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平面直角坐标系中的基本公式与直线方程


数学必修二第二章第一、二节
平面直角坐标系中的基本公式与直线方程 C卷
一、选择题 1.设点 A(2,-3),B(-3,-2), 直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交, 则 l 的斜率 k 的取值范围 是( )

2.若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 1) x ? (2

a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直, 则a的 值是( ) B. 1 C. 0 或 ?

3 D. 1 或 ? 3 2 ? ? ? 3.若直线 l 的倾斜角 ? 满足 0 ? ? ? 150 ,且 ? ? 90 ,则它的斜率 k 满足(
A. ? 3 A. ?

)

3 ?k ?0 3

B. k ? ?

3 3 3 3

C. k ? 0或k ? ? 3 4.下列说法正确的是 A.经过定点

D. k ? 0或k ? ? ( )

Px y ? 0, ? 0 0

的直线都可以用方程

yy ? ? k xx ? ? ? 0 0

表示

x? b B.经过定点 A?0,b? 的直线都可以用方程 y?k 表示

x y ? ?1 C.不经过原点的直线都可以用方程 a b 表示

、P2 ?x2,y2 ? 的直线都可以用方程 1 ?x1,y1 ? D.经过任意两个不同的点 P
y ? y x ? xx ? ? x y ? y ? ? ? ? ? ? ? ? 12 1 12 1 表示
5. 设 两 条 直 线 的 方 程 分 别 为 x ? y ? a ? 0和x ? y ? b ? 0, 已 知 a , b 是 关 于 x 的 方 程

1 x2 ? x ? c ? 0 的两个实数根,且 0≤c≤ ,则这两条直线之间距离的最大值和最小值 8
分别为( A. )

2 1 , 4 2

B.

2 , 2 2

C.

2,

1 2

D.

2 1 , 2 2

6.若动点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 分别在直线 l1 : x ? y ? 7 ? 0和l2 : x ? y ? 5 ? 0 上移动, 则线段

AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为(
A.2 3 B.3 3 C.3 2

) D.4 2

1

7.对于平面直角坐标系内任意两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,定义它们之间的一种“折线距离” : 的个数是( d ( A, B) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | .则下列说法正确 .. ①若 A ? -1,3? , B ?1,0? ,则 d ( A, B) ? 5 ; ②若点 C 在线段 AB 上,则 d ( A, C ) ? d (C, B) ? d ( A, B) ; ③在 ?ABC 中,一定有 d ( A, C ) ? d (C, B) ? d ( A, B) ; ④在平行四边形 ABCD ,一定有 d ( A, B) ? d ( A, D) ? d (C, B) ? d (C, D) . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.已知两定点 A(-3,5),B(2,15),动点 P 在直线 3x-4y+4=0 上,则 PA + PB 的最小 值为( ) B. 362 C.15 5 D.5+10 2 )

A.5 13

二、填空题 9.设直线 L 过点 A (2, 4) , 它被平行线 x-y+1=0 与 x-y-1=0 所截是线段的中点在直线 x+2y-3=0 上,则 L 的方程是_____________________ 10.无论 m 为何值,直线 l : (2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0 恒过一定点 P,则点 P 的坐标 为 . 11.原点 O 在直线 L 上的射影为点 H(-2,1) ,则直线 L 的方程为_____________. 12.过点(1,3)作直线 l,若 l 经过点(a,0)和(0,b) ,且 a,b∈N*,则可作出的 l 的 个数为 条. 13.过点 A(1,4)且在 x、y 轴上的截距相等的直线共有 条. 14.如图,平面中两条直线 l 1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 x , y 分别是 M 到直线 l 1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对(x , y)是点 M 的“ 距离坐标 ” 。 已知常数 ..p≥0, q≥0,给出下列三个命题: ①若 p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且只有 1 个; ②若 pq=0, 且 p+q≠0,则“距离坐标”为( p, q) 的点有且只有 2 个; ③ 若 pq≠0 则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且只有 3 个. 上述命题中,正确的有 . (填上所有正确结论对应的序号) 15. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 定 义 两 点 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 之 间 的 交 通 距 离 为

d ? P, Q? ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 。若 C ?x ,y ? 到点 A?1,3? , B ? 6,9? 的交通距离相等,其中实数

x, y 满足 0 ? x ? 10,0 ? y ? 10 ,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长之和为



16.三条直线 x+y+1=0,2x-y+8=0 和 ax+3y-5=0 只有两个不同的交点,则 a=______________

2

三、解答题

17.已知直线 l 过点 P ?1, 2? 为,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点, O 为坐标 原点. (1)当 OP ? l 时,求直线 l 的方程; (2)当 ?OAB 面积最小时,求直线 l 的方程并求出面积的最小值.

18.已知射线 l1:y=4x(x≥0)和点 P(6,4) ,试在 l1 上求一点 Q 使得 PQ 所在直线 l 和 l1 以及直线 y=0 在第一象限围成的面积达到最小值,并写出此时直线 l 的方程.

19.如图,已知两条直线 l1:x-3y+12=0,l2:3x+y-4=0,过定点 P(-1,2)作一条直线 l,分别 与 l1,l2 交于 M、N 两点,若 P 点恰好是 MN 的中点,求直线 l 的方程.

20.一束光通过 M(25,18)射入被 x 轴反射到圆 C:x +(y-7) =25 上. (1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程; (2)求在 x 轴上反射点 A 的活动范围.

2

2

3

参考答案 1.A 2.D 3.D 4.D 5.D 6.C 7.C 8.A 9.3x-y-2=0 10.

11.

12.2 由 l 经过点(a,0)和(0,b)求出 l 的斜率,写出直线方程的点斜式,代入点(a,0)可 得 =1,

求出满足该式的整数对 a,b,则答案可求. 解:由题意可得直线 L 的表达式为 y= (x﹣1)+3 =1,

因为直线 l 经过(a,0) ,可得 +3=b 变形得

因为 a,b 都属于正整数,所以只有 a=2,b=6 和 a=4,b=4 符合要求 所以直线 l 只有两条,即 y=﹣3(x﹣1)+3 和 y=﹣(x﹣1)+3. 故答案为 2. 本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率的关系, 训练了代入法, 关键是确定整数 解,是基础题. 13.2 直线的截距式方程. 探究型;分类讨论. 分直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程,则答案可求. 解:当直线过坐标原点时,方程为 y=4x,符合题意; 当直线不过原点时,设直线方程为 x+y=a,
4

代入 A 的坐标得 a=1+4=5. 直线方程为 x+y=5. 所以过点 A(1,4)且在 x、y 轴上的截距相等的直线共有 2 条. 故答案为 2. 本题考查了直线的截距式方程,考查了分类讨论的数学思想方法,是基础题. 14.①② 15. 5

?

2 ?1 。

?

解析:由条件得 x ?1 ? y ? 3 ? x ? 6 ? y ? 9 。 当 x ? 1, y ? 9 时,无解; 当 1 ? x ? 6, y ? 9 时,无解; 当 x ? 6, y ? 9 时,无解; 当 x ? 1,3 ? y ? 9 时, y ? 8.5 ,线段长为 1。 当 1 ? x ? 6,3 ? y ? 9 时, x ? y ? 9.5 ,线段长为 5 2 。 当 x ? 6,3 ? y ? 9 时 y ? 3.5 ,线段长为 4 。 当 x ? 1, y ? 3 时,无解。 当 1 ? x ? 6, y ? 3 时,无解。 当 x ? 6, y ? 3 时,无解。 综上所述,点 C 的轨迹构成的线段的长之和为 1 ? 5 2 ? 4 ? 5 16.3 或-6 17.解: (1)由已知 kOP ? 2 , kl ? ?

?

2 ?1 。

?

1 1 ?? , kop 2
1 ? x ? 1? , 2

由直线方程的点斜式可得直线 l 的方程为 y ? 2 ? ? 所以直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 (2)设直线 l 的方程为

x y ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? , a b 1 2 因为直线过 P ?1, 2 ? ,所以 ? ? 1 a b


1?

1 2 2 ? ?2 ,∴ a b ab

ab ? 8 ,

5

?1 2 ? ?1 ? ?a ? 2 ?a b 当且仅当 ? ,即 ? 时,取得等号. ?b ? 4 ?1 ? 2 ? 1 ? ?a b 2
1 ab ? 4 ,即面积的最小值为 4 2 x y 所以,直线 l 的方程是 ? ? 1 ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 18.解:设点 Q 坐标为(a,4a) ,PQ 与 2 4


S ?ABC ?

x 轴正半轴相交于 M 点. 由题意可得 a>1,否则不能围成一个三角形. PQ 所在的直线方程为: 令 ∵a>1,∴ , , ,


2

=



当且仅当(a﹣1) =1 取等号.所以 a=2 时,Q 点坐标为(2,8) ; PQ 直线方程为:x+y﹣10=0. 19.参考答案:设所求直线 l 的方程为: y=k(x+1)+2



交点 M 的横坐标 xM=

.

由 ∵P 为 MN 的中点,

交点 N 的横坐标 xN=

∴ 所求直线 l 的方程为 x+2y-3=0.

.

6

20.参考答案:(1)M(25,18)关于 x 轴的对称点为 M′(25,-18)依题意,反射线所在直线过

(25,-18),即 即 x+y-7=0.

.

(2)设反射线所在直线为 y+18=k(x-25). 即 kx-y-25k-18=0.

7


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