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2016年中国科学技术大学自主招生数学试题


2016 年中国科学技术?学?主招?试题
兰琦
2016 年 6 ? 21 ?

1. 32016 除以 100 的余数为 解 21.



由于 32016 = 91008 = (10 ? 1)1008 ,有
1007 32016 ≡ (?1)1008 + C1 · 10 (mod 100), 1008 · (?1)

于是 32016 ≡ 21 (mod 100). 2. 复数 z1 , z2 满? |z1 | = 2,|z2 | = 3,|z1 + z2 | = 4,则 解 1 ± 6 √ 15 i. 6 z1 的值是 z2 .

设复数 z1 , z2 , z1 + z2 在复平面内的对应点分别为 A, B, C ,则四边形 OACB 构成平?四边形.复数 的模为 2 ,接下来求它的辐角. 3 y C

z1 z2

A B O x

在 △OAC 中应用余弦定理,有 cos A = 于是 cos ∠AOB = 1 ,进?可得 4 2 z1 = z2 3 ?

22 + 32 ? 42 1 =? , 2·2·3 4

1 ± 4

√ ? √ 15 1 15 i = ± i. 4 6 6

3. ? S (A) 表?集合 A 的所有元素之和,且 A ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},S (A) 能被 3 整除,但不能被 5 整除, 则符合条件的?空集合 A 的个数是 解 70. .

1

2016 年中国科学技术?学?主招?试题

将集合 A 划分为 A1 = {1, 4, 7}, A2 = {2, 5, 8}, A3 = {3, 6}, 于是使得 S (A) 能被 3 整除的非空集合 A 的个数有 [ ] 2 3 2 1 2 2 2 (C0 · 2 ? 1 = 87. 3 + C3 ) + (C3 ) + (C3 )

接下来考虑 S (A) 能被 15 整除的非空集合 A 的个数,此时 S (A) = 15 或 S (A) = 30. (1) S (A) = 15.此时按最?元素分别为 8, 7, 6, 5 分类,分别有 5, 4, 3, 1 个,共计 13 个. (2) S (A) = 30.此时只需要考虑 S (A) = 6 的情形,共有 4 个. 综上所述,符合条件的非空集合 A 的个数为 87 ? 13 ? 4 = 70. 4. 已知 △ABC 中,sin A + 2 sin B cos C = 0,则 tan A 的最?值是 √ 3 解 . 3 由 sin A = sin(B + C ) = sin B cos C + cos B sin C ,得 3 sin B cos C + cos B sin C = 0, 即 3 tan B + tan C = 0. 于是 tan B + tan C 2 tan B tan A = ? tan(B + C ) = ? = = 1 ? tan B · tan C 1 + 3 tan2 B 2 1 + 3 tan B tan B √ 3 ? , 3 .

√ √ √ 3 3 等号当 tan B = , tan C = ? 3 时取得.因此 tan A 的最?值为 . 3 3

5. 若对任意实数 x 都有 |2x ? a| + |3x ? 2a| ? a2 ,则 a 的取值范围是 . ? ò 1 1 解 ? , . 3 3 ? ? 2a 2a |a| 易知函数 f (x) = |2x ? a| + |3x ? 2a| 在 x = 处取得最小值 f = ,于是解不等式 3 3 3 |a| 1 1 ? a2 , 得 ? ? a ? . 3 3 3 ? ò 1 1 因此 a 的取值范围是 ? , . 3 3 6. 若 a ∈ 解 (π π) , ,b ∈ (0, 1),x = (sin a)logb sin a ,y = (cos a)logb cos a ,则 x 4 2 y (填 >, =, <).

>. ln2 cos a ln2 sin a , ln y = , ln b ln b ln2 sin a ln2 cos a > , ln b ln b

取对数,可得 ln x = ? sin a > cos a ? 0 > ln sin a > ln cos a ? ln2 sin a < ln2 sin b ? 因此 ln x > ln y ,从? x > y . 2

2016 年中国科学技术?学?主招?试题

7. 梯形 ABCD 中 AB ∥ CD,对?线 AC, BD 交于 P1 ,过 P1 作 AB 的平?线交 BC 于点 Q1 .AQ1 交 BD 于 P2 ,过 P2 作 AB 的平?线交 BC 于点 Q2 ,· · · .若 AB = a,CD = b,则 Pn Qn = a, b, n 表?). 解 ab . a + bn (?

如图. D P1 P2 C Q1 Q ··· 2 B

A 设 Pn Qn = xn (n ∈ N),则 x0 = CD = b,且 1 1 1 = + , xn xn?1 a 于是可得 1 n 1 ab = + ,即 xn = (n ∈ N). xn a x0 a + bn
2016 √ ∑ 1 n 最接近的整数,则 = n=1 an

8. 数列 {an } 中 an 是与 解 444 . 5



? ò √ √ 1 n + ,即 记 k = round( n),则有 k = 2 k? 因此 a1 , a2 , · · · , a2016 为 1, 1 , 2, 2, 2, 2, · · · , k, k, · · · , k , · · · , 44, 44, · · · , 44, 45, 45, · · · , 45,
2 个 4 个 2k 个 88 个 36 个

√ 1 1 1 n + < k + 1, 也即 k 2 ? k + ? n < k 2 + k + , 2 4 4

进?可得
2016 ∑ n=1

? 44 ? ∑ 1 1 444 1 = · 2k + · 36 = . an k 45 5
k=1

9. 已知 a, b, c > 0,a + b + c = 3,求证: 解 由均值不等式,有

b2 3 a2 c2 √ + √ ? . √ + 2 a + bc b + ca c + ab LHS ? ∑
cyc

2a2 , 2a + b + c

再由柯西不等式,有


cyc

2a2 2(a + b + c)2 3 ? = , 2a + b + c 4(a + b + c) 2

因此原不等式得证.

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2016 年中国科学技术?学?主招?试题

10. 求所有函数 f : N? → N? ,使得对任意正整数 x ?= y ,0 < |f (x) ? f (y )| < 2|x ? y |. 解 f (n) = f (1) + n ? 1,其中 f (1) ∈ N? .

根据题意,取 y = x + 1,则有对任意 x ∈ N? ,均有 0 < |f (x + 1) ? f (x)| < 2, 即 |f (x + 1) ? f (x)| = 1. 考虑到对任意正整数 x ?= y ,|f (x) ? f (y )| > 0,因此 f 为单射.这就意味着 f (x + 1) ? f (x) ≡ 1 或 f (x + 1) ? f (x) ≡ ?1(否则必然出现不同的自变量映射到同?个正整数).考虑到象的集合为 N? ,因此 f (x + 1) ? f (x) ≡ 1,进?可得 f (n) = f (1) + n ? 1,其中 f (1) ∈ N? . 11. 求?程 2x ? 5y · 7z = 1 的所有?负整数解 (x, y, z ). 解 (x, y, z ) = (1, 0, 0), (3, 0, 1).

根据题意,有 (?1)x ? (?1)y · 1z ≡ 1 (mod 3), 因此 x 为奇数且 y 为偶数, 设 x = 2m +1, y = 2 n, 其中 m, n ∈ N. 于是原?程等价于 2 · 4m ? 25n · 7z = 1. 若 n ?= 0,则 2 · (?1)m ≡ 1 (mod 5),

?盾,于是 n = 0.此时原?程等价于 2 · 4m ? 7z = 1. (1) 若 z = 0,则 m = 0,因此 (x, y, z ) = (1, 0, 0) 为符合题意的?组解. (2) 若 z ?= 0,则 ?(?1)z ≡ 1 (mod 4),

于是 z 为奇数,设 z = 2p + 1,p ∈ N,则原?程等价于 2 · 4m ? 7 · 49p = 1.若 p = 0,则 m = 1,因此 (x, y, z ) = (3, 0, 1) 为符合题意的?组解.若 p ?= 0,则 m ? 4,于是 ?7 · 1p ≡ 1 (mod 16), ?盾. 综上所述,原?程的所有非负整数解为 (x, y, z ) = (1, 0, 0), (3, 0, 1).

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