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2012届高考数学知识点复习题32-T


2012 届高考数学知识点复习题 32 第三十二讲 一元二次不等式及其解法 一、选择题: 1.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为( ) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 解析:x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0?x2+x-2<0?-2<x<1.故选 B. x+5 2.不等式 ≥2 的解集是( ) (x-1)2 1 1 1 1 A.?-3,2? B.?-2,3? C.?2,1?∪(1,3] D.?-2,1?∪(1,3] ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 ?- ≤x≤3, ? ? ?x+5≥2(x-1) x+5 1 解析: ≥2?? ?? 2 ∴x∈?-2,1?∪(1,3].故选 D. 2 ? ? (x-1) ?x-1≠0 ? ?x≠1. ? 3.设函数 f(x)= ?
? ? 2, ? x2 ? bx ? c, x>0 x ≤ 0,

若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的不等式 f(x)≤1 的解集为(

)

C.[-3,-1]∪(0,+∞) D.[-3,+∞) b 解析:由 f(-4)=f(0),得函数 f(x)=x2+bx+c(x≤0)的对称轴 x=-2=- ,所以 b=4.f(-2)=0 得 c=4. 2 ?x>0时-2≤1, ? 不等式 f(x)≤1 等价于? 解得 x>0 或-3≤x≤-1.故选 C. 2 ? ?x≤0时x +4x+4≤1, 4 4.不等式 ≤x-1 的解集是( ) x-1 A.(-∞,-1]∪[3,+∞) B.[-1,1)∪[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 2 x -2x-3 解析:原不等式化为 ≥0,由数轴标根法解得-1≤x<1 或 x≥3.答案:B x-1 1 5.若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈?0,2?成立,则 a 的取值范围是( ) ? ? 5 A.a≥0 B.a≥-2 C.a≥- D.a≥-3 2 1 1 a a 1 解析:设 f(x)=x2+ax+1, 则对称轴为 x=- ,若- ≥ ,即 a≤-1 时, f(x)在?0,2?上是减函数, 则 应有 f?2?≥0 ? ? ? ? 2 2 2 5 ?- ≤a≤-1 2 1 a 若- ≤0,即 a≥0 时,则 f(x)在?0,2?上是增函数,应有 f(0)=1>0 恒成立,故 a≥0 ? ? 2 a? a2 a2 a 1 a2 5 若 0≤- ≤ ,即-1≤a≤0,则应有 f?-2?= - +1=1- ≥0 恒成立,故-1≤a≤0.综上,有- ≤a.答案:C ? 2 2 4 2 4 2 评析:考查一元二次不等式与函数相结合,利用函数的性质解不等式问题. 6.已知函数 f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1+x)成立,若当 x∈[-1,1]时, f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是( ) A.-1<b<0 B.b>2 C.b<-1 或 b>2 D.不能确定 a 解析:由 f(1-x)=f(1+x),知 f(x)的对称轴为 x= =1,故 a=2. 2 又 f(x)开口向下,所以当 x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2, f(x)>0 恒成立,即 f(x)min=b2-b-2>0 恒成立,解得 b<-1 或 b>2. 答案:C 二、填空题: 7.若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,m),则 m=________. 解析:根据不等式与方程之间的关系知 1 为方程 ax2-6x+a2=0 的根,即 a2+a-6=0,解得 a=2 或 a=-3,当 a=2 时, 不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(1,2), 符合要求; a=-3 时, 当 不等式 ax2-6x+a2<0 的解集是(-∞, -3)∪(1, +∞),不符合要求,舍去.故 m=2. 答案:2 8.(2009· 青岛市模拟)已知不等式 ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则 a2+b2-2b 的取值范围是________. 解析:∵不等式 ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集, ∴a>0,b>0,且 Δ=b2-4a2≤0, ∴b2≤4a2. 2 4 4 4 b 5 4 4 ∴a2+b2-2b≥ +b2-2b= ?b-5?2- ≥- . ∴a2+b2-2b 的取值范围是?-5,+∞?. 答案:?-5,+∞? ? 5 ? ? ? ? 4 4? 5 9.(2010· 西城模拟)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>0 的解集为(1,2),若 f(x)的最大值小于 1, 则 a 的取值范围是________.
1

A.(-∞,-3]∪[-1,+∞)

B.[-3,-1]

解析:由题意知 a<0,可设 f(x)=a(x-1)(x-2)=ax2-3ax+2a,又 a<0,∴f(x)max= ∴-4<a<0. 答案:(-4,0)

8a2-(-3a)2 -a2 -a = = <1, 4a 4a 4

x-1 10.(2009· 石家庄质检一)若不等式 +m<0 的解集为{x|x<3 或 x>4},则 m 的值为________. x+m x-1 (1+m)x+m2-1 解析:由 +m<0,得 <0,即当 1+m<0 时有(x+m-1)(x+m)>0,其大根为 1-m,小根为-m. x+m x+m
? ?1-m=4 所以? ,推得 m=-3,故填:-3. ? ?-m=3 三、解答题:

答案:-3

17 (1)若函数 f(x)有最大值 ,求实数 a 的值;(2)解不等式 f(x)>1(a∈R). 8 2 1 1+4a 解:(1)a≥0 时不合题意,f(x)=a?x+2a?2- , ? ? 4a 2 1+4a 17 1 当 a<0 时,f(x)有最大值,且- = ,解得 a=-2 或 a=- . 4a 8 8 (2)f(x)>1,即 ax2+x-a>1,(x-1)(ax+a+1)>0, ①当 a=0 时,解集为{x|x>1}; 1 1 ②当 a>0 时,(x-1)?x+1+a?>0,解集为{x|x>1 或 x<-1- }; ? ? a 1 2 ③当 a=- 时,(x-1) <0,解集为?; 2 1 1 1 ④当- <a<0 时,(x-1)?x+1+a?<0,解集为{x|1<x<-1- }; ? ? 2 a 1 1 1 ⑤当 a<- 时,(x-1)?x+1+a?<0,解集为{x|-1- <x<1}. ? ? 2 a ax-1 12.解关于 x 的不等式: >0. x-a 1 解:当 a=0 时,不等式化为- >0,解得 x<0; x 1 a?x-a? ? ? 若 a≠0,则原不等式可化为 >0. x-a x-1 1 1 当 0<a<1 时,a< ,解得 x<a 或 x> ; 当 a=1 时,不等式化为 >0,解得 x∈R 且 x≠1; a a x-1 1 x- a 1 1 当 a>1 时,a> ,解得 x< 或 x>a; 若 a<0,则不等式可化为 <0. a a x-a x+1 1 1 当 a<-1 时,a< ,解得 a<x< ; 当 a=-1 时,不等式可化为 <0,其解集为?; a a x+1 1 1 当-1<a<0 时,a> ,解得 <x<a. a a 1? ? 综上,当 a<-1 时,不等式解集为?x|a<x<a?; ? ? ? 1 ? 当 a=-1 时,不等式解集为?; 当-1<a<0 时,不等式解集为?x|a<x<a?; ? ? 1? ? 当 a=0 时,不等式解集为{x|x<0}; 当 0<a<1 时,不等式解集为?x|x<a或x>a?; ? ? 1 ? ? 当 a=1 时,不等式解集为{x|x∈R 且 x≠1}; 当 a>1 时,不等式解集为?x|x<a或x>a?. ? ? ?x2-x-2>0, ? 13.关于 x 的不等式组? 2 的整数解的集合为{-2},求实数 k 的取值范围. ? ?2x +(2k+5)x+5k<0, 11.已知函数 f(x)=ax2+x-a,a∈R.

?x>2或x<-1, ?x>2或x<-1, ? ? 5 解:原不等式组等价于?? 5? 由题意知-k>- ,即? 5 2 ??x+2?(x+k)<0. ?-2<x<-k. ? ?
又知解集内仅有一整数-2,所以-2<-k≤3,即-3≤k<2.

2


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