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合肥市2011年高三第一次教学质量检测数学试题(理)


合肥市 2011 年高三第一次教学质量检测

数学试题(理)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、 座位号与本人姓名、 座位号是否一致.务必在答题 卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位. 2.答第

I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、 .... 笔迹清晰,作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置给绘出,确认后再用 0.5 毫米的 ... 黑色墨水签字笔描清楚,必须在题号所指的答题区域作答,超出答题区域书写的答 .......... 案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效. ........ ........ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷 (满分 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)

1.在复平面内,复数 A.第一象限

i ( i 是虚数单位)对应的点在 3 ?i

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? lg(ax ? 1) 在 (0, ??) 单调递增”的 A.充分必要条件 C.充分不必要条件 3.若 M ? B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

a2 ? 4 (a ? R, a ? 0) ,则 M 的取值范围为 a

A. (??, ?4] ? [4 ? ?) C. [4 ? ?)

B. (??, ?4] D. [?4, 4]

4.右图是一个几何体的三视图, 其中正视图和侧视图都是一个两 底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的侧面 积是 A. 6? B.12? C. 18? D. 24?

1

5.已知偶函数 f ( x) 在区间单调递增,则满足 f ( x ? 2) ? f ( x) 的 x 取值范围是 A. (2, ??) C. [?2, ?1) ? (2, ??) B. (??, ?1) D. (?1, 2)

6. A ? {1, 2,3} , B ? {x ? R | x2 ? ax ? 1 ? 0, a ? A} ,则 A ? B ? B 时 a 的值是 A. 2 B. 2 或 3 C. 1 或 3 D. 1 或 2 7.设 a 、 b 是两条不同直线, ? 、 ? 是两个不同平面,则下列命题错误的是 .. A.若 a ? ? , b // ? ,则 a ? b C.若 a ? ? , b ? ? , ? // ? ,则 a // b B.若 a ? ? , b // a , b ? ? ,则 ? ? ? D.若 a // ? , a // ? ,则 ? // ?

8.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0) 的图像关于直线 x ?

?
3



? 称,且 f ( ) ? 0 ,则 ? 的最小值为 12 2 A. B. 4 C. 6 D. 8 9.世博会期间,某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分 配到 A 、B 、C 三个不同的展馆服务,每个展馆至少分配一人. 若甲要求不到 A 馆,则不同的分配方案有 A. 36 种 B. 30 种 C. 24 种 D. 20 种 10.如图所示,输出的 n 为 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

第Ⅱ卷 (满分 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分;把答案填在答题卡的相应位置) 1 11.关于 x 的二项式 (2 x ? ) 4 展开式中的常数项是 x 12.以椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F 为圆心,并过椭圆的短轴端点的圆的方程为 4 3

? x …0 ? y …0 ? 13.不等式组 ? 表示的是一个对称四边形围成的区域,则 k ? ? x ? y ? 2 ?1? 0 ? x ? ky ? y …0 ?
2

D 14.如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 、 分别在 x 轴、 ??? ??? ? ? y 轴正半轴上(含原点)上滑动,则 OB ? OC 的最大值是

15.若曲线 f ( x, y) ? 0 (或 y ? f ( x) )在其上两个不同点处的切线重 合,则称这条切线为曲线 f ( x, y) ? 0 (或 y ? f ( x) )的自公切线,下 列方程的曲线存在自公切线的序号为 ① y ? x2 ? | x | ④ x2 ? y 2 ? 1 ② | x | ?1 ? 4 ? y 2 ⑤ y ? x cos x . (填上所有正确的序号) ③ y ? 3sin x ? 4cos x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解
答写在答题卡上的指定区域内)

16.(本小题满分 12 分)
?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ,若

a ?c sin B ? . b ? c sin A ?sin C

(1)求角 A ; (2)若 f ( x) ? cos2 ( x ? A) ? sin 2 ( x ? A) ,求 f ( x) 的单调递增区间.

17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 4 , an?2 ? 2an ? 3an?1 (n ? N * ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,求使得 Sn ? 21 ? 2n 成立的最小整数 n .

18.(本小题满分 12 分) 工人在包装某产品时不小心将两件不合格的产品一起放进了一个箱子, 此时该 箱子中共有外观完全相同的六件产品.只有将产品逐一打开检验才能确定哪两 件产品是不合格的,产品一旦打开检验不管是否合格都将报废.记 ? 表示将两 件不合格产品全部检测出来后四件合格品中报废品的数量. (1)求报废的合格品少于两件的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.

3

19.(本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, DA ? DC ? 2 , DD1 ? 3 , E 是 C1D1 的中 点, F 是 CE 的中点. (1)求证: EA // 平面 BDF ; (2)求证:平面 BDF ? 平面 BCE ; (3)求二面角 D ? EB ? C 的正切值.

20.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 y 2 ? 4x ,过点 M (0, 2) 的直线 l 与抛物线交于 A 、 B 两点,且直线
l 与 x 交于点 C .

(1)求证: | MA | , | MC | 、 | MB | 成等比数列;

???? ??? ? ???? ??? ? (2)设 MA ? ? AC , MB ? ? BC ,试问 ? ? ? 是否为定值,若是,求出此定值;
若不是,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ex ,直线 l 的方程为 y ? kx ? b . (1)若直线 l 是曲线 y ? f ( x) 的切线,求证: f ( x) …kx ? b 对任意 x ? R 成立; (2)若 f ( x) …kx ? b 对任意 x ? R 成立,求实数 k 、 b 应满足的条件.

4

合肥市 2011 年高三第一次教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(文理同) 题 1 2 号 答 B C 案 二、填空题 11.(理) 24 ;(文) ?1 12.(理) ( x ?1)2 ? y 2 ? 4 ;(文) ?x ? R( x ? 0) , x ?
1 ?2 x

3 A

4 B

5 C

6 D

7 D

8 A

9 C

10 D

1 13.(理) ?1 ;(文) ? 或 0 2 14. 2 15.(理)①③⑤;(文)①③ 三、解答题 a?c sin B a?c b ? ? 16.(文理)解:(1)由 ,得 , b ? c sin A ? sin C b?c a?c 1 ? 即 a2 ? b2 ? c2 ? bc ,由余弦定理,得 cos A ? ,∴ A ? ; 3 2

????6 分

(2) f ( x) ? cos2 ( x ? A) ? sin 2 ( x ? A)

2? 2? ) 1 ? cos(2 x ? ) 3 ? 3 ? ? 1 cos 2 x ? cos 2 ( x ? ) ? sin 2 ( x ? ) ? 2 3 3 2 2 ????9 分 ? 由 2k? 剟2 x 2k? ? ? (k ? Z ) ,得 k? 剟x k? ? (k ? Z ) ,故 f ( x) 的单调递增区 2 ? 间为 [ k? , k? ? ] , k ? Z . ????12 分 2

?

?

1 ? cos(2 x ?

17.解:(理)(1)由 an?2 ? 2an ? 3an?1 ? 0 ,得 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) , ∴数列 {an?1 ? an } 就以 a2 ? a1 ? 3 不首项,公比为 2 的等比数列, ∴ an?1 ? an ? 3 ? 2n?1 ∴ n …2 时, an ? an?1 ? 3 ? 2n?2 ,?, a3 ? a2 ? 3 ? 2 , a2 ? a1 ? 3 , 累加得 an ? a1 ? 3 ? 2n?2 ? 3 ? 2n?3 ???? ? 3? 2 ? 3 ? 3(2n?1 ?1)
5

????3 分

∴ an ? 3 ? 2n?1 ? 2 (当 n ? 1 时, 也满足) (2)由(1)利用分组求和法得

????6 分

Sn ? 3(2n?2 ? 2n?3 ????? 2) ? 2n ? 3(2n ?1) ? 2n

????9 分

Sn ? 3(2n ?1) ? 2n ? 21 ? 2n ,得 3 ? 2n ? 24 ,即 2n ? 8 ? 23 ,∴ n ? 3
∴使得 Sn ? 21 ? 2n 成立的最小整数 4 . (文)(1)频率分布直方图如右 ????6 分 ????12 分

(2)

1 1 2 4 1 ? 92 ? ? 96 ? ? 100 ? ? 104 ? ? 108 ? 100.27 (克) 15 5 5 15 15
1 2 1 ? ? 15 15 5

????12 分

18.(理)解:(1) p ? (2) 0
1 15

????5 分 2
1 5

?
P

1
2 15

3
4 15

4
1 3

E? ? 0 ?

1 2 1 4 1 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 15 15 5 15 3 3

????12 分 ????3 分 ????6 分

(文)解:(1) a2 ? 2 , a3 ? 1 , a4 ? 2 ,
an ? 3 ? (?1) n , 2 3n 1 ?1[1 ? (?1)n ] 3n 1 1 ? ? ? ? ? (?1)n 2 2 2 2 4 4

(2) Sn ?

????10 分

3 1 1 1 3 n(n ? 1) 1 1 ?[1 ? (?1) n ] ? n 2 ? n ? ? (?1) n ? ? n? ? ∴ Tn ? ? 4 2 8 8 2 2 4 4 1?1

(也可分 n 奇数和偶数讨论解决) ????12 分 AC 交 BD 于 O 点,连接 OF ,可得 OF 是 ?ACE 的中位 19.解:(文理)(1)连接 线, OF // AE , 又 AE ? 平面 BDF , OF ? 平面 BDF ,所以 EA // 平面 BDF ???(理)4 分;(文)6 分
6

(2)计算可得 DE ? DC ? 2 ,又 F 是 CE 的中点,所以 DF ? CE
C 又 BC ? 平面 CDD1C1 ,所以 DF ? BC ,又 BC ?CE ? ,所以 DF ? 平面 BCE

又 DF ? 平面 BDF ,所以平面 BDF ? 平面 BCE ???(理)8 分;(文)12 分 (3)( 理 ) 由 (2) 知 DF ? 平 面 BCE , 过 F 作 FG ? BE 于 G 点, 连接 DG , DG 在平面 BCE 则 中的射影为 FG , 从而 DG ? BE , 所以 ?DGF 即 为二面角 D ? EB ? C 的平面角,设其大小为 ? , 计算得 DF ? 3 , FG ?
DF 2 ? 6 , tan ? ? FG 2

? ? ? ? 12 分 20.解:(理)(1)设直线 l 的方程为: y ? kx ? 2 (k ? 0) ,

? y ? kx ? 2 联立方程可得 ? 2 得: k 2 x2 ? (4k ? 4) x ? 4 ? 0 ? y ? 4x
2 4k ? 4 4 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C (? , 0) ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? 2 2 k k k

① ②

| MA | ? | MB |? 1 ? k 2 | x1 ? 0 | ? 1 ? k 2 | x2 ? 0 |?

4(1 ? k 2 ) , k2

2 4(1 ? k 2 ) 而 | MC |2 ? ( 1 ? k 2 | ? ? 0 |) 2 ? ,∴ | MC |2 ?| MA | ? | MB |? 0 , k k2

即 | MA | , | MC | 、 | MB | 成等比数列

????7 分

???? ??? ? ???? ??? ? (2)由 MA ? ? AC , MB ? ? BC 得,
2 2 ( x1 , y1 ? 2) ? ? (? x1 ? , ? y1 ) , ( x2 , y2 ? 2) ? ? (? x2 ? , ? y2 ) k k

?kx1 ?kx2 ?2k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) 即得: ? ? ,? ? ,则 ? ? ? ? 2 kx1 ? 2 kx2 ? 2 k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

由(1)中②代入得 ? ? ? ? ?1 , 故 ? ? ? 为定值且定值为 ?1 (文)(1)由题意,即可得到
x2 ? y2 ? 1 4

????13 分 ????5 分

7

6 (2)设直线 MN 的方程为: x ? ky ? , 5

6 ? ? x ? ky ? 5 12 64 ? ? 0, 联立直线 MN 和曲线 C 的方程可得: ? 2 得: (k 2 ? 4) y 2 ? ky ? 5 25 ? x ? y2 ? 1 ?4 ?

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , A(?2, 0) ,则 y1 ? y2 ?

12k 64 , y1 ? y2 ? ? 2 5(k ? 4) 25(k 2 ? 4)

???? ???? ? 4 16 ?0 则 AM ? AN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? (k 2 ? 1) y1 y2 ? k ( y1 ? y2 ) ? 5 25 ? 即可得, ?MAN ? . ????13 分 2

21.(理)证明(1):∵ f ?( x) ? e x 记切点为 T (t , et ) ,∴切线 l 的方程为 y ? et ? et ( x ? t ) 即 y ? et x ? et (1 ? t ) ????3 分

?k ? et ∴? t ? b ? e (1 ? t )
记函数 F ( x) ? f ( x) ? kx ? b ,∴ F ( x) ? ex ? et x ? et (1 ? t ) ∴ F ?( x) ? e x ? et ∴ F ( x) 在 x ? (??, t ) 上为减,在 x ? (t , ??) 为增 故 Fmin ( x) ? F (t ) ? et ? et t ? et (1 ? t ) ? 0 故 F ( x) ? f ( x) ? kx ? b …0 即 f ( x) …kx ? b 对任意 x ? R 成立 ????7 分

(2)∵ f ( x) …kx ? b 对任意 x ? R 成立,即 e x …kx ? b 对任意 x ? R 成立 ①当 k ? 0 时,取 x0 ?
| b | ?1 ? 0 ,∴ e x0 ? e0 ? 1 ,而 kx0 ? b ?| b | ?1 ? b … 1 k

∴ ex1 ? kx1 ? b ,∴ k ? 0 不合题意. ②当 k ? 0 时,若 b ? 0 ,则 e x …kx ? b 对任意 x ? R 成立
b b 若 b ? 0 取 x1 ? ln ,∴ e x1 ? ,而 kx1 ? b ? b 2 2

∴ ex0 ? kx0 ? b ,∴ k ? 0 且 b ? 0 不合题意,故 k ? 0 且 b ? 0 不合题意??10 分
8

③当 k ? 0 时, 令 G( x) ? e x ? kx ? b , G?( x) ? e x ? k ,由 G?( x) ? 0 ,得 x ? ln k , 所以 G ( x) 在 (??,ln k ) 上单减, (ln k , ??) 单增 故 G( x) 厖G(ln k ) ? k ? k ln k ? b
0

?k ? 0 ∴? ?b ? k (1 ? ln k )

????13 分

?k ? 0 ?k ? 0 综上所述:满足题意的条件是 ? 或? ?b ? 0 ?b ? k (1 ? ln k )

????14 分

(文)解(1):∵ f ?( x) ? e x ,记切点为 T (t , et ) ,∴切线 l 的方程为 y ? et ? et ( x ? t ) 即 y ? et x ? et (1 ? t ) ????3 分

?k ? et (2)由(1) ? t ? b ? e (1 ? t )
记函数 F ( x) ? f ( x) ? kx ? b ,∴ F ( x) ? ex ? et x ? et (1 ? t ) ∴ F ?( x) ? e x ? et ∴ F ( x) 在 x ? (??, t ) 上单调递减,在 x ? (t , ??) 为单调递增 故 F ( x)min ? F (t ) ? et ? et t ? et (1 ? t ) ? 0 故 F ( x) ? f ( x) ? kx ? b …0 即 f ( x) …kx ? b 对任意 x ? R 成立 (3)设 H ( x) ? f ( x) ? kx ? b ? e x ? kx ? b , x ? [0, ??) ∴ H ?( x) ? e x ? k , x ? [0, ??) ①当 k ? 1 时, H ?( x) …0 ,则 H ( x ) 在 x ? [0, ??) 上单调递增 ∴ H ( x)min ? H (0) ? 1 ? b …0 , ????10 分 ????8 分

?k ? 1 ∴ b ? 1 ,即 ? 符合题意 ?b ? 1
②当 k ? 1 时, H ( x ) 在 x ?[0,ln k ) 上单调递减, x ?[ln k , ??) 上单调递增 ∴ H ( x)min ? H (ln k ) ? k ? k ln k ? b …0 ∴ b ? k (1 ? ln k )
9

????13 分

?k ? 1 ? k ? 1 综上所述:满足题意的条件是 ? 或? ?b ? 1 ?b ? k (1 ? ln k )

????14 分

10


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