?x ? 0 ? 13.若实数 x、y 满足条件 ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为_____ . ? 2x-2y +1 ? 0 ?
14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 极 坐 标 系 中 , 圆 ? ? 2 ? cos ? ? 3 ? 0 上 的 动 点 到 直 线
2

? cos ? ? ? sin ? ? 7 ? 0 的距离的最大值是
? ? , AB ? 10 , BD ? 8 ,则 cos ?BCE ? AD ? DE



15. (几何证明选讲选做题)如右图所示, AB 是圆 O 的直径, .

三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16.(本小题 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 所对的边,且满足 a ? c ? b ? ac . (Ⅰ)求角 B 的大小;
2 2 2

(Ⅱ)设 m ? (sin A, cos 2 A), n ? (?6, ?1) ,求 m ? n 的最小值. 17.(本小题 14 分)已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1 DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

??

?

?? ?

0.2、 0.1、 0.4 . 18. (本小题 12 分) 有朋自远方来, 已知他乘火车、 轮船、 汽车、 飞机来的概率分别是 0.3、
(Ⅰ)求他乘火车或飞机来的概率; (Ⅱ)求他不乘轮船来的概率; (Ⅲ)如果他来的概率为 0.4 ,请问他有可能是乘何种交通工具来的?

19.(本小题 14 分)设函数 f ( x ) ?

a 3 x ? bx 2 ? 4cx ? d 的图象关于原点对称, f ( x ) 的图象在点 3

P (1, m) 处的切线的斜率为 ?6 ,且当 x ? 2 时 f ( x) 有极值.
(Ⅰ)求 a、 b、 c、 d 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的所有极值. 20. (本小题 14 分)已知圆 C1 : x ? y ? 2 和圆 C2 ,直线 l 与圆 C1 相切于点 (1,1) ;圆 C2 的圆心在
2 2

射线 2 x ? y ? 0 ( x ? 0) 上,圆 C2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求圆 C2 的方程.

21. (本小题 14 分)已知数列 ?an ? 是等差数列, a2 ? 6, a5 ? 18 ;数列 ?bn ? 的前 n 项和是 Tn ,且

1 Tn ? bn ? 1 . 2
(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅲ) 记 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

广东省惠州市 2013 届高三第二次调研考试

数学试题(文科)参考答案
题号 答案

2007.11

1 C

2 C

3 B

4 B

5 A

6 B

7 D

8 C

9 C

10 C

1.解析:命题“ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题是: “ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ” ,故选 C.

? a ? 2b ? 14 ?a ? 6 ? 2b ? c ? 9 ?b ? 4 ? ? 2.解析:由已知,得: ? ,故选 C . ?? ? 2c ? 3d ? 23 ?c ? 1 ? ? ? 4d ? 28 ?d ? 7 ? ? 1 3.解析:若 c // d ,则 3(2 x ? 1) ? 4(2 ? x) ? 0 ,解得 x ? .故选 B . 2
4.解析:由题意得 2a ? 2 2b ? a ?

2b ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? b ? c ? a ? 2c ? e ?

2 . 2

故选 B . 5. 解 析 : 设 成 绩 为 8 环 的 人 数 是 x , 由 平 均 数 的 概 念 , 得 :

7 ? 2 ? 8 x ? 9 ? 3 ? 8.1(2 ? x ? 3) ? x ? 5 .
故选 A . 6.解析: A 是偶函数; C 是指数函数; D 是对数函数.故选 B . 7.解析:①的三视图均为正方形;②的三视图中正视图.侧视图为相同的等腰三角形,俯视图为 圆;④的三视图中正视图.侧视图为相同的等腰三角形,俯视图为正方形.故选 D . 8.解析:程序的运行结果是 s ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 100 ? 2550 ,选 C .

? ? ? ? ) 的图象先向左平移 ? y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin 2 x ,横坐标变为原 3 6 6 3 1 来的 2 倍 ? y ? sin 2( x ) ? sin x .答案: C . 2 3 10.解析:特殊值法:令 a ? 2 , b ? 1 ,有 E={x|1<x< } ,F={x| 2<x<2},M={x|1<x ? 2} .故 2 选C .
9.解析: y ? sin(2 x ? 题号 答案 11 12 13 14 15

2

1 3

2

4 2 ?2

3 5

11.解析:

(1 ? i) 2 2i ? ? 2. i i 1 ? f (1) 1 1 ? f (2) 3 ? ,令 x ? 2 ,则 f (4) ? ? , 1 ? f (1) 3 1 ? f (2) 5

12.解析:令 x ? 1 ,则 f (3) ?

1 1 , f (6) ? , 即当 x ? N * 时, f (n) 的值以 4 为周期, 2 4 1 所以 f (2007) ? f (501 ? 4 ? 3) ? f (3) ? . 3 1 13.解析:由图象知:当函数 z ? 2 x ? y 的图象过点 ( ,1) 时, 2
同理得 f (5) ?

y 1
1 2

z ? 2 x ? y 取得最大值为 2.

O
2

1 2
2

x

14. (坐标系与参数方程选做题)解析:将极坐标方程转化成直角坐标方程,圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上 的动点到直线 x ? y ? 7 ? 0 的距离的最大值就是圆心 ( ?1, 0) 到直线 x ? y ? 7 ? 0 的距离 d 再加上 半径 r ? 2 .故填 4 2 ? 2 . 15. (几何证明选讲选做题)解析:连结 AD、BE , 则在 ?ABD 和 ?BCE 中: ?ADB ? ?BEC ? 90 , 且 ?ABD ? ?CBE ,所以 ?DAB ? ?ECB , 故 cos ?BCE ? cos ?DAB ?
0

3 . 5

三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16.析:主要考察三角形中的边角关系、向量的坐标运算、二次函数的最值.

a 2 ? c2 ? b2 1 解:(Ⅰ)∵ a ? c ? b ? ac ,∴ cos B ? ? , 2ac 2
2 2 2

………………3 分

又∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

(Ⅱ) m ? n ? ?6sin A ? cos 2 A

?? ?

? . 3

……………………………………………5 分 ……………………………………………6 分

3 11 ? 2sin 2 A ? 6sin A ? 1 ? 2(sin A ? ) 2 ? , ………………………8 分 2 2 2? D1 ∵0 ? A? ,∴ 0 ? sin A ? 1 . ……………10 分 3 A1 ∴当 sin A ? 1 时,取得最小值为 ?5 . …………12 分
17.析:主要考察立体几何中的位置关系、体积. 解:(Ⅰ)证明:连结 BD ,则 BD // B1 D1 ,

C1 B1 E C B

D

A ∵ ABCD 是正方形,∴ AC ? BD .∵ CE ? 面 ABCD ,∴ CE ? BD .
又 AC ? CE ? C ,∴ BD ? 面 ACE . ∵ AE ? 面 ACE ,∴ BD ? AE , ∴ B1 D1 ? AE . …………………………………………5 分 ………………4 分

…………1 分

(Ⅱ)证明:作 BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF .

∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴ CE

B1 F ,

∴四边形 B1 FCE 是平行四边形,∴ CF// B1 E . ………7 分 ∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC , 又 BC // AD ,∴ EF // AD . ∴四边形 ADEF 是平行四边形,? AF // ED , ∵ AF ? CF ? C , B1 E ? ED ? E , ∴平面 ACF // 面 B1 DE . …………………………………9 分 ………………10 分

又 AC ? 平面 ACF ,∴ AC // 面 B1 DE . (3) S ?ABD ?

VA? BDE

1 AB ? AD ? 2 . 2 1 ? VE ? ABD ? S ?ABD ? CE ? 3

……………………………11 分

1 2 S ?ABD ? CE ? . ……………………………14 分 3 3

18.析:主要考察事件的运算、古典概型. 解: 设 “朋友乘火车、 轮船、 汽车、 飞机来” 分别为事件 A、B、C、D , 则 P ( A) ? 0.3 , P ( B ) ? 0.2 ,

P (C ) ? 0.1 , P ( D ) ? 0.4 ,且事件 A、B、C、D 之间是互斥的.
(Ⅰ)他乘火车或飞机来的概率为 P 1 ? P ( A ? D ) ? P ( A) ? P ( D ) ? 0.3 ? 0.4 ? 0.7 ………4 分 (Ⅱ)他乘轮船来的概率是 P ( B ) ? 0.2 , 所以他不乘轮船来的概率为 P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ? 0.2 ? 0.8 . ………………8 分 (Ⅲ)由于 0.4 ? P( D) ? P ( A) ? P (C ) , 所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的. …………………12 分 19.析:主要考察函数的图象与性质,导数的应用. 解:(Ⅰ)由函数 f ( x ) 的图象关于原点对称,得 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,………………1 分

a 3 a x ? bx 2 ? 4cx ? d ? ? x 3 ? bx 2 ? 4cx ? d ,∴ b ? 0, d ? 0 . …………2 分 3 3 a 3 2 ∴ f ( x ) ? x ? 4cx ,∴ f '( x ) ? ax ? 4c . ……………………………4 分 3
∴? ∴?

? f '(1) ? a ? 4c ? ?6 ? a ? 4c ? ?6 ,即 ? . ? f '(2) ? 4a ? 4c ? 0 ? 4 a ? 4c ? 0

……………………6 分

∴ a ? 2, c ? ?2 . ……………………………………………………7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ?
2

2 3 x ? 8 x ,∴ f '( x ) ? 2 x 2 ? 8 ? 2( x 2 ? 4) . 3
…………………9 分

由 f ( x ) ? 0, 得 x ? 4 ? 0 ,∴ x ? 2或x ? ?2 .

x f ?( x ) f ( x)
∴ f ( x )极大 ? f ( ?2) ?

(??, ?2) ?


?2
0 极小

(?2, 2)
+ ↗

2
0 极大

(2, ??) ?


32 32 . ; f ( x) 极小 ? f (2) ? ? 3 3

………………………14 分

20.析:主要考察直线.圆的方程,直线与圆的位置关系. 解:(Ⅰ)(法一)∵点 (1,1) 在圆 C1 : x ? y ? 2 上, ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (法二)当直线 l 垂直 x 轴时,不符合题意.
2 2

…………………………2 分

……………………………5 分 ……………………………2 分

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 1 ? 0 . 则圆心 C1 (0, 0) 到直线 l 的距离 d ? r ? ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .
2 2 2

2 ,即:

| ? k ? 1| k 2 ?1

? 2 ,解得 k ? ?1 ,……4 分

……………………………………………5 分
2 2

(Ⅱ)设圆 C2 : ( x ? a ) ? ( y ? 2a ) ? r ( a ? 0) ,∵圆 C2 过原点,∴ 5a ? r . ∴圆 C2 的方程为 ( x ? a ) ? ( y ? 2a ) ? 5a ( a ? 0) .…………………………7 分 ∵圆 C2 被直线 l 截得的弦长为 4 3 ,∴圆心 C2 (a , 2a ) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离:
2 2 2

d ? 5a 2 ? 12 ?
2

| a ? 2a ? 2 | 2



…………………………………………9 分

整理得: a ? 12a ? 28 ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? ?14 . ……………………………10 分 ∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 .
2

…………………………………………………………13 分
2

∴圆 C2 : ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 20 .

……………………………………14 分

21.析:主要考察等差、等比数列的定义、式,求数列的和的方法. 解:(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,则: a2 ? a1 ? d , a5 ? a1 ? 4d , ∵ a2 ? 6 , a5 ? 18 ,∴ ?

? a1 ? d ? 6 ,∴ a1 ? 2, d ? 4 . ………………………2 分 ? a1 ? 4d ? 18

∴ an ? 2 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 2 .

…………………………………………4 分

1 2 …………………5 分 b1 ? 1 ,得 b1 ? . 2 3 1 1 当 n ? 2 时,? Tn ? 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 2 2 1 1 ∴ Tn ? Tn ?1 = (bn ?1 ? bn ) ,即 bn ? (bn ?1 ? bn ) . …………………………7 分 2 2 1 ∴ bn = bn ?1 . ……………………………………………………………8 分 3 2 1 ∴ ?bn ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. …………………………………9 分 3 3 2 1 n ?1 1 n (Ⅲ)由(2)可知: bn ? ? ( ) ? 2 ? ( ) . ……………………………10 分 3 3 3 1 n 1 n ∴ cn ? an ? bn ? (4n ? 2) ? 2 ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) . …………………………………11 分 3 3 1 1 2 1 n ?1 1 n ∴ S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 ? cn ? 4? ( ) ? 12? ( ) ? ? ? (8n ? 12)? ( ) ? (8n ? 4)? ( ) . 3 3 3 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ∴ S n ? 4 ? ( ) ? 12 ? ( ) ? ? ? (8n ? 12) ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) . 3 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ∴ S n ? S n ? S n ? 4 ? ? 8 ? ( ) ? 8 ? ( ) ? ?? 8 ? ( ) ? (8n ? 4) ? ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ( ) 2 ? [1 ? ( ) n ?1 ] 4 1 3 ? ? 8? 3 ? (8 n ? 4) ? ( ) n ?1 1 3 3 1? 3 8 1 1 ………………………………………13 分 ? ? 4 ? ( ) n ?1 ? (8 n ? 4) ? ( ) n ?1 . 3 3 3 1 n ∴ S n ? 4 ? 4(n ? 1) ? ( ) . …………………………………………………14 分 3
(Ⅱ)当 n ? 1 时, b1 ? T1 ,由 T1 ?


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