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1.3.1单调性与最大(小)值(2)


一、复习回顾

1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果 对于定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量x1,x2, 当x1<x2时,都有 当x1<x2时,都 ,f(x1)<f(x2) ,那么 有 f(x1)>f(x2) 就说函数f(x)在区间 ,那么就说函 D上是增函数 数f(x)在区间D 上是减函数

一、复习回顾

2.单调性、单调区间的定义
若函数f (x)在区间D上是 增函数 或 减函数 做函数f (x)的单调区间 ,则称

函数f (x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 区间D 叫

思考:函数的定义域I与单调区间D有何关系? 单调区间D是定义域I的子区间
3、定义法证明函数单调性的步骤

取值

作差变形

定号

下结论

二、例题分析

x 例1、试判断函数f ( x ) ? 2 , x ? ( ?1,1)的单调性,并证明 x ?1

三、问题探究

试确定几种常见函数的单调区间

(1) y ? ax ? b(a ? 0)
a ? 0时,单调递增区间为(??, ??) a ? 0时,单调递减区间为(??, ??) k ? 0时,单调递减区间为(??,0), (0, ??) k ? 0时,单调递增区间为(??,0), (0, ??)
b b a ? 0时,递增区间为( ? , ??), 递减区间为(-?, ? ) 2a 2a b b a ? 0时,递减区间为( ? , ??), 递增区间为(-?, ? ) 2a 2a

k (2) y ? ( k ? 0) x
2

(3) y ? ax ? bx ? c(a ? 0)

二、例题分析

例2、要使 y ? x 2 ? 2ax ? 1在 ?1, 2? 上不是单调函数, 则实数a的取值范围是 ? A、a ? 2 C、a ? 1或a ? 2

D

?

B、a ? 1 D、 1? a ? 2

二、例题分析
例 3、画出函数 y=-x2+2|x|+1 的图象并写出函数 的单调区间.

[分析]

2 ? - x +2x+1, ? y=? 2 ? - x -2x+1, ?

x≥0, x<0,



2 ? ?-?x-1? +2, y= ? 2 ? - ? x + 1 ? + 2, ?

x≥0, x<0.

函数图象如图所示,单调增区间为 (-∞,-1],[0,1], 单调减区间为[-1,0],[1,+∞).

四、课堂练习

1.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数 的是( C ) A.y=2x+1 2 C.y=x B.y=3x2+1 D.y=|x|

四、课堂练习

2.函数y=x2+2x-3(x>0)的单调增区间是( A ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-3]

b 3.若函数 y=ax 与 y=-x在(0,+∞)上都是减函数, 则 y=ax2+bx 在(0,+∞)上是( B ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增

四、课堂练习

4、已知函数f ? x ? ? x -4 x ? 5,则f ( x )的单调递增
2

区间为



(?2,0)和(2, ??)



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