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高中数学选修4-1 范永凯精品数学习题


高中数学选修 4-1
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、选择题(题型注释) 1.有一张矩形纸片 ABCD,其中 AD=8cm,上面有一个以 AD 为直径的半圆,正好与对边 BC 相切.如图(甲) .将它沿 DE 折叠,使 A 点落在 BC 上,如图(乙) ,这时,半圆还 露在外面的部分(阴影部分)的面积是【 】
A D E D

B 甲

C

B

A 乙

C

A. (π - 2 3 )cm

2

B.(

16 π - 4 3 ) cm 2 3

1 C. ( π + 3 ) cm 2 2

2 D. ( π + 3 ) cm 2 3

【答案】B 【解析】 试题分析: 由图可得,

∠DAC=30°,∠KOD=120°,可得 S 阴影=S 扇形-S△OKD,过 O 作 OM⊥DK,因为 OK=2, OM=1,DK=2MK=2 ,求得 S 扇形,S△OKD 即可得到为(
16 π - 4 3 ) cm 2 ,故选 B. 3

考点:扇形面积和三角形面积 点评:利用已知图形的折叠来分析阴影部分的面积与杀那个行和 2. 如图 2 ,四边形 ABCD 中,DF ? AB ,垂足为 F ,DF ? 3 , AF ? 2FB ? 2 ,延长 FB 到 E ,使 BE ? FB , 连结 BD , EC .若 BD // EC ,则四边形 ABCD 的 面

积为 A. 4 C. 6 B. 5 D. 7
试卷第 1 页,总 42 页

【答案】C 【解析】由 CE∥DB 可得 S△DBC=S△DBE,故有 S 四边形 ABCD =S△ADE,而 S△ADE 解答:解:连接 DE,由题意知,AF=2 FB=BE=1, ∴S△ADE=

容易求得.

1 1 AE×DF= ×4×3=6,∵CE∥DB,∴S△DBC=S△DBE, 2 2

∴S 四边形 ABCD =S△ADE =6, 故选 C. 3.已知四边形 ABCD 是圆内接四边形,下列结论中正确的有 ①如果∠A=∠C,则∠A=90° ②如果∠A=∠B,则四边形 ABCD 是等腰梯形 ③∠A 的外角与∠C 的外角互补 ④∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的比可以是 1∶2∶3∶4 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 【解析】由“圆内接四边形的对角互补”可知:①相等且互补的两角必为直角;②两相 等邻角的对角也相等(亦可能有∠A=∠B=∠C=∠D 的特例);③互补两内角的外角也 互补;④两组对角之和的份额必须相等(这里 1+3≠2+4).因此得出①③正确,②④ 错误. 4.如图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC 边上的高分别为 BD、AE, 则以 A、B 为焦点,且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ( )

A. 3

B.1

C.2 3

D.2

【答案】A 【解析】 试题分析:根据题意,设 AB=2c,则 AE=BD=c,BE=AD= 3 c ,∴在以 A,B 为焦点, 且过 D,E 的椭圆中,离心率= 线中,离心率=

2c ? 3 ? 1 ,以 A,B 为焦点,且过 D,E 的双曲 BD ? AD

2c ? 3 ?1 , 椭 圆 与 双 曲 线 的 离 心 率 的 倒 数 和 为 : AD ? BD

1 1 ? ? 3 ,故选 A 3 ?1 3 ?1
考点:本题考查了双曲线的性质和应用 点评:解题时要认真审题,注意公式的灵活运用 5.平面 ? 与球 O 相交于周长为 2? 的⊙ O ? ,A、B 为⊙ O ? 上两点,若∠AOB=

? ,且 A、 4

B 的球面距离为

2 ? ,则OO ? 的长度为( 4
B. 2 C. ?



A.1 【答案】A 【解析】

D.2

试卷第 2 页,总 42 页

试题分析:令球的半径为 R,则其过球心的截面(圆)的周长为 2? R ,又因为 A、B 两

2 ? ? ? 2 点的球面距离为 ? ,且∠AOB= ,所以可得 4 ? 4 ,解得 R ? 2 。又由题 2? R 2? 4 4
意得,⊙ O? 的 半径为 r ?

2? ? 1 , 所 以 由 勾 股 定 理 得 , OO ? 的 长 度 为 2?

R 2 ? r 2 ? ( 2) 2 ? 12 ? 1 。
考点:球面距离。 点评:立体几何空间想象能力要求较高。 6. 如图,在圆 O 中,若弦 AB=3,弦 AC=5,则 AO · BC 的值是 A、 -8 C B、 -1 C、1 D、8

??? ?

??? ?

O A B

【答案】D 【解析】设 ?AOB ? ? , ?AOC ? ? 所以 cos ? ?

AO 2 ? BO 2 ? AB 2 AO 2 ? CO 2 ? AC 2 , cos ? ? 2 AO ? BO 2 AO ? CO

所以 AO ? BC ? AO ? (BO ? CO) ?? AO ? BO ? AO ? CO

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?| AO | ? | BO | ? cos ? ? | AO | ? | CO | ? cos ?
1 ? [( AO 2 ? BO 2 ? AB 2 ) ? ( AO 2 ? CO 2 ? AC 2 )] 2 1 ? ( AC 2 ? AB 2 ) 2 1 ? (52 ? 32 ) ? 8 2
故选 D

AB BC AC 5 ? ? ? ,若 ?ABC 与 ?DBE 的周长 DB BE DE 3 之差为 10cm ,则 ?ABC 的周长为( ) A 25 50 A. 20 cm B. C. cm cm D.25 cm 4 3
7.如图,在 ?ABC 和 ?DBE 中, 【答案】D 【解析】 考点:相似三角形的判定;相似三角形的性质. B D C E 第 4 题图

试卷第 3 页,总 42 页

分析:由已知中在△ABC 和△DBE 中, 和△DBE 相似且相似比等

AB BC AC 5 ? ? ? ,我们可以得到△ABC DB BE DE 3

5 ,设△ABC 的周长为 X,根据△ABC 与△DBE 的周长之 3 AB BC AC 5 ? ? ? , DB BE DE 3

差为 10cm,我们可以构造一个关于 X 的方程,解方程即可求出△ABC 的周长. 解:∵在△ABC 和△DBE 中, ∴△ABC∽△DBE,相似比等

5 3 3 X 5

设△ABC 的周长为 X,则△DBE 的周长为 又∵△ABC 与△DBE 的周长之差为 10cm 即 X-

3 X=10 5

解得 X=25cm 故选 D 8.如图,平行四边形 ABCD 中,G 是 BC 延长线上一点,AG 与 BD 交于点 E,与 DC 交于 点 F,则图中相似三角形共有( )

A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对 【答案】D 【解析】 试题分析:由于 AD // BC ,? ?AED 与 ?EBG 相似; ?AFD 与 ?CFG 相似;由于 AB // CD ,所以 ?ABE 与 ?EFD 相似, ?GFC 与 ?GAB 相似, ?ABD 与 ?CDB 相 似,由相似三角形的传递性当 ?AFD 与 ?GAB 相似. 考点:相似三角形. 9.若三角形的三条边之比为 3∶5∶7,与它相似的三角形的最长边为 21 cm,则其余两 边的长度之和为 A.24 cm B.21 cm C.19 cm D.9 cm 【答案】A 【解析】设其余两边的长度分别为 x cm,y cm,则 =9 cm.故 x+y=24 cm. 10.方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ?1 ? 0 表示圆,则 a 的取值范围是
2 2 2

21 x y = = ,解得 x=15 cm,y 7 k 5 k 3k





A a ? ?2

B?

2 ?a?0 3

C ?2 ? a ? 0

D ?2 ? a ?

2 3

【答案】D 【解析】略 11.如图, ?O 的两条弦 AB 、 CD 相交于点 E , AC 和 DB 的延长线交于点 P , 下列结论成立的是( ) . A. PC ? CA ? PB ? BD B. CE ? AE ? BE ? ED C. CE ? CD ? BE ? BA D. PB ? PD ? PC ? PA
试卷第 4 页,总 42 页

【答案】 D. 【解析】 考点:切割线定理;相交弦定理. 分析:根据相交弦定理的割线定理即可求解. 解:由相交弦定理知,CE?ED=BE?AE,由割线定理知,PC?PA=PB?PD,只有 D 正确. 故选 D. 12.如图,在梯形 ABCD 中,AB//DC,AB= a, CD ? b(a ? b) 。若

EF // AB, EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m : n ,则可推算出: EF ?

ma ? nb ,用类比的方 m?n

法,推想出下列问题的结果,在上面的梯形 ABCD 中,延长梯形的两腰 AD 和 BC 交于 O 点, 设 ?OAB , ?OCD 的面积分别为 S1 , S 2 ,EF//AB,且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m : n ,则

?OEF 的面积 S 0 与 S1 , S 2 的关系是(

)

A S0 ? C S0 ?

m S1 ? nS2 m?n
m?n

B S0 ?

nS1 ? m S2 m?n
n S1 ? m S 2 m?n

m S1 ? n S 2

D S0 ?

【答案】C 【解析】略 13.在△ABC 中,∠C=90°,∠B 的平分线交 AC 于 D.则

AB ? BC =( ) AD

A. sin B

B. cos B

C. tan B

D.

1 tan B

【答案】A. 【解析】 试题分析:过点 D 作 DE ? AB 于点 E.则 DE=DC.易证 ?BED ? ?BCD ,
0 所 以 BE=BC. 所 以 AB-BC= A B - B E = A E , 又 因 为 ?A ? ?AED ? 90 ,

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?A ? ?ABC ? 900 ,所以 ?ADE ? ?ABC ,因为 sin ?ADE ?
所以 sin ?ABC ?

AE AB ? BC ? , AD AD

AB ? BC . AD

考点:锐角三角函数的定义;角平分线的性质. 14.已知圆 C: x2 ? y 2 ? my ? m ? 1 ? 0 ,则圆 C 必过定点的坐标是

( A) (?1,1)
【答案】D 【解析】略

( B ) (?1, 0)

, 1 )( D) (0,1) (C ) ( ? 1 ?

15.如图, PA 是圆 O 的切线,切点为 A, PO 交圆 O 于 B, C 两点, PA ? 3, PB ? 1, 则 ?ABC ? ()

A. 70 ? 【答案】B 【解析】

B. 60 ?

C. 45 ?

D. 30 ?

试题分析:连接 AO , ∵ PA 是圆 O 的切线,切点为 A, PO 交圆 O 于 B, C 两点, PA ? 3, PB ? 1,
2 ∴ PA ? PB ? PC ,

∴ 3 ? 1? PC ,解得 BC ? 2 , ∴ OA ? 1, PO ? 2, PA ? OA , ∴ ?ABC ? 60? , 故选 B.

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考点:1.与圆有关的比例线段的应用;2.计算. 16.已知圆 C: x2 ? y 2 ? my ? m ? 1 ? 0 ,则圆 C 必过的点的坐标是

(A) (?1,1)

(B) (?1, 0)

(C) (?1, ?1) (D) (0,1)

【答案】D 【解析】略 17.如图所示,⊙O 的两条弦 AD 和 CB 相交于点 E,AC 和 BD 的延长线相交于点 P,下面 结论: ①PA·PC=PD·PB; ②PC·CA=PB·BD; ③CE·CD=BE·BA; ④PA·CD=PD·AB. 其中正确的有

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】A 【解析】根据割线定理知①式正确,②③④不正确. 18.如图,设 P 为 ?ABC 内一点,且 AP ? 2 AB ? 1 AC ,则 ?ABP 的面积与 ?ABC 5 5 的 C P A B

面积之比等于(

) .

1 5 3 C. 5
A.

2 5 1 D. 2
B.

【答案】A 【解析】略 19.如图所示,AB∥GH∥CD,AB=2,CD=3,则 GH 的长是

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A.2.5

B.

5 6 2 5

C.

6 5

D.

【答案】C 【解析】∵AB∥GH,∴

GH CH = , AB BC

∵GH∥CD,∴

GH BH = , CD BC



GH GH CH BH 6 + = + =1,∴GH= . 5 AB CD BC BC
D. 平面 AB

20.用平行四边形 ABCD 表示平面, 正确的说法是 A. AC B. 平面 AC C. AB 【答案】B 【解析】 平面的命名可以用封闭图形的对角顶点命名,故选 B.

? 21.如图, ?O 中弧 AB 的度数为 60 , AC 是 ?O 的直径,那么 ?BOC ? (

) .

A. 150

?

B. 130

?

? C. 120

D. 60

?

【答案】C. 【解析】 考点:圆周角定理;对顶角、邻补角. 分析:根据弧 AB 的度数为 60°,AC 是⊙O 的直径,利用邻补角定义求解即可. 解:∵弧 AB 的度数为 60°, ∴∠AOB=60°, ∵AC 是⊙O 的直径, ∴∠BOC=180°-∠AOB=180°-60°=120°. 故选 C. 22..如图,过点 P 作圆 O 的割线 PBA 与切线 PE,E 为切点,连接 AE,BE,∠APE 的平分 线分别与 AE、BE 相交于 C、D,若∠AEB= 30 ,则∠PCE 等于( A、 150
0 0

)

B、 75

0

C、 105

0

D、 60

0

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【答案】B 【解析】解:如图,PE 是圆的切线, ∴∠PEB=∠PAC, ∵AE 是∠APE 的平分线, ∴∠EPC=∠APC, 根据三角形的外角与内角关系有: ∠EDC=∠PEB+∠EPC;∠ECD=∠PAC+∠APC, ∴∠EDC=∠ECD, ∴△EDC 为等腰三角形,又∠AEB=30°, ∴∠EDC=∠ECD=75°, 即∠PCE=75°, 故答案为 B 23. 如图,⊙O 的直径 AB =6 cm, P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线, 切点为 C ,连接 AC , 若 ?CPA ? 30°,PB 的长为( )cm.

C A B P

O

A. 3 3 C.4 【答案】D

B. 2 3 D.3

【解析】解:连接 OC,PC 是⊙O 的切线,∴∠OCP=90°,∵∠CPA=30°,OC= tan30 =
0

AB =3, 2

3 ? PC ? 3 3 ,再根据切割线定理得到 PB 长度为 3,选 D PC

24.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD=3,CD=2,则

AC 的值为 BC

A.

3 2

B.

9 4

C.

2 3

D.

4 9

【答案】A 2 【解析】由题意得,CD =AD·BD,

试卷第 9 页,总 42 页

∴BD=

4 2 2 .又 AC =AD·AB,BC =BD·AB, 3



AD 9 AC 3 AC 2 = = ,故 = . 2 BD 4 BC 2 BC

25.如图所示,AD 是△ABC 的中线,E 是 CA 边的三等分点,BE 交 AD 于点 F,则 AF∶FD 为

A.2∶1 B.3∶1 C.4∶1 D.5∶1 【答案】C 【解析】 要求 AF∶FD 的比, 需要添加平行线寻找与之相等的比. 注意到 D 是 BC 的中点, 可过 D 作 DG∥AC 交 BE 于 G,则 DG= EC=4∶1.

1 1 EC,又 AE=2EC,故 AF∶FD=AE∶DG=2EC∶ 2 2

26.如图,在矩形 ABCD 中,BD 为对角线,AE⊥BD,

,AD=1,则 BE=( )

A.1

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 试题分析:矩形各内角为直角,在直角△ABD 中,已知 AB、AD,根据勾股定理即可求 BD 的值,根据直角三角形的射影定理,即可求解 BE. 解:矩形各内角为直角,∴△ABD 为直角三角形 在直角△ABD 中, ,AD=1, 则 BD= =
2



再由射影定理,得 AB =BE×BD ∴

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故选 B. 点评:本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了直角三角形的射影定理,本 题中根据勾股定理求 BD 的值是解题的关键. 27.如图,⊙O 是△ABC 的内切圆,切点分别是 D、E、F,已知∠A=100°,∠C=30°, 则∠DFE 的度数是( )

A.55° B.60° C.65° D.70° 【答案】C 【解析】 试题分析:由已知中∠A=100°,∠C=30°,根据三角形内角和定理,可得∠B 的大小, 结合切线的性质,可得∠DOE 的度数,再由圆周角定理即可得到∠DFE 的度数. 解:∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180﹣100°﹣30°=50° ∠BDO+∠BEO=180° ∴B、D、O、E 四点共圆 ∴∠DOE=180°﹣∠B=180°﹣50°=130° 又∵∠DFE 是圆周角,∠DOE 是圆心角 ∠DFE= ∠DOE=65° 故选 C 点评:本题考查的知识点是圆周角定理,切线的性质,其中根据切线的性质判断出 B、 D、O、E 四点共圆,进而求出∠DOE 的度数是解答本题的关键. 28.已知 P 是直线 y ? x ? 1 上一点,M,N 分别是圆 C1 : ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 1与
2 2

圆 C2 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 4)2 ? 1上的点则 PM ? PN 的最大值为( A、4
【答案】C

) D、1

B、3
2 2

C、2
2 2

【 解 析 】 圆 C2 : ( x ? 4) ? ( y ? 4) ? 1与圆C1 : ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 1 关 于 直 线

y ? x ? 1 对称故对圆 C1 上任一点 M ,在 C2 上存在一点 M ? 使 | PM |?| PM ? |
只须求 | PM ? | ? | PN | 的最大值,注意到 | PM ? | ? | PN |?| M ?N |? 1 ? 1 ? 2
29.圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 关于直线 y ? x ? 1 对称的圆的方程是 A. ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 B. ( x ? 4)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 ( )

【答案】B 【解析】 本题考查圆的标准方程, 关于直线对称的含义, 能求一个点关于直线的对称点. 圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 化为标准方程得:( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 ; 圆心为 C (2, ?1),
2 2

试卷第 11 页,总 42 页

? b ?1 ? ?1 ? ? a?2 半径为 5; 设 C (2, ?1) 关于直线 y ? x ? 1 对称的点为 P( a, b); 则 ? 解 b ? 1 a ? 2 ? ? ?1 ? ? 2 2
得 a ? ?4, b ? 1; 故选 B 30.Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,若 A. B. C. D. ,则 =( )

【答案】C 【解析】 2 试题分析:在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,由射影定理可得 AB =BD?BC, 2 AC =CD?BC,即可得出. 解:如图所示, ∵Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D, 2 2 ∴AB =BD?BC,AC =CD?BC, 又 .

∴ 故选:C.

=



点评:本题考查了直角三角形中的射影定理,属于基础题. 31.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,AD=3.6,则 BC=( )

A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】 2 试题分析:先判断△ACD~△ABC,从而有 AC =AB?AD,代入数据求出 AB=10,再由勾股 定理,即可得到 BC. 解:∵∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC, ∴△ACD~△ABC, ∴ = ,
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∴AC =AB?AD, ∵AC=6,AD=3.6, ∴36=3.6AB,AB=10, 2 2 2 在直角三角形 ABC 中,BC =AB ﹣AC =100﹣36=64, ∴BC=8. 故选 B.

2

点评:本题考查解三角形的知识,主要考查直角三角形的知识:射影定理,考查运算能 力,属于基础题. 32.下列说法中正确的个数是 ①垂直于半径的直线是圆的切线; ②过圆心且垂直于切线的直线必过切点; ③过切点且垂直于切线的直线必过圆心; ④过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线; ⑤同心圆内大圆的弦 AB 是小圆的切线,则切点是 AB 的中点. A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】①不正确,因为垂直于半径的直线不一定是圆的切线;②正确;③正确;④不 正确,必须是过半径的外端点且垂直于这条半径的直线才是圆的切线;⑤正确. 33.如图所示,CD 切⊙O 于 B,CO 的延长线交⊙O 于 A,若∠C=36°,则∠ABD 的度数 是

A.72° B.63° C.54° D.36° 【答案】B 【解析】连结 OB.∵CD 为⊙O 的切线,∴∠OBC=90°. ∵∠C=36°,∴∠BOC=54°. 又∵∠BOC=2∠A,∴∠A=27°. ∴∠ABD=∠A+∠C=27°+36°=63°. 34.如图所示,已知 AA′∥BB′∥CC′,AB:BC=1:3,那么下列等式成立的是(



A.AB=2A′B′ 【答案】B

B.3A′B′=B′C′

C.BC=B′C′

D.AB=A′B′

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【解析】 试题分析:利用平行线分线段成比例定理,即可得出结论. 解:∵AA′∥BB′∥CC′,AB:BC=1:3, ∴A′B′:B′C′=1:3, ∴3A′B′=B′C′. 故选:B. 点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,解题的关键是找出对应线段. 35. (2010?绵阳三模)如图,AB 为⊙O 的直径,C、D 为⊙O 上的点,直线 MN 切⊙O 于 C 点,图中与∠BCN 互余的角有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 【解析】 试题分析: 由弦切角定理圆周角定理得∠BCN=∠BAC, ∠ACM=∠D=∠B, 再由 AB 为直径, 得∠ACB=90°,则∠B、∠D、∠ACM,都是∠BCN 的余角. 解:∵直线 MN 切⊙O 于 C 点, ∴∠BCN=∠BAC,∠ACM=∠D=∠B, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠BCN+∠ACM=90°,∠B+∠BCN=90°,∠D+∠BCM=90°. 故选 C. 点评:本题考查了弦切角定理圆周角定理,是基础知识,要熟练掌握.属于基础题. 36.如图所示,PC 切⊙O 于 A,PO 的延长线交⊙O 于 B,BC 切⊙O 于 B,若 AC∶CP=1∶ 2,则 PO∶OB 等于

A.2∶1 B.1∶1 C.1∶2 D.1∶4 【答案】A 【解析】连接 OA,则 OA⊥PC, ∴△PAO∽△PBC, ∴

PO OA PO PC = ,即 = , PC BC OA BC

又∵OA=OB,AC∶CP=1∶2,设 AC=x,则 CP=2x, ∴CA=x=BC,∴

PO 2 x = =2,∴PO∶OB=2∶1. OA x

37.如图,CD 是⊙O 的直径, AE 切⊙O 于点 B ,连接 DB ,若 ?D ? 20? ,则 ?D B E 的
试卷第 14 页,总 42 页

大小为

A. 20 ?

B. 40 ?

C. 60 ?

D. 70 ?

【答案】 【解析】略 38.如右图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方 向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这 样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致是( )

【答案】A

【解析】答案:A

解析:根据小圆 与大圆半径 1:2 的关系,找

上下左右四个点,根据这四个点的位置,小圆转半圈,刚好是大圆的四分之一,因此 M 点的轨迹是个大圆,而 N 点的轨迹是四条线,刚好是 M 产生的大圆的半径。 39.如图,半径为 2 的两个等圆⊙O1 与⊙O2 外切于点 P,过 O1 作⊙O2 的两条切线,切点 分别为 A,B,与⊙O1 分别交于 C,D,则 APB 与 CPD 的弧长之和为( )

A.2π 【答案】A 【解析】

B.

C.π

D.

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试题分析: 连接 O1O2, O2A, O2B 因为 O1A 是切线, ∴O2A⊥O1A, 又∵O1O2=2O2A, ∴∠AO1O2=30°, ∴∠AO1B=60°,∠A02B=120°,根据弧长的计算公式是 l= 长. 解:CPD 的弧长= APB 的弧长= = = , ,就可以求出两条弧的

∴APB 与 CPD 的弧长之和为 2π . 故选 A. 点评:根据切线的性质定理,利用三角函数求出圆心角,再根据弧长的公式求出弧长, 求圆心角是解题的关键. 40.如图,AT 切⊙O 于 T,若 AT=6,AE=3,AD=4, DE=2,则 BC 等于

A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】∵AT 为⊙O 的切线, 2 ∴AT =AD·AC. ∵AT=6,AD=4,∴AC=9. ∵∠ADE=∠B,∠EAD=∠CAB, ∴△EAD∽△CAB,即

DE AE = , BC AC

∴BC=

DE ? AC 2 ? 9 = =6. AE 3

41.圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 0 的圆心坐标是 (A)(2,3) 【答案】答案:D (B)(-2,3) (C)(-2,-3) (D)(2,-3)

解析:圆方程化为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 ,圆心(2,-3),选 D.

【解析】 考点:圆的标准方程. 分析:把圆的方程配方得到圆的标准方程后,找出圆心坐标即可. 解:把圆的方程化为标准方程得: (x-2)2+(y+3)2=13, 所以此圆的圆心坐标为(2,-3). 故选 D 42. 如图, P 是半圆 O 的直径 BC 延长线上一点, PT 切半圆于点 T, TH⊥BC 于 H, 若 PT=1, PB+PC=2a,则 PH=( )

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A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 试题分析:连接 OT,由 PT=1、PB+PC=2a,利用切割线定理算出 BC 长.再根据题意证出 △TPH∽△OPT,通过三角形的相似比可算出 PH 的长. 解:如图,连接 OT. 2 ∵PT =PC?PB,PT=1 且 PB+PC=2a ∴BC=PB﹣PC= ∴OT=OC= ,可得 OP= = =a.

又∵∠TPH=∠OPT,∠PTO=∠PHT=90° ∴△TPH∽△OPT,可得 故选:B ,PH= = .

点评:本题给出半圆满足的条件,求线段 PH 长.着重考查了切割线定理、相似三角形 的判定与性质等知识,属于中档题. 43.如图所示,在圆的内接四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,EF 切⊙O 于 C 点,那么图 中与∠DCF 相等的角的个数是

A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】∠DCF=∠DAC,∠DCF=∠BAC, ∠DCF=∠BCE,∠DCF=∠BDC,∠DCF=∠DBC. 44.如图,经过⊙O 上的点 A 的切线和弦 BC 的延长线相交于点 P,若∠CAP=40°,∠ ACP=100°,则 ∠BAC 所对的弧的度数为( )

A.40°

B.100°

C.120°

D.30°
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【答案】C 【解析】 试题分析:由已知中经过⊙ O 上的点 A 的切线和弦 BC 的延长线相交于点 P,若∠ CAP=40°, ∠ACP=100°, 根据弦切角定理及三角形外角的性质, 我们易求出∠BAC=60°, 然后再利用圆周角定理,即可得到答案. 解:∵PA 为圆 O 的切线, 故∠CAP=∠B=40°, 又∵∠ACP=100°, ∴∠BAC=60° 则∠BAC 所对的弧的度数为 120° 故选 C 点评:本题考查的知识点是弦切角定理,圆周角定理及三角形外角的性质,其中易忽略 所求为∠BAC 所对的弧的度数,而错答为 60°. 45.过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5)2 ? ( y ?1)2 ? 2 的两条切线 l1 , l2 ,当直线 l1 , l2 关 于 y ? x 对称时,它们之间的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C 【解析】过圆心 M 作直线 l:y=x 的垂线交于 N 点,过 N 点作圆的切线能够满足条件, 0 不难求出夹角为 60 . 明白 N 点后,用图象法解之也很方便 2 2 解: 圆 (x-5)+ (y-1)=2 的圆心 (5, 1) , 过 (5, 1) 与 y=x 垂直的直线方程: x+y-6=0, 它与 y=x 的交点 N(3,3), N 到(5,1)距离是 2 2 ,两条切线 l1,l2,它们之间的夹角为 60°. 故选 C. 46.如图,点 A、B、C 是圆 O 上的点,且 AB=4,∠ACB=30°,则圆 O 的面积等于

A.4π B.8π C.12π D.16π 【答案】D 【解析】连接 OA、OB,

∵∠ACB=30°, ∴∠AOB=60°, 又∵OA=OB,
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∴△AOB 为等边三角形, 又 AB=4, ∴OA=OB=4, 2 ∴S⊙O=π ·4 =16π . 47. 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 交于 E , F 两点, 则 ? EOF ( O 是 原点)的面积为( A. ) B.

3 2

3 4

C. 2 5

D.

6 5 5

【答案】D 【解析】弦长为 4 , S ?

1 3 6 5 ? 4? ? 2 5 5

48. 如图, AB 是⊙O 的弦, C 是 AB 的三等分点, 连接 OC 并延长交⊙O 于点 D. 若 OC=3, CD=2,则圆心 O 到弦 AB 的距离是( )

A.6 B.9﹣ C. D.25﹣3 【答案】C 【解析】 试题分析:利用圆的相交弦定理和垂径定理、勾股定理即可得出. 解:如图所示, 设 AC=x,则 BC=2x. 由相交弦定理可得:AC×BC=DC×CE, ∴2x2=2×(2+3+3) ,即 x2=8, ,∴AB=3x= . 过点 O 作 OF⊥AB,垂直为 F,则 AF=FB=3 . ∴CF= 在 Rt△OCF 中, 故选 C. = , = .

点评:熟练掌握圆的相交弦定理和垂径定理、勾股定理是解题的关键.
? 49.如图,⊙O 过点 B、C,圆心 O 在等腰 Rt△ABC 的内部, ?BAC ? 90 , OA ? 1 ,

BC ? 6 .则⊙O 的半径为(

).

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A. 6

B. 13

C.

13

D. 2 13

【答案】C 【解析】分析:延长 AO 交 BC 于 D,接 OB,根据 AB=AC,O 是等腰 Rt△ABC 的内心,推 出 AD⊥BC,BD=DC=3,AO 平分∠BAC,求出∠BAD=∠ABD=45°,AD=BD=3,由勾股定理求 出 OB 即可. 解答:解:延长 AO 交 BC 于 D,

连接 OB, ∵⊙O 过 B、C, ∴O 在 BC 的垂直平分线上, ∵AB=AC,圆心 O 在等腰 Rt△ABC 的内部, ∴AD⊥BC,BD=DC=3,AO 平分∠BAC, ∵∠BAC=90°, ∴∠ADB=90°,∠BAD=45°, ∴∠BAD=∠ABD=45°, ∴AD=BD=3, ∴OD=3-1=2, 由勾股定理得:OB= DO ? BD = 13
2 2

故选 C.

二、填空题(题型注释) 50. (几何证明选讲选做题) 如图,AB 、AC 是⊙ O 的两条切线, 切点分别为 B 、C . 若 ?BAC ? 60? , BC ? 6 ,则⊙ O 的半径为 .

B A

?
C

O

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【答案】 2 3 【解析】 试题分析:连结 BO, CO ,则 ? BOC 所以 R = OB =

120? ,所以有 BC = 3OB = 6

6 =2 3. 3

考点:圆的性质. 51.如图所示,圆 O 的直径为 6,C 为圆周上一点.BC=3,过 C 作圆的切线 l.过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D,则线段 CD 的长为____.

【答案】

3 3 2
2 2 AB ? BC ? 6 2

【 解 析 】 由 于 A C?

?3 2 ?3 3 ? , ? A C D? ? A B,C
3 3 3 ? 6 2

?sin ?ACD ? sin ?ABC, ? CD ? AC cos ?ABC ? 3 3 ?

52.若经过点 P(?1, 0) 的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则此直线在 y 轴上 的截距是 __________________. 【答案】1 【解析】点 P(?1, 0) 在圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 上,即切线为 x ? y ? 1 ? 0 53.如图,直径 AB=2,C 是圆 O 上的一点,连接 BC 并延长至 D, 使|CD|=|BC|,若 AC 与 OD 的交点 P, BA ? BC ? 1 ,则 AP ? AB ?
D

C P A B O

【答案】2 【解析】 试题分析:由于直径所对的圆周角为直角,同时|CD|=|BC|,延长 CO 到与圆相交于点 E,则三角形 BEC,和三角形 BAC 全等,同时要根据 BA ? BC ? 1 ,得到 BC 的长度为 1, 同时得到 ? ABC= 60 , 那么对于 ? CAB= 30 , 然后结合三角形 APO, 相似于三角形 DCP,
0 0

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进而得到关系式 AP:PC=OP:PD,然后根据已知中的向量的数量积公式得到 AP ? AB 的值 为 2,故填写答案为 2 考点:本试题考查了圆的性质运用。 点评:对于几何求解中直线与圆,以及三角形与圆的性质的综合运用,是高考的一个考 向, 值得关注, 同时对于适当的作出辅助线是解题的难点, 需要多加训练, 属于中档题。 54.如图, ?ABC 内接于圆 O ,直线 L 平行 AC 交线段 BC 于 D ,交线段 AB 于 E , 交圆 O 于 G, F ,交圆 O 在点 A 的切线于 P .若 PE ? 6 , ED ? 4 , EF ? 6 ,则 PA 的 长为 . L P A O D F C

??? ? ??? ?

G E B

【答案】 2 6 【解析】 试 题 分 析 : ? l // AC , ? ?BDE ? ?C , 又 ? PA 与 圆 O 相 切 于 A ,

? ?PAE ? ?C, ?BDE ? ?PAE ;
? ?BED ? ?PEA
,

? ?BED



?PEA







?

CD BE ? AE PE

,

? AE ? BE ? ED ? PE ? 4 ? 6 ? 24 , ? AE ? BE ? GE ? EF , ? 24 ? GE ? 6 , 得 GE ? 4 ; ? PG ? PE ? GE ? 6 ? 4 ? 2 ,
PA2 ? PG ? PF

? 2 ? ?6 ? 6? ? 24 ,? PA ? 2 6 .
考点:1.相似三角形;2.相交弦定理;3.切割线定理. 55.以 Rt ? ABC 的直角边 AB 为径作圆 O,圆 O 与斜边 AC 交于 D,过 D 作圆 O 的切线与 BC 交于 E,若 BC=3,AB=4,则 OE= .

【答案】2.5 【解析】 试题分析:由 题 意 , 连 接 OD , BD , 则 OD ⊥ ED , BD ⊥ AD

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∵ OB=OD , OE=OE ,∴ Rt △ EBO ≌ Rt △ EDO ,∴ EB=ED ,∴ ∠ EBD= ∠ EDB ,又 ∠ EBD+ ∠ C=90°, ∠ EDB+ ∠ EDC=90°,∴ ∠ C= ∠ EDC , ∴ ED=EC ,∴ EB=EC ,∵ O 是 AB 的 中 点 , ∴ OE=AC , ∵ 直 角 边 BC=6 , AB=8 , ∴ AC=10 , ∴ OE=5 , 故 答 案 为 : 5. 考点:圆的切线的性质定理的证明. 56. (选修 4-1:几何证明选讲)如图,C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的一点,过 C 的直 线交直线 AB 于 E,交过 A 点的切线于 D,BC∥OD .若 AD =AB= 2,则 EB=_________.

【答案】

2 3

【解析】 试题分析: 连接 OC 则 ?DOA ? ?CBO ? ?BCO ? ?COD 则 ?AOD ? ?COD 则 OC ? CD , 则 CD 是半圆 O 的切线 设 EB ? x ,由 BC∥OD 得 考点:几何证明. 57.如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的 切线交 AD 于 E .若 AB ? 8 , DC ? 4 则 DE ? _________.
D E A O B

EC EB 2 ,则 EC ? 2 x ,则 ?2x?2 ? x ? ?x ? 2? ,则 x ? ? 3 CD BO

C

【答案】 2 【解析】试题分析:由 已 知 , AC ? BD , ?ABD 是正三角形, AC ? 4 3 .由弦切角定
0 理 , ?ACE ? ?B ? 60 , 所 以 在 ?ACE 中 , C E?

在 ? CED 中 , A, E

D E?

Cs D ? i n ? D? 2 .

考点:1.弦切角定理;2.三角形. 58 . 如 图 , 已 知 圆 中 两 条 弦 AB 与 CD 相 交 于 点 F , E 是 AB 延 长 线 上 一 点 , 且
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DF ? CF ? 2 , AF ? 2 BF ,若 CE 与圆相切,且 CE ?

7 ,则 BE ? 2

.

【答案】 【解析】

1 2

试 题 分 析 : 由 相 交 弦 定 理 得 AF ? BF ? CF ? DF ?

2? 2 ? 2 , 即

2B F ? B ? F2 ? B , ? F 1? AF ? 2 , 由 于 CE 与 圆 相 切 于 点 E , EBA 与 圆 相 交 于 A 、 B 两 点 , 由 切 割 线 定 理 得

? 7? CE ? BE ? AE ,即 ? ? 2 ? ? ? ? ?
2

2

2 E2? 1 2B E ? 7 ? 0 整理得 BE ? 3BE ? , 即 4B BE ? ? BE ? AB? ? BE ? ? BE ? 3? ,

7 4



解得 BE ?

1 7 或 BE ? ? (舍去). 2 2

考点:相交弦定理、切割线定理 59. 如图, 从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC , 已知 PA ? 2 2 ,PC ? 4 , 圆心 O 到 BC 的距离为 3 ,则圆 O 的半径为 .

C O
?

B

P

A

【答案】2 【解析】有切线长定理: PA2 ? PB ? PC ,? PB ? 则圆 O 的半径为 ( 3) ? 1 ? 2
2 2
2 PA2 (2 2) ? =2, ? BC ? 2 PC 4

60.直线 3 x+y-2 3 =0 截圆 x ? y =4 得的劣弧所对的圆心角为
2 2

试卷第 24 页,总 42 页

? 【答案】 3
【解析】略 61. (几何证明选讲)如图,△ ABC 是⊙O 的内接三角形,PA 是⊙0 的切线,PB 交 AC
? 于点 E, 交⊙O 于点 D. 若 PA=PE,?ABC ? 60 , PD=1, PB=9, 则 EC=



【答案】4 【解析】 试题分析:利用切割线定理结合题中所给数据,得 PA=3,由弦切角定理结合有一个角 为 60 ° 的 等 腰 三 角 形 是 正 三 角 形 , 得 到 PE=AE=3 , 最 后 由 相 交 弦 定 理 可 得

BE ?DE ? AE ? CE ,从而求出 EC 的长.
2 :∵PA 是圆 O 的切线,∴ PA ? PD ? PB ? 9 ,可得 PA=3,

∵∠PAC 是弦切角,夹弧 ADC,∴∠PAC=∠ABC=60°,, ∵△APE 中,PE=PA,∴△APE 是正三角形,可得 PE=AE=PA=3, ∴BE=PB-PE=6,DE=PE-PD=2, ∵圆 O 中,弦 AC、BD 相交于 E,, ∴ BE ?DE ? AE ? CE ,可得 6×2=3EC,CE=4 考点:与圆有关的比例线段 B 两点, 62. 如图, ⊙ O 的割线 PAB 交⊙ O 于 A 、 割线 PCD 经过圆心 O , 已知 PA ? 6 ,

AB ?

22 , PO ? 12 ,则⊙ O 的半径是______. 3

【答案】 8 . 【解析】 试题分析:设圆 O 的半径为 R ,则 PC ? PO ? R ? 12 ? R , PD ? PO ? R ? 12 ? R ,

PB ? PA ? AB 22 40 40 ? 6? ? ? 80 , , 由割线定理得 PC ? PD ? PA ? PB , 届 ?12 ? R ??12 ? R ? ? 6 ? 3 3 3

试卷第 25 页,总 42 页

即 144 ? R ? 80 ,
2

解得 R ? 8 . 考点:割线定理 63. (几何证明选讲选做题) 在梯形 ABCD 中,AD ? BC ,AD ? 2 ,BC ? 5 , 点E 、

AE 3 ? EF ? AD F 分别在 AB 、 CD 上,且 ,若 EB 4 ,则 EF 的长为 23 【答案】 7
【解析】略



64.如图,已知 ? O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D ,若 AD ? 3 , BD ? 2 ,且 D 为 OC 的中点,则 CD 的长为 .

O

A

D
C

B

【答案】 2 【解析】作出过 C 点的直径 CD,根据 D 为 OC 的中点可以算出 DE=3CD.因此设出 CD 长 为 x,DE 长为 3x,再用相交弦定理得到 AD?BD=ED?CD,代入题中的数据可得 x 的值,即 为 CD 的长.

解答:解: ∵D 为 OC 的中点,CE=2OC ∴CE=4CD?DE=3CD 设 CD 长为 x,DE 长为 3x 根据相交弦定理,得 AD?BD=ED?CD 2 2 ∴3×2=x?3x=3x ?x =2 ∴x=

延长 CO 交圆 O 于 E,则 CE 是圆 O 的直径

2 ,即 CD= 2 2

故答案为:

65.已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被该 圆所截 得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为
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【答案】 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 【解析】略 66. (几何证明选讲选做题)如右图,P 是⊙O 外一点,PD 为⊙O 的切线,D 为切点,割 线 PEF 经过圆心 O,若 PF=12,PD= 4 3 ,则∠EFD 为____ _度(3 分) ,线段 FD 的长 为___
P E O

___(2 分) 。

D

F

【答案】 30 ,4 3 【解析】略 67. . (几何证明选讲选做题)如图 4, PT 为圆 O 的切线,

0

T 为切点, ?ATM ?
M T P O

?
3

,圆 O 的面积为 2? ,则 PA ?



A

图4

【答案】 3 2 【解析】略 68 . 如 图 , 圆 是 ,则 的外接圆,过点 的长为 的切线交 . 的延长线于点 ,

【答案】 【解析】 试 题 分 析 : ? CD 是 切 线 , AB 是 割 线 , ? 根 据 切 割 线 定 理 有

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CD2 ? BD ? AD ? BD ? (BD ? AB) ? (2 7)2 ? BD2 ? 3BD ? BD2 ? 3BD ? 28 ? 0
解 得 BD ? 4 或 BD ? ?7 ( 舍 去 ). ? ?DCB ? ?CAD , ?? ACD ?? CBD ,

?

BC BD 3 4 3 7 . ? ? ? ? AC ? AC DC AC 2 7 2

考点: 1、平面几何的切割线定理;2、三角形相似. 69. 如图,?ABC 内接于⊙ O , 过 BC 中点 D 作平行于 AC 的直线 l ,l 交 AB 于点 E , 交⊙ O 于 G 、 F ,交⊙ O 在点 A 切线于点 P ,若 PE ? 3, ED ? 2, EF ? 3 ,则 PA 的 长为 .

【答案】 6 . 【解析】 试题分析:因为 D 点是 BC 中点, DE ? AC ,所以 AE ? BE , ?BDE ? ?C . 又 因 为 PA 切 ⊙ O 于 点 A , 所 以 ?P A E ? ? C, 可 得 ?B D E ? ? P A E .因为

?B D E ? ? P E A, 所 以 ?B D E ∽ ?PEA , 可 得

ED BE ? AE PE

, 即

A 2 E?

? B E ?A ?E

6 P ?E E D ,所以 AE ? 6 .因为 AE 2 ? GE?EF ,所以 GE ? 2 ,

2 所以 PG ? 1 ,所以 PA ? PG?PF ? 6 ,所以 PA ?

6 ,故应填 6 .

考点:1、圆的切线的判定定理的证明;2、与圆有关的比例线段; 三、解答题(题型注释) 70.如图, ⊙O 为 ?ABC 的外接圆,直线 l 为⊙O 的切线,切点为 B ,直线 AD ∥ l ,交 BC 于 D ,交⊙O 于 E , F 为 AC 上一点,且 ?EDC ? ?FDC .
A

l
B O D E

F C

2 求证: (Ⅰ) AB ? BD ? BC ;

(Ⅱ)点 A 、 B 、 D 、 F 共圆. 【答案】证明如下 【解析】
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试题分析:证明:⑴∵直线 l 为⊙O 的切线, ∴∠1= ?ACB .

∵ AD ∥ l , ∴∠1=∠ DAB . ∴ ?ACB = ? DAB , 又∵ ?ABC = ? DBA , ∴ ?ABC ∽ ?DAB . ∴

AB BC ? . BD AB

∴ AB 2 ? BD ? BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ?BAC ? ?ADB . ∵ ?EDC ? ?FDC , ?EDC ? ?ADB , ∴ ?BAC ? ?FDC . ∴ ?BAC ? ?FDB ? ?FDC ? ?FDB ? 180°. ∴点 A 、 B 、 D 、 F 共圆. 考点:几何证明 点评:在几何证明中,要证明关于四段线段的等式成立,只需找到四段线段所在的两个 三角形,然后证明它们相似就好;而要证明四点共圆,只需证明四点形成的四边形的一 对对角互补即可。 71. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点, PBC 为割线, 弦 CD // AP , AD 、 BC 相交于 E 点, F 为 CE 上一点,且 DE ? EF · EC .
2

A

O C F E D B

P

(1)求证: ?P ? ?EDF ; (2)求证: CE · EB = EF · EP . 【答案】见解析。 【解析】
2 试题分析:证明: (1)∵ DE ? EF ? EC ,∴ DE : CE ? EF : ED 。

∵ ? DEF 是公共角,∴ ?DEF 相似于 ?CED ,

??EDF ? ?C , ??P ? ?EDF ? CD / / AP,??C ? ?P 。


???????? 5

(2)? ?P ? ?EDF , ?DEF ? ?PEA ,? ?DEF 与 ?PEA 相似,

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? DE : PE ? EF : EA, 即 EF · EP ? DE · EA 。

? 弦 AD, BC 相交于点 E ,? DE · EA ? CE EB
∴ CE · EB ? EF · EP . ????????? 10 分 考点:本题主要考查平面几何选讲,三角形及圆的问题。 点评:本题以直线与圆的位置关系为载体,全面考查了平面几何选讲问题,中档题. 72.已知:如图,⊙O 与⊙P 相 交于 A,B 两点,点 P 在⊙O 上,⊙O 的弦 BC 切⊙P 于点 B,CP 及其延长 线交⊙P 于 D,E 两点,过点 E 作 EF⊥CE 交 CB 延长线于点 F.若 CD=2, CB=2 2 ,求 E F 的长. B C D . P F

O

E

A

【答案】连 PB,∵BC 切⊙P 于点 B, CD=2,CB=2 2 ,由切割线定理得:CB2=CD·CE??.3 分 ∴CE=4,DE=2,BP=1???????????..6 分 又∵EF⊥CE ,PB⊥BC, ∴△CPB∽△CFE,

EF CE ? ∴ PB CB ,EF= 2

?????????.12 分

【解析】略 73.选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如下图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE//AC,BE 交 CD 于 E、交圆于 F,过 A 点的切线 交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2.

(1)求 AC 的长; (2)求证:BE = EF. 2 【答案】解: (1)∵PA =PC?PD,PA=2,PC=1,∴PD=4, 又∵PC=ED=1,∴CE=2, ∵∠PAC=∠CBA,∠PCA=∠CAB, ∴△PAC∽△CBA,∴

PC AC ? AC AB
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∴AC =PC?AB=2,∴AC= 2 (5 分)
2

(2)∵BE=AC= 2 ,CE=2,而 CE?ED=BE?EF, ∴EF=

2 ?1 ,∴EF=BE. (10 分) 2

【解析】 试题分析: (1)由 PA 是圆的切线结合切割线定理得比例关系,求得 PD,再由角相等得 三角形相似:△PAC∽△CBA,从而求得 AC 的长; (2)欲求证:“BE=EF”,可先分别求出它们的值,比较即可,求解时可结合圆中相交 弦的乘积关系. 考点:与圆有关的比例线段,几何证明 点评:本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形的知识. 74.如图, 弦 与弦 为△ 外接圆的切线, 的延长线交直线 , 于点 , 分别为

上的点,且

四点共圆.

(Ⅰ)证明: (Ⅱ)若

是△

外接圆的直径; ,求过 四点的圆的面积与△ 外接圆面积的比值.

【答案】 (I)见解析; (II) 【解析】

1 . 2
外接圆的直径,关键是证明 ?CBA ? 90? ,利用已 四点共

试题分析: (I)证明 CA 是△

知条件易于得到 ?CFE ? ?DBC,?CFE ? ?AFE ? 90? ;在利用 圆,其对角互补即得证. (II)通过连接 CE, 明确

四点的圆的直径为 CE ,得到 ?CBE ? 90? ;根据

DB ? BE ,得 CE ? DC ,从而将圆面积之比,转化成
试题解析: (I)证明:∵ CD 为△ ∵ BC ? AE ? DC ? AF ,∴

CE 2 3DB 2 1 ? = . AC 2 6DB 2 2

外接圆的切线,∴ ?DCB ? ?A ,

BC DC = . FA EA ?? CDB∽? AEF, ??CBD ? ?AFE.


??CFE ? ?AFE ? 90? . 四点共圆,??CFE ? ?DBC,

试卷第 31 页,总 42 页

??CBA ? 90?, ? CA 是△

外接圆的直径;

? ?CBE ? 90? , (II)连接 CE,
∴过 四点的圆的直径为 CE ,由 DB ? BE ,得 CE ? DC ,

又 BC2 ? DB ? BA ? 2DB2, ? CA2 ? 4DB2 ? BC2 ? 6DB2. 而 DC2 ? DB ? DA ? 3DB2, 故过 四点的圆的面积与△ 外接圆面积的比值为,

CE 2 3DB 2 1 ? = . AC 2 6DB 2 2
考点:与圆相关的比例线段 75.如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。 2 已知 AE 的长为 n , AD , AB 的长是关于 x 的方程 x -14x+mn=0 的两个根。 (Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。 C E

A

D (2)5 2

B

【答案】 (1)略

【解析】 (I)利用四点共圆的判定定理探求成立条件即可证明;(Ⅱ)利用圆的知识确 定圆心,然后求出半径即可。 (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即

AD AE ? . AC AB

又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB , 所以 C,B,D,E 四点共圆。 2 (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2,AB=12.取 CE 的 中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 0 C, B, D, E 四点共圆, 所以 C, B, D, E 四点所在圆的圆心为 H, 半径为 DH.由于∠A=90 , 故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF=

1 (12-2)=5.故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 2

试卷第 32 页,总 42 页

76.(10 分)已知实数 x, y 满足 x ? y ? 2x ? 2 3 y ? 0
2 2

求(1) x ? y 的最大值。
2 2

(2)

x ? y 的最小值。

【答案】解: (1)16

(2) 3 - 1 - 2 2

【解析】略 77.选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,AB 是圆 O2 的直径,过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与圆 O1、圆 O2 交于 C,D 两点。

求证:(Ⅰ)PA·PD=PE·PC;(Ⅱ)AD=AE。 【 答 案 】 ( Ⅰ )

PA ? PE ? PD ? PB ① PA2 ? PC ? PB ② , 由 ① , ② 得
PA PC ? ∴ AC ∥ ED ∴ AB ⊥ PE PD

PA ? PD ? PE ? PC
(Ⅱ) ?CAB ? 90? ∴ AC 是⊙ O2 的切线由 (Ⅰ) 知

DE , ?CAD ? ?ADE ? ?CAD ? ?AED , ?CAD ? ?ADE ∴ ?AED ? ?ADE
∴ AD ? AE 【解析】 试题分析: (Ⅰ)? PE、PB 分别是⊙ O2 的割线∴ PA ? PE ? PD ? PB 又? PA、PB 分别是⊙ O1 的切线和割线∴ PA ? PC ? PB
2





由①,②得 PA ? PD ? PE ? PC (Ⅱ)连结 AC 、 ED 设 DE 与 AB 相交于点 F ∵ BC 是⊙ O1 的直径 ∴ ?CAB ? 90? ∴ AC 是⊙ O2 的切线. 由(Ⅰ)知

???????? 5 分

PA PC ? ,∴ AC ∥ ED ∴ AB ⊥ DE , ?CAD ? ?ADE PE PD

又∵ AC 是⊙ O2 的切线,∴ ?CAD ? ?AED 又 ?CAD ? ?ADE ,∴ ?AED ? ?ADE ∴ AD ? AE ?????????10 分
试卷第 33 页,总 42 页

考点:平面几何证明 点评:此类题目较简单,学生借助于初中所学部分平面几何知识的基础容易解决 78. (本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟) 21. (选做题)本大题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分,共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. A. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心, DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径 的半⊙O 交于点 F ,延长 CF 交 AB 于 E . (1)求证: E 是 AB 的中点; (2)求线段 BF 的长.
A D

E

F

B

O

C

【答案】略 【解析】略 79.选考题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一 题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分 10 分. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径 ,AC 是弦 ,∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D,DE⊥AC, 交 AC 的延长线于点 E.OE 交 AD 于点 F. (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若

AC 3 AF ? ,求 的值. AB 5 DF
E

C F A O

D B

【答案】

8 5
……2 分

【解析】略证 (1) 连结 OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ∴OD∥AE 又 AE⊥DE …………3 分 ∴DE⊥OD,又 OD 为半径 ∴ DE 是的⊙O 切线 …………5 分 ⑵ 提示:过 D 作 DH⊥AB 于 H 则有∠DOH=∠CAB Cos∠DOH=cos∠CAB=

AC 3 ? AB 5

……………………6 分

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x,DH=4x

试卷第 34 页,总 42 页

∴AH=8x

AD2=80x2 ∴AE=8X…………8 分

由△ AED∽△ADB 可得 AD2=AE· AB=AE· 10x 又由△ AEF∽△DOF ∴

可得 AF∶DF= AE∶OD =

8 ; 5

AF 8 = ……10 分 DF 5

80.某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格 时,才可继续参加科目 B 的考试已知每个科目只允许有一次补考 机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试, 科目 A
2 每次考试成绩合格的概率均为 3 ,科目

B 每次考试成绩合

1 格的概率均为 2 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响.

(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概 率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放 弃所有的考试机会,记他 参加考试的次数为 ? ,求 ? 的数学期望 E ? . 【答案】解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A,“科目 A 补 考合格”为事件 A2;“科目 B 第一次 考试合格”为事件 B,“科 目 B 补考合格”为事件 B. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意到 A1 与 B1 相互 独立,
2 1 1 P( A1 ?B1 ) ? P ( A1 ) ? P ( B1 ) ? ? ? 3 2 3. 则

答 : 该 考 生 不 需 要 补 考 就 获 得 证 书 的 概 率 为

试卷第 35 页,总 42 页

1 3.

???6 分

(Ⅱ)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥 性,可得?.7 分
P(? ? 2) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ?A2 )
2 1 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? . 3 2 3 3 3 9 9

??8 分

P(? ? 3) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B2 )
2 1 1 2 1 1 2 2 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 3 2 2 3 3 2 9

??9 分

P(? ? 4) ? P( A1 ?A2 ?B2 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B1 ?B2 )
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9

??10 分

4 4 1 8 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 9 3 故

???.12 分

?

2
4 9

3
4 9

4
1 9

P

8 答:该考生参加考试次数的数学期望为 3 .

??..15 分

【解析】略
81.选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF· EC?

试卷第 36 页,总 42 页

A P O · F C D E B

(1)求证:?P=?EDF; (2)求证:CE· EB=EF· EP. 【答案】证明(1)∵DE2=EF·EC, ∴DE ? CE=EF? ED. ∵?DEF 是公共角, ∴Δ DEF∽Δ CED. ∴?EDF=?C. ∵CD∥AP, ∴?C=? P. ∴?P=?EDF.----5 分 (2)∵?P=?EDF, ?DEF=?PEA, ∴Δ DEF∽Δ PEA.∴DE ? PE=EF ? EA.即 EF·EP=DE·EA. ∵弦 AD、BC 相交于点 E,∴DE·EA=CE·EB.∴CE·EB=EF·EP. 10 分 【解析】略 82..选修 4-1:几何证明选讲:

DE ? EB . ?C ? 90? , BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,点 D 在 AB 上, 如图, 在 Rt△ABC 中,

(Ⅰ)求证:AC 是△BDE 的外接圆的切线; (Ⅱ)若 AD ? 2 3 ,AE ? 6 ,求 EC 的长.

1 1 1 BE ? ? 3r ? ? 3 ? 2 3 ? 3 . 2 2 2 【解析】 ( I ) 只 需 证 明 : 设 圆 心 为 O , 则 证 明 OE ? AC 即 可 . 进 一 步 可 考
【 答 案 】 (Ⅰ)见解析;(Ⅱ) EC= 虑 证 明 OE//BC. (II) 可 以 利 用 切 割 线 定 理 解 决 ,先 通 过 AE ? AD ? AB , 求 出 半 径 长 ,再 利
2

用 OE//BC , 可 得

AE AO ? , 求 出 EC 的 长 . EC OB

(Ⅰ)取 BD 的中点 O,连接 OE. ∵BE 平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE.又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO, ∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE.??????3 分
试卷第 37 页,总 42 页

∵∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC 是△BDE 的外接圆的切线. --------------------5 分 (Ⅱ)设⊙O 的半径为 r,则在△AOE 中,

OA2 ? OE 2 ? AE 2 ,即 ( r ? 2 3 )2 ? r 2 ? 62 ,解得 r ? 2 3 ,
∴OA=2OE, ∴∠A=30°,∠AOE=60°. ∴∠CBE=∠OBE=30°. ∴ EC=

1 1 1 BE ? ? 3r ? ? 3 ? 2 3 ? 3 . 2 2 2

------------------------------10

分 83.选做题(本小题满分 10 分。请考生三两题中任选一题做答,如果多做, 则按所做的第一题记分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O 的直径 AB=10,弦 DE⊥AB 于点 H,BH=2。1)求 DE 的长; (2)延长 ED 到 P,过 P 作圆 O 的切线, 切点为 C,若PC=2 5 ,求PD的长。 选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)若 | a |? 1, | b |? 1,比较 | a ? b | ? | a ? b | 与 2 的大小,不用说明理由; (Ⅱ)设 m 是 | a |, | b | 和 1 中最大的一个,当 | x |? m时, 求证 :| P C A O E 【答案】 (1)AB为圆O的直径,AB⊥DE,DH=HE, 2 DH =AH ? BH=2(10-2)=16, DH=4,DE=8 2 PC切圆O于点C,PC =PD·PE, H D

a b ? |? 2. x x2



?2 5 ? =PD· (PD+8) ,
2

PD=2。

解: (1) | a ? b | ? | a ? b |? 2. (2)因为 | x |? m ?| b | 且 | x |? m ? 1, 所以 | x |?| b | .
2

又因为 | x |? m ?| a |, 所以 |

a b a b | a | | b | | x | | x |2 ? |?| | ? | 2 |? ? ? ? ? 2, x x2 x | x | | x |2 | x | | x |2 x

故原不等式成立. 【解析】略 84.如图所示,AB 为⊙O 的直径,AE 平分∠BAC 交⊙O 于 E 点,过 E 作⊙O 的切线交 AC 于点 D,试判断△AED 的形状,并说明理由.

试卷第 38 页,总 42 页

【答案】见解析 【解析】 解 △AED 为直角三角形,理由如下: 连接 OE,∵ED 为⊙O 切线,

∴OE⊥ED. ∵OA=OE, ∴∠1=∠OEA. 又∵∠1=∠2, ∴∠2=∠OEA, ∴OE∥AC,∴AC⊥DE, ∴△AED 为直角三角形. 85. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 ? ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H ,

? B=60 ? , F 在 AC 上,且 AE ? AF 。
(Ⅰ)证明: B, D, H , E 四点共圆; (Ⅱ)证明:CE 平分 ? DEF。

【答案】

试卷第 39 页,总 42 页

【解析】略 86.如图所示,在△ABC 中,I 为△ABC 的内心,AI 交 BC 于 D,交△ABC 外接圆于 E.

求证:(1)IE=EC; 2 (2)IE =ED·EA. 【答案】见解析 【解析】 证明 (1)连接 IC,∵I 为内心,

∴∠3=∠4,∠1=∠2. ∵∠1=∠5,∴∠2=∠5. ∴∠3+∠2=∠4+∠5, ∴∠EIC=∠ECI.∴IE=CE. (2)∵∠E=∠E,∠2=∠5, ∴△ECD∽△EAC,∴
2

CE AE = , DE EC
2

∴CE =AE·DE,∴IE =AE·ED. 87.21(从以下四个题中任选两个作答,每题 10 分) (1)几何证明选讲 AB 是⊙O 的直径, D 为⊙O 上一点, 过点 D 作⊙O 的切线交 AB 延长线于 C, 若 DA=DC, 求证 AB=2BC
D

A O

B

C

试卷第 40 页,总 42 页

(2)矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设 k≠0,k∈R,M= ?

?k 0? ?0 1 ? ,N= ? ? ?, ? 0 1? ?1 0 ?

点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点 A1,B1,C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求实数 k 的值 (3)参数方程与极坐标 在极坐标系中,圆ρ =2cosθ 与直线 3ρ cosθ +4ρ sinθ +a=0 相切,求实数 a 的值 (4)不等式证明选讲 已知实数 a,b≥0,求证: a3 ? b3 ? ab( a 2 ? b2 ) 【答案】 【解析】 88.选修 41:几何证明选讲 如图,设 AB 为⊙O 的任意一条不与直线 l 垂直的直径,P 是⊙O 与 l 的公共点,AC⊥l, BD⊥l,垂足分别为 C,D,且 PC=PD. 求证:(1) l 是⊙O 的切线;(2) PB 平分∠ABD.

【答案】(1) 连接 OP,∵AC⊥l,BD⊥l,∴AC∥BD. 又 OA=OB,PC=PD,∴OP∥BP,从而 OP⊥l. ∵P 在⊙O 上,∴l 是⊙O 的切线.(6 分)

(2) 连接 AP,∵l 是⊙O 的切线, ∴∠BPD=∠BAP. 又∠BPD+∠PBD=90°,∠BAP+∠PBA=90°, ∴∠PBA=∠PBD,即 PB 平分∠ABD.(10 分) 【解析】 89. (本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图 AB 是 直径,AC 是 切线,BC 交 与点 E.

试卷第 41 页,总 42 页

(Ⅰ)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是

切线;

(Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小. 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) ?ACB ? 60? . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)连结 AE,可得,AE⊥BC,AC⊥AB, 在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC,得到∠DEC=∠DCE, 连结 OE,∠OBE=∠OEB, 根据∠ACB+∠ABC=90°得到∠DEC+∠OEB=90°, 即∠OED=90°得证. (Ⅱ)设 CE=1 , AE= x , 由已知得 AB= 2 3 , BE ? 12 ? x ,由射影定理可得,
2

AE 2 ? CE ?BE ,从而 x2 ? 12 ? x2 ,解得 x = 3
试题解析: (Ⅰ)连结 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB, 在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连结 OE,∠OBE=∠OEB, ∵∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°, ∴∠OED=90°,∴DE 是圆 O 的切线.

,得到∠ACB=60°.

(Ⅱ)设 CE=1 , AE= x , 由已知得 AB= 2 3 , BE ? 12 ? x ,由射影定理可得,
2 2 2 AE 2 ? CE ?BE ,从而 x ? 12 ? x ,解得 x = 3

,得到∠ACB=60°

考点:1.圆的性质;2.射影定理.

试卷第 42 页,总 42 页



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