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【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练:小题综合限时练6]


限时练?六?
(建议用时:40 分钟) 一、选择题 2 1.已知 R 是实数集,M={x|x<1},N={y|y= x-1+1},则 N∩(?RM)= ( A.(1,2) C.? 解析 B.[0,2] D.[1,2] x-2 2 ∵ x<1, ∴ x >0, ∴x<0 或 x>2, ∴M={x|x<0 或 x>2}, ∵y= x-1 ).

+1≥1

,∴N={y|y≥1},∴N∩(?RM)=[1,2]. 答案 D -2+3i (i 是虚数单位)所对应的点位于( 3-4i B.第二象限 D.第四象限 ).

2.在复平面内,复数 A.第一象限 C.第三象限 解析 ∵

-2+3i ?-2+3i??3+4i? -18+i 18 1 18 1 = = 25 =-25+25i, ∴-25+25i 对应的 3-4i ?3-4i??3+4i?

18 1 点为(-25,25),在第二象限 答案 B

3.在检验某产品直径尺寸的过程中,将某尺寸分成若干组,[a,b)是其中的一组, 抽查出的个体数在该组上的频率为 m, 该组在频率分布直方图上的高为 h, 则|a -b|等于( m A. h C.mh 解析 答案 ). h B.m D.与 h,m 无关 m 根据频率分布直方图的概念可知,|a-b|×h=m,由此可知|a-b|= h . A

ex-1 4.给定命题 p:函数 y=ln[(1-x)(1+x)]为偶函数;命题 q:函数 y= x 为偶函 e +1

数,下列说法正确的是( A.p∨q 是假命题 C.p∧q 是真命题 解析

). B.(綈 p)∧q 是假命题 D.(綈 p)∨q 是真命题

对于命题 p: y=f(x)=ln[(1-x)(1+x)], 令(1-x)(1+x)>0, 得-1<x<1,

∴函数 f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又∵f(-x)=ln[(1+x)(1-x)]= ex-1 f(x),∴函数 f(x)为偶函数;∴命题 p 为真命题;对于命题 q:y=f(x)= x , e +1 1 -1 e -1 ex 1-ex 函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,f(-x)= -x = = =-f(x), e +1 1 1+ex ex+1
-x

∴函数 f(x)为奇函数,∴命题 q 为假命题.∴(綈 p)∧q 是假命题,故选 B 答案 B

5.等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前 13 项的和是 ( A.13 C.52 解析 B.26 D.156 ∵3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24, ).

13?a1+a13? 13?a4+a10? 13×4 ∴6a4+6a10=24,∴a4+a10=4,∴S13= = = 2 =26. 2 2 答案 B ).

6.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数(

A.y=x+1 的图象上 B.y=2x 的图象上 C.y=2x 的图象上 D.y=2x-1 的图象上 解析 由程序框图知:x=1,y=1,输出(1,1);x=2,y=2,输出(2,2);x=3,

y=4,输出(3,4);x=4,y=8,输出(4,8);x=5,y=16,结束循环,点(1,1), (2,2),(3,4),(4,8)在 y=2x-1 的图象上. 答案 D

7. 把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 连接 AC, 得到三棱锥 C-ABD, 其正视图、俯视图为全等的等腰直角三角形(如图所示),则其侧视图的面积为 ( ).

3 A. 2 C.1 解析

1 B.2 2 D. 2 由条件知直观图如图所示,其中 M 是 BD 的中点,则 CM⊥平面 ABD,

侧视图就是 Rt△CMA,CM=AM=1,CM⊥AM, 1 1 S△CMA=2×1×1=2.

答案

B

8.已知等边△ABF 的顶点 F 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)的焦点,顶点 B 在抛物 线的准线 l 上且 AB⊥l,则点 A 的位置( A.在 C1 开口内 C.在 C1 开口外 解析 ). B.在 C1 上 D.与 p 值有关

p p 3p 设 B(-2,m),由已知有 AB 中点的横坐标为2,则 A( 2 ,m),△ABF 是 3p p ? 2 -2?2+m2=2p,

边长|AB|=2p 的等边三角形,即|AF|= ∴p2+m2=4p2,

3p ∴m=± 3p,∴A( 2 ,± 3p),代入 y2=2px 中,得点 A 在抛物线上. 答案 B π 3π x 在[-4, 4 ]上单调递减,则 f(x)可以是( B.cos x x+cos x=cos x-sin D.sin x x ).

9.若函数 y=f(x)+cos A.1 C.-sin 解析

-sin

π x= 2cos (x+4),

π 3π π ∵-4≤x≤ 4 ,∴0≤x+4≤π, π 3π ∴函数 y=-sin x +cos x 在[-4, 4 ]上为减函数. 答案 C

1 1 10.已知向量 a,b,满足|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)=3x3+2|a|x2+a· bx 在 R 上有极值,则向量 a,b 的夹角的取值范围是( π? ? A.?0,6? ? ? ?π ? C.?3,π? ? ? 解析 |a|2cos ?π ? B.?6,π? ? ? ?π 2π? D.?3, 3 ? ? ? 1 1 1 θ· x=3x3+2|a|x2+2 ).

1 1 设 a、b 的夹角为 θ,∵f(x)=3x3+2|a|x2+|a||b|cos 1 θ· x,∴f′(x)=x2+|a|x+2|a|2cos

θ,∵函数 f(x)有极值,∴f′(x)=0 θ>0,即 1-2cos θ>0,∴cos θ

有 2 个不同的实根,∴Δ=|a|2-2|a|2cos 1 π <2,∴3<θ≤π. 答案 C

x2 y2 11.设 F1,F2 是双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点, 若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则 C 的离心率为( A. 2 C. 3 B.2 2 4 3 D. 3 ).

解析

设 P 点在双曲线右支上,由题意得

?|PF1|+|PF2|=6a, ? 故 |PF1| = 4a , |PF2| = 2a ,由 条件 得 ∠ PF1F2 = 30° ,由 ?|PF1|-|PF2|=2a, sin 2a = 30° sin 4a , ∠PF2F1

得 sin

∠PF2F1=1,∴∠PF2F1=90° ,在 Rt△PF2F1 中,2c= ?4a?2-?2a?2=

c 2 3a,∴e=a= 3. 答案 C

1 ? ? x+1,x≤1, 12.已知函数 f(x)=?4 ? ?ln x,x>1,

则方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实根时,实 ).

数 a 的取值范围是(注:e 为自然对数的底数)( 1? ? A.?0,e? ? ? 1? ? C.?0,4? ? ? 解析

?1 1? B.?4,e? ? ? ?1 ? D.?4,e? ? ?

1 ∵y=ln x(x>1),∴y′= ,设切点为(x0,y0), x
0 0

1 1 ∴切线方程为 y-y0=x (x-x0),∴y-ln x0=x (x-x0),若其与 y=ax 相同,则 1 1 1 a=x ,ln x0-1=0,∴x0=e,∴a=e.当直线 y=ax 与 y=4x+1 平行时,直线
0

1 1 1 为 y=4x,当 x=1 时,ln x-4x=ln 1-4<0,当 1 1 1 1 x=e 时,ln x-4x=ln e-4e>0,当 x=e3 时,ln x-4x=ln e3-4e3<0,∴y=ln 1 1 x 与 y= x 的图象在(1,e),(e,e3)上各有 1 个交点,∴直线 y=ax 在 y= x 和 4 4 1 ?1 1? y= ex 之间时,与函数 f(x)的图象有 2 个交点,所以 a∈?4,e?,故选 B. ? ?

答案

B

二、填空题 S 13.在面积为 S 的矩形 ABCD 内随机取一点 P,则△PAB 的面积小于4的概率是 ______.

解析

1 S 如图, PE⊥AB, 设矩形的边长 AB=a, BC=b, PE=h, 由题意得, ah ≤ 2 4

1 2 1 ab b = 4 ,∴h≤2,由几何概型的概率计算公式得所求概率 P=1=2. 答案 1 2

?x+y≤4, 14.已知点 P 的坐标(x,y)满足?y≥x, ?x≥1,

过点 P 的直线 l 与圆 C:x2+y2=14

相交于 A、B 两点,则|AB|的最小值为________.

解析

要使弦 AB 最短,只需弦心距最大,根据图象知点 P(1,3)到圆心的距离

最大,则|OP|= 10,圆的半径为 14,∴|AB|min=2 14-10=4. 答案 4

15.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,对于任意的 n >1,n∈N*,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)都成立,则 S10=________. 解析 ?Sn+1+Sn-1=2Sn+2, ∵? ∴an+2+an=2an+1, ?Sn+2+Sn=2Sn+1+2,

∴数列{an}从第二项开始为等差数列,当 n=2 时,S3+S1=2S2+2,∴a3=a2 +2=4,∴S10=1+2+4+6+…+18=1+ 9?2+18? =91. 2

答案

91

16.已知 g(x)=-x2-4,f(x)为二次函数,满足 f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=0,且 f(x)在[-1,2]上的最大值为 7,则 f(x)=______. 解析 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则由题意可得 f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=

2ax2+2c-2x2-8=0,得 a=1,c=4.显然二次函数 f(x)在区间[-1,2]上的最大 值只能在 x=-1 时或 x=2 时取得.当 x=-1 函数取得最大值 7 时,解得 b= 1 -2;当 x=2 函数取得最大值 7 时,解得 b=-2,所以 f(x)=x2-2x+4 或 f(x) 1 =x2- x+4. 2 答案 1 x2-2x+4 或 x2-2x+4


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