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2015年高中数学 2.1.2函数的表示方法(2)教案


南京市第二十九中学

郭建华

2.1.2
教学目标:

函数的表示方法(2)

1.进一步理解函数的表示方法的多样性,理解分段函数的表示,能根据实际问题列出 符合题意的分段函数; 2.能较为准确地作出分段函数的图象; 3.通过教学,进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化,代数式化,并能对以往学习 过的知识进行理性化思考,对事物间的联系的一种数学化的思考. 教学重点: 分段函数的图象、定义域和值域. 教学难点: 1.分段函数的表示及其图像. 2.求分段数的解析式(特别是应用题). 教学过程: 一、问题情境 1.情境 复习函数的表示方法; 已知 A={1,2,3,4},B={1,3,5},试写出从集合 A 到集合 B 的两个函数. 2.问题 函数 f(x)=|x|与 f(x)=x 是同一函数么?区别在什么地方? 二、学生活动 1.画出函数 f(x)=|x|的图象; 2.根据实际情况,能准确地写出分段函数的表达式. 三、数学建构 1.分段函数:在定义域内不同的部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函 数. (1)分段函数是一个函数,而不是几个函数; (2)分段函数的定义域是几部分的并集; (3)定义域的不同部分不能有相交部分; (4) 分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线, 也可能是由几条曲线共同组成;

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郭建华

(5)分段函数的图象未必是不连续,不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数, 如反比例函数的图象; (6)分段函数是生活中最常见的函数. 四、数学运用 1.典例分析 【例 1】某市出租汽车收费标准如下:在 3km 以内(含 3km)路程按起步价 7 元收费,超 过 3km 以外的路程按 2.4 元/km 收费.试写出收费额关于路程的函数解析式.

【例 2】如图, 梯形 OABC 各顶点的坐标分别为 O(0, 0),A(6, 0), B(4,2),C(2,2).一 条与 y 轴平行的动直线 l 从 O 点开始作平行移动, 到 A 点为止. 设直线 l 与 x 轴的交点为 M,

OM=x,记梯形被直线 l 截得的在 l 左侧的图形
的面积为 y.求函数 y=f(x)的解析式、定义域、 值域.

y C B

O
【点评】 在解决实际问题时,求出函数解析式后,一定要写出函数的定义域.

A x

跟踪练习:如图,点 P 在边长为 2 的正方形边上按 A→B→C→D→A 的方向移动,试将

AP 表示成移动的距离 x 的函数.

D

C P

A
图象指出函数 f(x)的值域.

B

【例 3】将函数 f(x)= | x-1|+| x+2|表示成分段函数的形式,并画出其图象,根据

【点评】 (1)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集,值域是各段上函数值组成的集合 的并集. (2)分段函数求值关键:注意分段归类,即自变量的取值属于那一段,就用哪一段解 析式,一定要坚持定义域优先的原则.
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郭建华

跟踪练习:设 f ( x) ? ?

? x ? 2, x ? 10, 则 f (5) ? ______. ? f ( f ( x ? 6)), x ? 10,

例 4 已知函数 f(x)=2x-1(x∈R) ,试作出函数 f(|x|),|f(x)|的图象并求函数的值 域. 点评:利用基本函数图像的变换作图方法: (1)平移变换; (2)对称变换; ①函数 y ? ? f ( x) 的图像可以通过作函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称的图形 而得到. ② 函数 y ? f (? x) 的图像可以通过作函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称的图形 而得到. ③ 函数 y ? ? f (? x) 的图像可以通过作函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称的图 形而得到. ④函数 y ? f ( x) 的图像可以通过作函数 y ? f ( x) 的图像,然后把在 x 轴下方的 图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方,其余部分保持不变而得到. ⑤函数 y ? f ( x ) 的图像是:函数 y ? f ( x) 在 y 轴右侧部分的及其该部分关于 y 轴对称的部分. 2.课堂练习 练习 1.课本 35 页第 7 题,36 页第 9 题. 练习 2. (1)画出函数 f(x)=

x-1 (x≥0) 的图象. 1-x (x<0)

x2-1,x≥0, 1 (2) 若 f(x)= 2x+1,x<0. 求 f(-1), f(0), f(2), f(f(-1)), f(f(0)), f(f( ))
2 的值. (3)试比较函数 f(x)=|x+1|+|x|与 g(x)=|2x+1|是否为同一函数. (4)定义[x]表示不大于 x 的最大整数,试作出函数 f(x)=[x] (x∈[-1,3))的图 象.并将其表示成分段函数.
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郭建华

五、回顾小结 分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象; 含绝对值的函数常与分段函数有关; 利用对称变换构造函数的图象. 六、作业 课堂作业:课本 35 页习题第 3 题,36 页第 10,12 题;

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