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3.2.2直线的两点式方程(2)


温故知新

?斜率k (存在) 1.点斜式 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 条件: ? ?一个点的坐标P0 ( x0 ,y0 )

2.斜截式 y ? kx ? b

(存在) ?斜率k 条件 ? ?在y轴上的截距b

?两点坐标P ( x1 ,y1 ), P2 ( x2 ,y2 ) y ? y1 x ? x1 1 条件 ? ? 3.两点式 y2 ? y1 x2 ? x1 ? x1 ? x2 ,y1 ? y2

4.截距式 x ? y ? 1 a b

?两坐标轴的截距a和b,(存在) 条件 ? ?a ? 0且b ? 0,(ab ? 0)

例1:在?ABC中,点A(1,3),AB边上 的中线CD的直线方程为x-2y +1=0, AC边上的中线BE的直线方程 为y-1=0,求直线BC的方程。
x +1 解:设B ( x,1)则AB的中点( ,2) 2 在CD直线x-2y +1=0上
y A

x-2y+1=0
D B x

x +1 ? ? 2? 2 ?1 ? 0 2 ? x =5即B(5,1) 同理可得:C (?3, 1), ? 由两点是直线方程得BC:x-4y-1=0

y-1=0
0 C

过点 例2: P(2,1)作直线l分别交x轴的正半轴 和y轴的正半轴于A, B点。

(1)当?AOB O为原点)的面积S 最小时,求直线l的方程; (

(2)当 PA ? PB 取最小值时,求直线l的方程。 x y 2 1 解:设直线l的方程为 ? ? 1 得 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a b a b y
2 1 2 1 由 ? ?1? 2 ? a b a b

得ab ? 8
B F 0

S ?AOB

2 1 1 1 ? ab ? 4 当 ? ? 时 a b 2 2

θ
E

P A x

即a ? 4, b ? 2时,
x y S?AOB的最小值为 4,此时 ? ? 1 4 2

解: (2)如图,在?PBF中,PAsin? =1

在?PAE中,PBcos? =2 2 4 ? PA ? PB= = sin ? ? cos ? sin 2? 0 0 当 sin 2? =1时,? =90 即? =45 2 ? 直线的倾斜角为135 ,k = ? 1
0

即y ? 1= ? 1(x ? 2) ? y= ? x +3

对截距概念的深刻理解 求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线? 当两截距都不为0时 解: 设 直线的方程为: x ? y ? 1 a a
1 2 把(1,2)代入得: ? ? 1 a a

即:a=3

法二:用点斜式求解 所以直线方程为:x+y-3=0 那还有一条呢? 当两截距都等于0时y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
变式练习:求过定点P(1,2)且横截距比纵截距大1的 直线方程

对截距概念的深刻理解

变: 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的 绝对值相等的直线有几条?
解:三条


? ? ?

x y ? ?1 a b a ?b

解得:a=b=3或a=-b=-1 直线方程为:y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x

变:过(1,2)并且在y轴上的截距是x轴上的截 距的2倍的直线是( )
A、 x+y-3=0 C、 2x+y-4=0 B、x+y-3=0或y=2x D、2x+y-4=0或y=2x

数形结合与对称的灵活应用 已知一条光线从点A(2,-1)发出、经x轴反射后, 通过点B(-2,-4),试求点P坐标 变:已知两点A(2,-1)、B(-2,-4) 试在x轴上求一点P,使|PA|+|PB|最小 变:试在x轴上求一点P,使|PB|-|PA|最大

P (x,0) A(2,-1) B(-2,-4)

数形结合与对称的灵活应用 已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0)、B(-2,-4) (1)求点A关于直线l的对称点 (-2,8) (2)在直线l是求一点P,使|PA|+|PB|最小 (-2,3) (3)在直线l是求一点Q,使|PA|-|PB|最大 (12,10) A1(x,y) G P G A(2,0) B(-2,-4) B(-2,-4) A(2,0)

小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b

点斜式
斜截式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1
y ? y0 ? k ( x ? x0 )

两点式 两点坐标 点斜式 两个截距 截距式

x y ? ?1 a b


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