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2013年汕头市高三第一次模拟考试理科数学参考答案及评分标准


汕头市 2013 年普通高中高三教学质量测评理数参考答案及评分标准 一、选择题:BCDAC BCA 二、填空题:9、 y ? x ? 1 10、 [?

3 ,6 ] 2

11、 a ?

4 9

12、 ( ,?1)

1 4

13、 ? ?

? 5 7? , ? ? 3 3?

14、 2 2 ? 2

15、 4

部分解析:8、理解一:

理解二:由于涂色过程中,要保证满足条件(用四种颜色,相邻的面不同色), 正方体的三对面,必然有两对同色,一对不同色,而且三对面具有“地位对等性”,
1

因此, 只需从四种颜色中选择 2 种涂在其中一对面上, 剩下的两种颜色涂在另外
2 两个面即可。因此共有 C 4 =6 种不同的涂法。

13 、

A

B

D

C

1 因为 AD ? AB ? BD ? AB ? BC ? 3 1 2 1 AB ? ( AC ? AB) ? AB ? AC 3 3 3 2 1 所以AD ? BC ? ( AB ? AC)( AC ? AB) 3 3 2 2 2 1 1 1 ? ? AB ? AB ? AC ? AC ? 2 cos? ? 3 3 3 3 5 7 所以AD ? BC ? - , ) ( 3 3

15 题的答案探讨:

N

15 题是一个错题,因为里面要同时满足条件 CP=2, PA=6, ∠B=30?,AC 与 BD 相 交于 P 的弦 AC 是不存在的。 由此,可能会获得以下答案,建议应把以下答案也做为符合要求的答案,才显得 公平。 (1) 评分标准提供的 4. (2) 由 ∠ D=90 ? , ∠ B=30 ? , 得 AD=
1 7 3 AB= ,再由勾股定理得 2 3

2

PD= AP 2 ? AD 2 ? 36 ?

49 177 ? 3 3 196 2 3 ,再由△BCP ? 64 ? 3 3

(3) 连结 BC,由勾股定理得 BC= AB 2 ? AC 2 ? ∽△ADP 得 DP=PC·
三、解答题

AD 7 ? 2 ? =7; BC 2

A A ? 3 c o sA ? 2 s i n (2 c o s2 ? 1) …………………… …(2 分) 2 4 A A A A ? 3 cos A ? 2 sin (2 cos 2 ? 1) ? 2 sin cos ? sin A ……………… ………(4 分) 2 4 2 2
16、解: (1)? m// n

?

?

? tan A ? 3

又 A ? (0, ? )

?A?

?

(2) ? S ?ABC ?

1 1 ? 3 bc s i nA ? bc s i n ? 3 …………………………………(8 分) 2 2 3 2

3

………………………………………………(6 分)

?bc ? 6 ……………………………………………………………………(9 分)
由余弦定理得:a ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2

?
3

………………………………………(10 分)

? (b ? c) 2 ? 7 ? 3bc ? 25 …………………………………………………………(11 分)
? b ? c ? 5 …………………………………………………………………(12 分)
17、解: (Ⅰ)记 Ex 表示这 50 位市民幸福指数的数学期望,则

? Ex ?

1 (90 ?19 ? 60 ? 21 ? 30 ? 7 ? 0 ? 3) ? 63.6(分) …………………………(1 分) 50
………………………………………………(2分) ………………………………………………(3分) ………………………………………………(4分) ………………………………………………(5分) ………………………………………………(6分)

(Ⅱ) ξ 的可能取值为0、1、2、3

1 1 0 4 P(? ? 0) ? C3 ( ) 0 ( )3 ? 5 5 125 1 12 1 4 P (? ? 1) ? C3 ( )1 ( ) 2 ? 5 5 125 4 2 1 1 48 P(? ? 2) ? C32 ( ) ( ) ? 5 5 125 1 64 3 4 P(? ? 3) ? C3 ( ) 3 ( ) 0 ? 5 5 125

? ξ 分布列为

ξ

0

1

2

3

3

P

1 125

12 125

48 125

64 125
……………………(7 分)

(Ⅲ)方法一:设所有满足条件的对立事件 n ? m ? 60 的概率为 P1
1 1 ①满足 m ? 0且n ? 60 的事件数为: A3 A21 ? 63 ……………………(8 分) 1 1 ②满足 m ? 0且n ? 90 的事件数为: A3 A19 ? 57 ……………………(9 分) 1 1 ③满足 m ? 30且n ? 90 的事件数为: A7 A19 ? 133……………………(10 分)

? p1 ?

63 ? 57 ? 133 253 ……………………(11 分) ? 2 A50 2450

所以满足条件 n ? m ? 60 的事件的概率为

P ? 1? P ? 1? 1

253 2197 ? 2450 2450 .…………………………………………………(12 分)

2 方法二:基本事件的总数为 A50 ? 2450

满足条件 n ? m ? 60 的有如下各种情况:
1 1 ①满足 m ? 0 时, n ? 0,30 的事件数为: A3 A9 ……………………(8 分) 1 1 ②满足 m ? 30 时, n ? 0,30,60 的事件数为: A7 A30 ……………………(9 分) 1 1 ③满足 m ? 60 时, n ? 0,30,60,90 的事件数为: A21 A49 ……………………(10 分) 1 1 ④满足 m ? 90 时, n ? 0,30,60,90 的事件数为: A19 A49 ……………………(11 分)

所以
1 1 1 1 1 1 1 A3 A9 ? A7 A30 ? A21 A49 ? A19 A49 3 ? 9 ? 7 ? 30 ? 21? 49 ? 19 ? 49 2197 p? ? ? 2 50 ? 49 2450 A50

…………………………………………………(12 分) 18、证明: (Ⅰ)因为 PA ? PB ? PC ? AC ? 4 , 取 AC 的中点 O ,连接 OP, OB ,易得: OP ? AC ,……………………………(1 分)

P
4

OP ? PC2 ? OC 2 ? 42 ? 22 ? 2 3
? AC ? 4, AB ? 2, BC ? 2 3 ,
? AC 2 ? AB2 ? BC 2 ,? ?ABC为Rt?, .……………………………(2 分) ? OB ? OC ? 2, PB2 ? OB2 ? OP2 ,?OP ? OB .……………(3 分)
又? AC ? BO ? O且AC、OB ? 面ABC

? OP ? 平面 ABC ,又? OP ? 平面PAC

? 平面PAC ? 平面ABC ……………………………(5 分)
注意:该步骤要求学生的表达严谨规范,对于几个垂直的证明,如果没有过程,相应步骤得 分为 0 分,而利用结论的后续证明只要正确,可以相应步骤得分) (Ⅱ) VP ? ABC ?

1 1 1 1 OP ? AB ? BC ? ? 2 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 4 …………………(7 分) 3 2 3 2

(注意:该步骤只要计算出错,就 0 分) (Ⅲ)方法一:过点 E 作 EH ? AC 于 H,过点 H 作 HM ? AD 于 M, 连接 ME ,因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC = AC ,

EH ? AC , EH ? 平面 ABC ,所以 EH ? 平面 PAC ,
? ME ? AD (三垂线定理)(注意:也可以证明线面垂直) ? ?EMH 即为所求的二面角的平面角………(10 分)

? E, D 分别为中点, EH ? AC , ? 在 RT?HEC 中:
HC ? EC cos 30 0 ? 3 , 2

EH ? EC sin 300 ?
? AH ? 4 ? HC ? 5 2

3 …………………(11 分) 2

在 RT?HMA 中, MH ? AH sin 30 ?
0

5 …………(12 分) 4

5

所以, RT?HME 中, ME ?

HE 2 ? HM 2 ?

3 25 37 ? ? 4 16 4

MH 所以 cos?EMH ? ? ME

5 4 ? 5 37 ………………(14 分) 37 37 4

P

z

M

D
H

A

O

C

y

E B
x

方法二:以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系

O(0,0,0) , A(0,?2,0) , B( 3,?1,0) , C (0,2,0) , D(0,1, 3) , E (

3 1 , ,0) , P(0,0,2 3) , 2 2

? AE ? (

3 5 , ,0) , AD ? (0,3, 3) ,…………………………………………(9 分) 2 2
6

所以,可以设平面 AED 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 平面 ACD 的一个法向量为 n 2 ? (1,0,0) ,…………………………………………(10 分)

? 3 5 x? y ?0 3 3 ?n1 ? AE ? ,所以令 x ? 1 ,则 y ? ? ,z ? 2 2 ? 5 5 ?n ? AD ? 3 y ? 3 z ? 0 ? 1
所以 n1 ? (1,?

3 2 , ) ,可以设所求的二面角为 ? ,显然 ? 为锐角…………(11 分) 5 5

由 n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? cos ? n1 , n2 ?, 可得:………………………………(12 分)

cos? ? cos ? n1 , n2 ? ?

n1 ? n2 ? n1 ? n2

(1,?

3 2 , ) ? (1,0,0) 5 37 5 5 ……………… (14 分) ? 37 3 9 1? ? 25 25

19.解: (Ⅰ)易知 A (?a,0) , B (a,0) F1 (?c,0) ………………………………(1 分)

? AF ? F1 B ? (a ? c,0) ? (a ? c) ? 1…………………………(2 分) 1
y

Q

M

?a2 ? c2 ? b2 ? 1
又e ?

…………………………(3 分)
A

N
P

c2 a2 ?1 3 3 2 ?e2 ? 2 ? ? ,解得 a ? 4 2 4 2 a a

? F1

O

H

B

x

l

x2 ? 所求椭圆方程为: ? y 2 ? 1 …………………………(5 分) 4
(Ⅱ)设 P( x 0 , y0 ) 则 Q( x0 ,2 y0 ) ( x ? ?2及x ? 2) ? k AQ ?

2 y0 x0 ? 2

…………(6 分)

所以直线 AQ 方程 : y ?

2 y0 ( x ? 2) ………………………………………(7 分) x0 ? 2

7

? M (2,

8 y0 ) x0 ? 2

? N (2,

4 y0 ) ………………………………………(8 分) x0 ? 2

? k QN

4 y0 ? 2 y0 x0 ? 2 2x y ? ? 20 0 2 ? x0 x0 ? 4
2 2
2

又点 P 的坐标满足椭圆方程得到: x0 ? 4 y0 ? 4 ,所以 x0

? 4 ? ?4 y 0

2

? k QN ?

2 x0 y 0 x0 ? 4
2

?

2 x0 y 0 ? 4 y0
2

??

x0 …………………………………………(10 分) 2 y0
x0 ( x ? x0 ) ………………………………(11 分) 2 y0
2

? 直线 QN 的方程: y ? 2 y0 ? ?
2

化简整理得到: x0 x ? 2 y0 y ? x0 ? 4 y0 ? 4 即 x0 x ? 2 y0 y ? 4 ………(12 分) 所以 点 O 到直线 QN 的距离 d ?

4 x0 ? 4 y 0
2 2

?2

? 直线 QN 与 AB 为直径的圆 O 相切…………………………………….(14 分)
20.解:(Ⅰ) 因为 an ? Sn ? ? n2 ? n ? 1 , 所以 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? ,……………………………….(1 分) ② 当 n ≥ 2 时,an?1 ? Sn?1 ? ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 1,…………………….(2 分)

1 2

3 2

1 2

1 3 2 2 所以 2an ? an?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an?1 ? n ? 1 , 1 1 所以 bn ? bn?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? ,…………………….(3 分) 2 2 1 1 1 所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ( )n .…………….(4 分) 2 2 2 n (Ⅱ) 由 (Ⅰ)得 nbn ? n . 2
所以 ① Tn ?

1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ..........? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ..........? n ? 2 ? n ?1 …………….(6 分) ② 2Tn ? 1 ? 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ......? n ?1 ? n …………….(7 分) 2 2 2 2 n ?1? 1? ? ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ? 2 ………………(8 分) Tn ? 1 2n 2n 1? 2

8

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 a n ? ( ) ? n
n

1 2

? cn ? n ………………(9 分)

而 1?

1 1 n2 (n ? 1)2 ? (n ? 1)2 ? n2 ? ? n2 (n ? 1)2 n2 (n ? 1)2 n(n ? 1) ? 1 1 1 1 ? ?1? ?1? ? , ………………(11 分) n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ? 2014 ? , 2 3 3 4 2013 2014 2014 故不超过 P 的最大整数为 2013 .………………………………………………..(14 分)
所以 P ? (1 ? ? ) ? (1 ? 21、解: (Ⅰ)存在 a ? 0, b ? ?1 使 y ? f (x) 为偶函数,………………(2 分) 证明如下:此时: f ( x) ? e ? e? x ? e x , x ? R
x

1 1 1 2

? f (?x) ? e

?x

? e x ? e? x ? f ( x) ,? y ? f (x) 为偶函数。………………(4 分)

(注: a ? 0, b ? 0) 也可以) (Ⅱ)? g ( x) ? e
x ?2

?e x ? 2 ? e x ? ? e x = ? 2? x ?e ? e x ?

( x ? 2) ( x ? 2)

,………………(5 分)

①当 x ? 2 时 g ( x) ? e x?2 ? e x ,? g ' ( x) ? e x?2 ? e x ? 0

? y ? g (x) 在 ?2,??? 上为增函数。………………(6 分)
②当 x ? 2 时 g ( x) ? e 则 g ( x) ? ?e
' 2? x 2? x

? ex ,

? e x ,令 g ' ( x) ? 0 得到 x ? 1 ,

' (ⅰ)当 x ? 1 时 g ( x) ? 0 ,? y ? g (x) 在 ?? ?,1? 上为减函数。 ' (ⅱ) 当 1 ? x ? 2 时 g ( x) ? 0 ,? y ? g (x) 在 ?1,2? 上为增函数。………………(8 分)

综上所述: y ? g (x) 的增区间为 ?1,??? ,减区间为 ?? ?,1? 。………………(9 分) (Ⅲ)? f1 ( x) ? f 2 ( x0 ) ? 1 ,? f 2 ( x0 ) ?1 ? f1 ( x) ? f 2 ( x0 ) ? 1

??x0 ? ?0,1?对?x ? ?0,1?, f 2 ( x0 ) ?1 ? f1 ( x) ? f 2 ( x0 ) ? 1 成立。
即: ?

? f 2 ( x) min ? 1 ? f1 ( x) min …………………………………………………(10 分) ? f 2 ( x) max ? 1 ? f1 ( x) max

①当 b ? 0 时, f 2 ( x ) 为增函数或常数函数,? 当 x ? [0,1] 时

9

? f 2 ( x)min ? f 2 (0) ? 1,
? f1 ( x) ? e
x ?a

f 2 ( x)max ? f 2 (1) ? eb
? f 2 ( x)min ?1 ? f 2 (0) ?1 ? 0 ? f1 ( x)min 恒成立。
? eb ? 1 ? e1?a
1 2

?0

1 当a ? 时 f1 ( x)max ? f1 (1) ? e1?a 2

? a ? 1 ? ln(eb ? 1)
1 2

? ln(eb ? 1) ? ln 2 ? ln e ?

?1 ? ln( e b ? 1) ?

1? ? ? a ? ?1 ? ln(eb ? 1), ? 2? ?
1 当a ? 时 f1 ( x)max ? f1 (0) ? ea 2

? eb ? 1 ? e a
1 2

?a ? ln(eb ? 1)

? ln(eb ? 1) ? ln 2 ? ln e ?

?1 ? ? a ? ? , ln(eb ? 1) ? ?2 ?
综上所述:?a ? 1 ? ln(eb ? 1), ln(eb ? 1) ……………………………………………(12 分) ②当 b ? 0 时, f 2 ( x ) 在[0, 1]上为减函数, f 2 ( x)max ? f 2 (0) ? 1, ?

?

?

f 2 ( x)min ? f 2 (1) ? eb

? f1 ( x) ? e

x ?a

? 0,

eb ?1 ? e0 ?1 ? 0

? f 2 ( x) min ? 1 ? f1 ( x) min 恒成立。
? a ? 1? ln 2

1 当a ? 时 f1 ( x)max ? f1 (1) ? e1?a 2

? f 2 ( x) max ? 1 ? 2 ? e1?a

1? ? ? a ? ?1 ? ln 2, ? 2? ?
1 当a ? 时 f1 ( x)max ? f1 (0) ? ea 2

?2 ? e a

?a ? ln 2

?1 ? ? a ? ? , ln 2 ? ?2 ?
综上所述:?a ? ?1? ln 2, ln 2? ……………………………………………(13 分) 由①②得当 b ? 0 时, a ? 1 ? ln(e ? 1), ln(e ? 1) ;
b b

?

?

当 b ? 0 时, a ? ?1? ln 2, ln 2?.……………………………………………(14 分)

10


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