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江苏省苏州市2015届高三数学二轮复习 考前保温1 考前第15天(教师版)


考前保温 1(第 15 天)
一、填空题 1.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可 能的,则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________. 答案:

1 . 3
9 ,其中甲、乙两位同学参加同一个兴趣

解析:利用树状图可知基本事件总数为 3? 3 小组的有 3

种,故所求的概率为

3 1 = . 9 3

2.某单位有 200 名职工,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机 按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号,6~10 号,…,196~200 号).若第 5 组抽出的号码为 23,则第 8 组抽出的号码应是________. 答案:38. 解析:由题意易见系统抽样的间隔为 5 ,设第一段中抽取的起始的个体编号为 a ,由第 5 组抽出的号码为 23 得 a ? 4 ? 5 ? 23 ,所以 a =3,故第 8 组抽出的号码是 3 + 7 ? 5

58 .

3 .已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,它的图象关于直线 x ? 2 对称,当 x ? [0 , 2] 时,

? tan x , x ?[0, 1), ,则 f ( x) ? ? ? f ( x ? 1) , x ?[1, 2]
答案:

? ? ? f ? ? ? 5? ? ? 6 ?



3 . 3

解析:由题意知 f ( x) ? f (4 ? x) ? f ( x ? 4) ,所以周期为 4,

? ? ? 3 ? ? ? 所以 f ? ? ? 5 ? ? f ( ? 5) ? f ( ? 1) ? f ( ) ? . 6 6 6 3 ? 6 ?
4.把函数 y ? cos2x ? 3 sin 2x 的图象向左平移 m ( m ? 0 )个单位所得的图象关于 y 轴 对称,则实数 m 的最小值为 答案: .

? . 3

解 析 : y ? c o2s x ? 3s i 2 n x = 2 cos( 2 x ?

?
3

) 向 左 平 移 m 个 单 位 得 到

y ? 2 cos( 2( x ? m) ?

?
3

) , 由 题 意 知 当 x ? 0, 时 2m ?

?
3

? k? , k ? Z , 即

k? ? , k ? Z ,故 m 的最小值为 6 2 3 2 2 5.若直线 y ? kx ? 2k 与圆 x ? y ? mx ? 4 ? 0 至少有一个交点,则实数 m 的取值范围是 m?? ?
________. 答案: m ? 4 . 解析:直线过定点 (?2,0) ,所以点 (?2,0) 在圆内或圆上,由 ? 6.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?
n 1 4 12 ,则 ? ? ,2 ? a n ?1 ? 3 an ? 6 i ?1 ai

?

?m 2 ? 16 ? 0 得m ? 4 ? 8 ? 2m ? 0


答案:

3n ? 1 n ? . 2 4

解析:由 a n ?1 ? 2 ?

2an 12 1 1 1 1 1 1 1 ,得 ? 3 ? ? ,即 ? ? 3( ? ) , ? an?1 an 2 a n ?1 4 an 4 an ? 6 an ? 6

因为

1 1 1 1 ? ?1 ? 0 ,所以 { ? } 构成以 1 为首项,3 为公比的等比数列,所以 a1 4 an 4

n 3n ? 1 n 1 1 ? 3n 1 1 1 1 1 n ?1 n ?1 ? n? ? . ? ? 3 ,即 ? 3 ? ,故 ? ? 1? 3 4 2 4 an 4 an 4 i ?1 ai

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,Q 是 y 轴上 7.已知 F1 、 F2 分别为双曲线 16 9
的一个动点,若 PF1 ? PF2 ? 12 ,则 PQ ? ( PF2 ? PF 1) ? 答案: ? 48 . 解析: PQ ? ( PF2 ? PF 1 ) ? ( PO ? OQ) ? F 1 F2 ? PO ? F 1 F2 .

?

1 1 ( PF1 ? PF2 ) ? ( PF2 ? PF1 ) ? ( PF1 ? PF2 )( PF2 ? PF1 ) ? ?48 2 2

?1 ? , x ?1 8.已知函数 f ( x ) ? ? x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? 1) 有两个不同的实根,则实 3 ? ?x , x ? 1
数 k 的取值范围是________.

27 ,?? ) . 4 1 3 解析:画出图像,当 k ? (0, ) 符合题意,当 y ? k ( x ? 1) 与 f ( x) ? x 相切时,设切点为 2
答案: k ? (0, ) ? (

1 2

( x0 , x0 ), 由 3x0

3

2

x 3 27 得 x0 ? 0 ( 舍 ) 或 x 0 ? ? , 此 时 k ? , 故 ? 0 2 4 x0 ? 1

3

1 27 k ? (0, ) ? ( ,?? ) . 2 4

二、解答题 9. 如图,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60° ,半径为 2,在弧 AB 上有一动点 P,过 P 引平行 于 OB 的直线和 OA 交于点 C,设∠AOP=θ,求△POC 面积的最大值及此时 θ 的值. 解:∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ ,∠OCP=120°. 在 △ POC 中 , 由 正 弦 定 理 得

OP CP ? sin ?PCO sin ?



2 CP 4 ? , CP ? sin ? ? sin ? sin 120 3 OC 2 4 又 ? ,? OC ? sin(60? ? ? ) , sin(60? ? ? ) sin 120? 3 1 因此△POC 的面积为 S(θ )= CP·OCsin 120° 2 1 4 4 3 4 = · sin θ · sin(60°-θ )× = sin θ sin(60°-θ ) 2 2 3 3 3

2 3 1 2 sin θ cos ? ? sin ? ) =2sin θ ·cos θ 2 2 3 3 π 3 3 3 2 3 =sin 2θ + cos 2θ = sin (2? ? ) ? 3 6 3 3 3 ? 3 ∴θ = 时,S(θ )取得最大值为 . 6 3
= sin θ ( 10 .在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :
6 x2 y 2 ,且过点 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

4

?3, ?1? .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若动点 P 在直线 l : x ? ?2 2 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , N 两 点,使得 PM ? PN ,再过 P 作直线 l ' ? MN ,证明:直线 l ` 恒过定点,并求出该定点的坐标. 9 1 解:(1)由题意知点(3,-1)在椭圆 C 上,即 2+ 2=1, ① a b
2 2 6 c2 a -b 6 2 又椭圆的离心率为 ,所以 2= 2 =( )2= ,② 3 a a 3 3

联立①②可解得 a2=12,b2=4,所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 + =1. 12 4

2 3 2 3 (2)因为直线 l 的方程为 x=-2 2,设 P(-2 2,y0),y0∈(- , ), 3 3 当 y0≠0 时,设 M(x1,y1),N(x2,y2),显然 x1≠x2, x2 y2 1 1 + =1, 2 2 2 2 12 4 x1-x2 y1-y2 y1-y2 1 x1+x2 联立 2 则 + =0,即 =- · , 2 12 4 3 y1+y2 x - x x2 y2 1 2 + =1, 12 4

? ? ?

1 -2 2 2 2 又 PM=PN,即 P 为线段 MN 的中点,故直线 MN 的斜率为- · = , 3 y0 3y0 又 l′⊥MN,所以直线 l′的方程为 y-y0=- 4 2 显然 l′恒过定点(- ,0); 3 4 2 当 y0=0 时, 直线 MN 即 x=-2 2, 此时 l′为 x 轴亦过点(- , 0). 综上所述, l′恒过定点(- 3 4 2 ,0). 3 11.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 3(a ? 0), (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若对于任意的 a ? [1, 2] ,若函数 g ( x) ? x3 ? 在区间 ( a,3) 上有最值,求实数 m 的取值范围. 解: (1)由已知得 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且 f '( x) ? 当 a ? 0 时,f(x)的单调增区间为(0, 3y0 3y0 4 2 (x+2 2),即 y=- (x+ ), 3 2 2 2 2

x2 [m ? 2 f '( x)] 2

1 ? a, x

1 1 ) ,减区间为( , ?? ) ; a a

当 a <0 时,f(x)的单调增区间为(0,+∞) ,无减区间; (2) g ( x) ? x3 ?

x2 m [m ? 2 f '( x)] ? x3 ? ( ? a) x2 ? x, ? g '( x) ? 3x2 ? (m ? 2a) x ? 1, 2 2

? g ( x) 在 区 间 ( a,3) 上 有 最 值 , ? g ( x) 在 区 间 ( a,3) 上 总 不 是 单 调 函 数 , 又

? g '(a) ? 0 g '(0) ? ?1? ? ? g '(3) ? 0

由题意知:对任意 a ?[1,2], g '(a) ? 3a2 ? (m ? 2a) ? a ? 1 ? 5a2 ? ma ? 1 ? 0 恒成立,

?m ?

19 1 ? 5a2 1 ? ? 5a ,因为 a ? [1, 2] ,所以 m ? ? , 2 a a 32 32 19 ?? ? m ? ? 3 3 2

对任意, a ? [1, 2] , g '(3) ? 3m ? 26 ? 6a ? 0 恒成立,? m ? ?

2 2 ? 3n2 an ? Sn 12.已知数列{an}的首项 a1=a,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足:Sn an≠0, ?1 ,

n≥2,n∈N*.(1)若数列{an}是等差数列,求 a 的值;(2)若对 ?n ? N ? 都有 an ? an?1 ,求实数 a 的取值范围.
2 2 解: (1)在 S2 n=3n an+Sn-1中分别令 n=2,n=3,及 a1=a 得

(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2,因为 a n≠0,所以 a2=12-2a,a3=3 +2a. 因为数列{an}是等差数列,所以 a1+a3=2a2,即 2(12-2a)=a+3+2a,解得 a=3. 3n(n+1) 3n(n-1) 2 2 经检验 a=3 时,an=3n,Sn= ,Sn-1= 满足 S2 n=3n an+Sn-1. 2 2
2 2 2 2 2 2 (2)由 S2 n=3n an+Sn-1,得 Sn-Sn-1=3n an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n an,

即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为 an≠0,所以 Sn+Sn-1=3n2,(n≥2),① 所以 Sn+1+Sn=3(n 2 +1) ,② ②-①,得 an+1+an=6n+3,(n≥2).③ 所以 an+2+an+1=6n+9,④ ④-③,得 an+2-an=6,(n≥2) 即数列 a2,a4,a6,…,及数列 a3,a5,a7,…都是公差为 6 的等差数 列,又 a2=12-2a, a3=3+2a.

?a,n=1, ? 所以 an=?3n+2a-6,n为奇数且n≥3, 要使数列{an}是递增数列,须有 a1<a2,且当 n ?3n-2a+6,n为偶数, ?
为大于或等于 3 的奇数时,an<an+1,且当 n 为偶数时,an<an+1,即 a<12-2a,3n+2a -6<3(n+1)-2a+6(n 为大于或等于 3 的奇数),3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n 为偶数), 9 15 解得 <a< . 4 4


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