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高二文科数学练习题(集合函数导数2012年高考题汇编)含答案


高二文科数学练习题(集合函数导数 2012 年高考题汇编)
1.设集合 A={x|1<x<4},集合 B ={x| x2 -2x-3≤0}, 则 A∩(CRB)= A .(1,4) 【答案】B 2.已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;,则 B 中所含元素 的个数为() B .(3

,4) C.(1,3) D .(1,2) ∪(3,4)

( A) 3 ( B ) 6
【答案】D

(C ) ?

( D ) ??

3.集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x2 ? 4} ,则 M ? N ? ( A. (1, 2) 【答案】C. B. [1, 2) C. (1, 2] D. [1, 2]



4.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2,4? ,则 CU A ? B 为 (A) ?1, 2, 4? 【答案】C 5. 已 知 全 集 U= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } , 集 合 A= { 0,1,3,5,8 } , 集 合 B= { 2,4,5,6,8 } ,则 (B) ?2,3,4? (C) ?0,2,4? (D) ?0,2,3,4?

(CU A) ? (CU B) 为
(A){5,8} 【答案】B 【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于容易题。采用解析二能够更快地得到 答案。 6.已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是 (A) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (B) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (C) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 (D) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 【答案】C (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,属于容易题。 7.若集合 A={-1,1} ,B={0,2} ,则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 【命题立意】本题考查集合的概念和表示。 8.已知集合 A={1.3. m },B={1,m} ,A ? B=A, 则 m= A 0或 3 B 0或3 C 1或 3 D 1或3

【答案】B 2 9.设集合 M={-1,0,1},N={x|x ≤x},则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出 N ? ?0,1 ? ,再利用交集定义 得出 M∩N. 10.【2012 高考真题湖南理 2】命题“若α =

? ,则 tanα ≠1 4 ? C. 若 tanα ≠1,则α ≠ 4
A.若α ≠

? ,则 tanα ≠1 4 ? D. 若 tanα ≠1,则α = 4
B. 若α =

? ,则 tanα =1”的逆否命题是 4

【答案】C 【点评】本题考查了“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问 题的能力. 11.设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m , 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( )

( A) 充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 ( D ) 即不充分不必要条件
【答案】A 【命题立意】本题借助线面位置关系考查条件的判断 12.已知集合 A={x∈R|3x+2>0} B={x∈R|(x+1)(x-3)>0} 则 A∩B= A (- ? ,-1)B (-1,-

2 2 ) C (- ,3)D (3,+ ? ) 3 3

【答案】D 13.下列命题中,真命题是

A. ?x0 ? R, e

x0

?0

B. ?x ? R,2 x ? x 2 C.a+b=0 的充要条件是

a =-1 b

D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 【答案】D. 14、下列函数中,不满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 的是( )

( A) f ( x) ? x ( B ) f ( x) ? x ? x (C ) f ( x) ? x ??
【解析】选 C 15、下列不等式一定成立的是( A. lg( x ?
2

( D ) f ( x) ? ? x

) B. sin x ?

1 ) ? lg x ( x ? 0) 4

1 ? 2( x ? k ? , k ? Z ) sin x

C. x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R)
2

D.

1 ? 1( x ? R ) x ?1
2

考点:不等式及基本不等式。 难度:中。 16、设函数 D ( x ) ? ?

?1, x为有理数 ?0, x为无理数

,则下列结论错误的是(



A. D ( x ) 的值域为 {0,1} C. D ( x ) 不是周期函数 考点:分段函数的解析式及其图像的作法。 难度:中。

B. D ( x ) 是偶函数 D. D ( x ) 不是单调函数

17、下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是(

)

? ( A) y ? ln( x ? 2) ( B ) y ? ? x ? 1 (C ) y ? ( ) x ? y ? x? ? x

(D)

【解析】 选 A y ? ln( x ? 2) 区间 (0, ??) 上为增函数, y ? ? x ? 1 区间 (0, ??) 上为减函数

? ? y ? ( ) x 区间 (0, ??) 上为减函数, y ? x ? 区间 (1, ??) 上为增函数 ? x

18、下列函数中,与函数 y=

3

1 定义域相同的函数为( x
C.y=xex D.



A.y=

1 sin x

B.y=

1nx x

sin x x

2.D 【解析】 本题考查常有关对数函数, 指数函数, 分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数 y ?

sin x 1 的 定 义 域 为 ? ??,0? ? ? 0, ??? , 而 答 案 中 只 有 y ? 的定义域为 3 x x

? ??,0? ? ? 0, ??? .故选 D.
? x 2 ? 1( x ? 1) 19、若函数 f ( x ) ? ? ,则 f ( f (10)) =( ) ?lg x( x ? 1)
A.lg101 B.b C.1 D.0 3.B 【解析】本题考查分段函数的求值 20、若 x ??0,+? ? ,则下列不等式恒成立的是 A. e ? 1+x+x
x 2

C. cos x ? 1-

1 2 x 2

1 1 1 ? 1- x + x 2 2 4 1+x 1 2 D. ln ?1+x ? ? x- x 8
B.
3 3 2

【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题,是难题. 【解析】 验证 A, 当 x=3时,e >2.7 =19.68>1+3+3 =13 , 故排除 A; 验证 B, 当 x = 时, ,

1 2

1 1+ 1 2

=

1 1 1 1 13 39 1521 1536 16 6 6 = < = ,而 1- ? + ? = = ,故排除 B; 2 2 4 4 16 48 48 48 48 3

1 2 x ,g' ? x ? =-sin x +x,g'' ? x ? =1- cos x ,显然 g'' ? x ? >0 恒成立 2 1 2 所以当 x ??0,+? ? ,g' ? x ? ? g' ? 0? =0 , 所以 x ??0,+? ? ,g ? x ? = cos x-1+ x 为增函数, 2
验证 C,令 g ? x ? = cos x-1+ 所以

g ? x ? ? g ? 0? =0 ,恒成立,故选 C;验证 D,令

1 1 x x ? x-3? h ? x ? = ln ?1+x ? -x+ x 2 ,h' ? x ? = -1+ = ,令 h' ? x ? <0 ,解得 0<x <3 ,所以当 8 x+1 4 4 ? x+1?
0<x <3 时, h ? x ? <h ? 0? =0 ,显然不恒成立,故选 C.
21、已知 x ? ln ? , y ? log5 2, z ? e A. x ? y ? z 答案 D 22、已知函数 y ? x ? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c ?
3
? 1 2

,则 C. z ? y ? x D. y ? z ? x

B. z ? x ? y

A. ? 2 或 2 答案 A 23、设 a>0

B. ? 9 或 3

C. ?1 或 1

D. ?3 或 1
3

a≠1 ,则“函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数 ” ,是“函数 g(x)=(2-a) x 在 R 上是

增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

3 解析:p: “函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数 ”等价于 0 ? a ? 1 ;q: “函数 g(x)=(2-a) x 在 R 上

是增函数”等价于 2 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 2, 且 a≠1,故 p 是 q 成立的充分不必要条件. 答 案选 A。 24、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) ,当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,当 -1≤x<3 时,f(x)=x。则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2012)= (A)335(B)338(C)1678(D)2012 解析: f (?3) ? ?1, f (?2) ? 0, f (?1) ? ?1, f (0) ? 0, f (1) ? 1, f (2) ? 2 ,而函数的周期为 6,

f (1) ? f (2) ? ? ? f (2012 ) ? 335(?1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ? 335? 3 ? 338.
答案应选 B 25、函数 y =

cos 6 x 的图象大致为 2 x -2 - x

y = cos 6 x 为偶函数,y =2 x -2- x 为奇函数, 所以 y =
时, 2 -2 = 值为正, y =
x -x

cos 6 x 为奇函数, 故可排除A, 又当 x >0 2 x -2- x

? 4 x -1 >0 恒成立,所以只需研究 y = cos 6 x 的值,当 0<x < 时, y = cos 6 x 的 x 12 2
cos 6 x 值也为正,故可排除B,而且已知 y = cos 6 x 的值不可能在某一个自变 2 x -2- x


量之后恒为正,故可排除C,故选D 26、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(
3 A. y ? x ? 1 B . y ? ? x C . y ?

1 x

D. y ? x | x |

【解析】选项中是奇函数的有 B、C、D,增函数有 D,故选 D 27、设函数 f ( x) ? xe ,则(
x

) B. x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点

A. x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点

C. x ? ?1 为 f ( x ) 的极大值点

D. x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点

[来源:学,科,网]

x ' x ' x 【解析】 f ( x) ? xe , f x ? e ?x ? 1? , e ? 0 恒成立,令 f x ? 0 ,则 x ? ?1

' ' 当 x ? ?1 时, f x ? 0 ,函数单调减,当 x ? ?1 时, f x ? 0 ,函数单调增,

则 x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点,故选 D 28、函数 y ? a ?
x

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是( a



[答案]C [解析]采用排除法. 函数 y ? a ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0) ,选项只有 C 符合,故选 C.
x

29、函数 f (x)=2 +x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是
x 3

(A)0 4.B

(B)1

(C)2

(D)3

30、设 a>0,b>0.

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

a b A.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a>b a b B.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a<b a b C.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a>b a b D.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a<b a b a b x 【 解 析 】 若 2 ? 2a ? 2 ? 3b , 必 有 2 ? 2a ? 2 ? 2b . 构 造 函 数 : f ? x ? ? 2 ? 2 x , 则

x f ? ? x ? ? 2x ? ln 2 ? 2 ? 0 恒成立, 故有函数 f ? x ? ? 2 ? 2 x 在 x>0 上单调递增, 即 a>b 成立. 其

余选项用同样方法排除. 【答案】A 31、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“ f ( x ) 为[0,1]上的增函数”是 “ f ( x ) 为[3,4]上的减函数”的

(A)既不充分也不必要的条件 (C)必要而不充分的条件 【解析】选 D

(B)充分而不必要的条件 (D)充要条件

由 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数,又 2 为周期, 所以【3,4】上的减函数 32、 设函数 f ( x ) 在 R 上可导, 其导函数为 f ?( x ) , 且函数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图像如题 (8) 图所示,则下列结论中一定成立的是 (A)函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) (D)函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 【解析】选 D

x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ? 1 ? x ? 2, f ?( x) ? 0 ? x ? 2 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ? ?2 ? x ? 1, f ?( x) ? 0 ? x ? ?2
得: f ?( x) ? 0 ? ?2 ? x ? 2, f ?( x) ? 0 ? x ? ?2 或 x ? 2 函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 33、设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取得极小值,则 函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是

【答案】C 【解析】 :由函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取得极小值可知 x ? ?2 , f ?( x) ? 0 ,则 xf ?( x) ? 0 ;

x ? ?2 , f ?( x) ? 0 则 ?2 ? x ? 0 时 xf ?( x) ? 0 , x ? 0 时 xf ?( x) ? 0

34、已知 f ( x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? abc, a ? b ? c ,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结 论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C. 考点:导数。 难度:难。 分析:本题考查的知识点为导数的计算,零点问题,要先分析出函数的性质,结合图形来 做。 解答: f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? abc, a ? b ? c ,
3 2

f ' ( x) ? 3x 2 ? 12x ? 9

? 3( x 2 ? 4 x ? 3) ? 3( x ? 1)( x ? 3)
导数和函数图像如下:

f ' ( x)

( a,0)

(b,0)

( c,0)

f ( x)

x ?1

x?3

由图 f (1) ? 1 ? 6 ? 9 ? abc ? 4 ? abc ? 0 ,

f (3) ? 27 ? 54 ? 27 ? abc ? ?abc ? 0 ,
且 f (0) ? ?abc ? f (3) ? 0 , 所以 f (0) f (1) ? 0, f (0) f (3) ? 0 。 35、若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则 A ? B ? 。 【答案】 ( ?

1 ,3) 2

36 、 已 知 集 合 A ? {x ? R | x ? 2 ? 3}, 集 合 B ? {x ? R | ( x ? m)(x ? 2) ? 0}, 且

A ? B ? (?1, n), 则 m =__________,n = __________.
【答案】 ? 1,1

37、已知函数 f ( x) ? e| x?a| ( a 为常数).若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,则 a 的取值范 围是. 【答案】 ?? ?,1?

38、已知函数 y = 围是. 14. (0,1) ? (1,4)

|x 2 ? 1| 的图象与函数 y =kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范 x ?1

39、 曲线 y ? x ? x ? 3 在点 (1,3) 处的切线方程为
3

【解析】切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 40、函数 f ( x ) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为 ▲ 【答案】 0, 6 ? ?。 41、已知 y ? f ( x) ? x 2 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ? . 【答案】 ? 1 .

?

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? 1] 上,f ( x ) ? ? bx ? 2 42、 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间 [?1, , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1

?1? ?3? b ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 ▲ . 其中 a , ?2? ?2?
【答案】 ?10 。 【考点】周期函数的性质。 【解析】∵ f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,∴ f ? ?1? ? f ?1? ,即 ?a ? 1=

b?2 ①。 2

1 ?3? ? 1? 又∵ f ? ? ? f ? ? ? = ? a ? 1 , 2 ?2? ? 2?
∴ ? a ? 1=

?1? ?3? f ? ?? f ? ?, ?2? ?2?

1 2

b?4 ②。 3

联立①②,解得, a =2. b = ? 4 。∴ a ? 3b = ? 10 。

?a 2 ? ab, a ? b 43、 对于实数 a , b , 定义运算 “? ” :a ? b ? ? 2 , 设 f ( x ) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) , ?b ? ab, a ? b
且关于 x 的方程为 f ( x ) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取 值范围是_____。 【(

1? 3 ,0) 】 16

44、已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。 (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值范围。 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以 及最值问题都是果本中要求的重点内容。 也是学生掌握比较好的知识点, 在题目占能够发现

F (?3) ? 28 和分析出区间 [k , 2] 包含极大值点 x1 ? ?3 ,比较重要。
解: ( 1 ) f ?( x) ? 2ax , g ?( x)=3x2 ? b . 因为曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点

?1,c ? 处具有公共切线,所以 f (1) ? g (1) , f ?(1) ? g ?(1) .即 a ? 1 ? 1 ? b 且 2a ? 3 ? b .解得
a ? 3, b ? 3

(2)记 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 当 a ? 3, b ? ?9 时, h( x) ? x ? 3x ? 9 x ? 1 , h?( x) ? 3x ? 6 x ? 9 令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ?3 , x2 ? 1 ;
3 2 2

h( x) 与 h?( x) 在 (??, 2] 上的情况如下: x ?3 (??, ?3) (?3,1) h( x ) h?( x)
+ 0 28 —

1 0 -4

(1,2) +

2 3

?

?

?

由此可知: 当 k ? ?3 时,函数 h( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值为 h(?3) ? 28 ; 当 ?3 ? k ? 2 时,函数 h( x) 在区间 [ k , 2] 上的最大值小于 28. 因此, k 的取值范围是 (??, ?3]

45、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16 (1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值. 【解析】 (Ⅰ)因 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax 2 ? b 得极值 故有 ? 由于 f ( x) 在点 x ? 2 处取

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x3 ?12 x ? c , f ?( x) ? 3x 2 ?12 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??, ?2) 上为增 函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2, ??) 上为增函数。 由此可知 f ( x) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x) 在 x2 ? 2 处取得极小值

f (2) ? c ?16 f (? 3 ?)













16 ? c ? 28



c ? 12





c?9

? f 2

1

,? c? (2) ( ? 3c ?? )16 ? ? ?4 9因此 f ( x3 ) 上 [?3,3] 的最小值 , f

为 f (2) ? ?4

46、设函数 f ( x) = axn (1 - x) + b( x > 0) ,n 为正整数,a,b 为常数,曲线 y=f(x)在(1,f(1)) 处的切线方程为 x+y=1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的最大值 (3)证明:f(x)<

1 . ne

解: (Ⅰ)因为 f (1) ? b ,由点 (1, b) 在 x ? y ? 1 上,可得 1 ? b ? 1 ,即 b ? 0 . 因为 f ? ( x) ? anxn?1 ? a(n ? 1) xn ,所以 f ?(1) ? ? a . 又因为切线 x ? y ? 1 的斜率为 ?1 ,所以 ? a ? ?1 ,即 a ? 1 . 故 a ? 1 , b ? 0 .
n n n ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x (1 ? x) ? x ? x , f ?( x) ? (n ? 1) xn?1 (

n ? x) . n ?1

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 在 (0, 而在 (

n n ,即 f ?( x) 在 (0, ??) 上有唯一零点 x0 ? . n ?1 n ?1

n ) 上, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 单调递增; n ?1 n , ??) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. n ?1
n n n n nn )?( ) (1 ? )? . n ?1 n ?1 n ? 1 (n ? 1) n ?1

故 f ( x) 在 (0, ??) 上的最大值为 f ( (Ⅲ)令 ? (t ) ? ln t ? 1+

1 1 1 t ?1 (t ? 0) ,则 ? ?(t ) ? ? 2 = 2 (t ? 0) . t t t t

在 (0, 1) 上, ? ?(t ) ? 0 ,故 ? (t ) 单调递减; 而在 (1, ? ?) 上 ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 单调递增. 故 ? (t ) 在 (0, ??) 上的最小值为 ? (1) ? 0 .所以 ? (t ) ? 0 (t ? 1) ,

1 即 ln t ? 1 ? (t ? 1) . t
令 t ?1? 所以 (

1 n ?1 1 n ? 1 n?1 ? ) ? ln e , ,得 ln ,即 ln( n n n ?1 n

nn 1 n ? 1 n?1 ? ) ? e ,即 . n ?1 (n ? 1) ne n nn 1 ? ,故所证不等式成立. n ?1 (n ? 1) ne

由(Ⅱ)知, f ( x) ?


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