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江苏省2013年高考南通学科基地数学秘卷 模拟试卷7


2013 年江苏高考数学模拟试卷(七)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 设集合 U=N,集合 M={x|x -3x≥0},则?UM=
2



2. 某单位有职工 500 人,其中青年职工 150 人,中年职工 250 人,老年职工 100 人,为了 了解该单位职工的健康情况, 用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 6 人,则样本容量为 3. 已知 i 为虚数单位,
a ? 4i 2? i

.
? 2i

,则实数 a =


? ? 3x

4. 在平面直角坐标系 x o y 中,角 ? 的始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 y
x ? 0
cos ?

上,且

,则 =
f (x) ?


1 ? lo g 2 x

5. 已知函数

,则函数 y

? f ( x ? 1)

的定义域为

.
3)

6. 从集合 {1, 2 , 3, 4 , 5} 中随机选取一个数记为 a ,则使命题: “存在 x ? ( ? 3, 等式 x 2 7.
? ax ? 2 ? 0

使关于 x 的不

有解”为真命题的概率是
? ? ,且 a ? b

. 的

? ? 已知向量 a ? ( x , 1), b ? ( 2 , y ? z )

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? .若 x、 y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , 则 z ? x ? 2, ?

取值范围是 8. 已知双曲线
y
2


x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的一条渐近线方程 y .
? 1 2 , k ?

?

3x

,它的一个焦点在抛物线

? 24 x

的准线上,则双曲线的方程为 ,函数
f (x)

9. 设函数 值是

f ( x ) ? 4 s in ( ? x ) ? x

在区间 [ k

1 2

]( k ? Z )

上存在零点,则 k 最小

.
? ?1

10. 数列 ? a n ? 的各项都是整数,满足 a 3

,a 7

? 4

,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起 .

依次成等比数列,则数列 ? a n ? 前 10 项的和是 11. 若函数
f ( x ) ? ta n x ? 4? 3

在点 P (

?
3

,

3 ?

4? 3

)

处的切线为 l ,直线 l 分别交 x 轴、 y 轴于 .

点 A、 B , O 为坐标原点,则 ? A O B 的面积为 12. 如果圆 ( x
a

? 2 a ) ? ( y ? a ? 3) ? 4
2 2

上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数

1

的取值范围是


?

13. 如右图放置的腰长为 2 的等腰三角形 A B C 薄片, ? A C B 顶点 A ( x , y ) 的轨迹方程为 y 围成的封闭图形的面积为
? f (x)

?
2

,沿 x 轴滚动,设

,则 .

f (x)

其相邻两个零点间的图像与 x 轴

14. 定义区间 ( c , d ], [ c , d ), ( c , d ), [ c , d ] 的长度均为 d
1 a1 x ? 1 ? 1 a2 x ? 1 ? 1, ( a1 ? 0 , a 2 ? 0 )

?c

,其中 d

? c

.则满足不等式 .

的 x 构成的区间长度之和为

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 如图, 四边形 A B C D 为正方形, 平面 A B C D
F
?

平面 A B E ,B E
D

? BC


C

为 C E 的中点,且 A E
// ? AC

? BE



(1)求证: A E (2)求证: B F

平面 B F D ; .

F A B

E

16.(本小题满分 14 分)已知锐角 ? A B C 中的三个内角分别为 A、 B 、 C . (1)设 B C
???? ??? ? ??? ??? ? ? ? CA ? CA ? AB
?

,?A =
3

5? 12

,求 ? A B C 中 ? B 的大小;
2 cos
2

(2)设向量 s
sin (

? 2 sinC , ?

?

? , t ? (c o s 2 C ,

?

C 2

? 1)

,且 s ∥ t ,若 s in

?

?

A ?

2 3

,求

?
3

? B ) 的值.

2

17.(本小题满分 14 分)如图,现有一个以 ? A O B 为圆心角、湖岸 O A 与 O B 为半径的扇形 湖面 A O B .现欲在弧 A B 上取不同于 A、 B 的点 C , 用 渔网沿着弧 A C (弧 A C 在扇形 A O B 的弧 A B 上)、半 径 O C 和线段 C D (其 中 C D // O A ),在该扇形湖面内隔出两个养殖区域— —养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若OA
? 1 km , ? A O B ?

?
3

, ?AOC ? ?

.

(1) 用 ? 表示 C D 的长度; (2) 求所需渔网长度(即图中弧 A C 、半径 O C 和线段 C D 长度之和)的取值范围.

3

18. (本小题满分 16 分)已知 a , b 为实数, a
f (1) ? e ? 1, f ( 2 ) ? e 2 ? ln 2 ? 1 .

? 2

,函数

f ( x ) ? | ln x ?

a x

| ?b

,若

(1)求实数 a , b ; (2)求函数
f (x)

在 [1,

e ] 上的取值范围;
2

(3)若实数 c、 d 满足 c

? d , cd ? 1

,求

f (c ) ? f (d )

的最小值.

4

、 19.(本小题满分 16 分)已知圆 C 1 : x 2 圆 C 2 的内接菱形. (1) 若点 P ( ?
6 2 , 3 2 )

? y

2

? 1 ,椭圆 C 2 :

x

2

?

2y 3

2

? 1 ,四边形 P Q R S

为椭

3

,试探求点 S (在第一象限的内)的坐标;

(2) 若点 P 为椭圆上任意一点, 试探讨菱形 P Q R S 与 圆 C 1 的位置关系.

P

y

S
O x

Q

R

5

20.(本小题满分 16 分)已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 恒为正值,其中 a 1 且
( a n ?1 ? a n ) S n ? a n ?1 a n

? 1, a 2 ? a ? 1( a ? 1)





(1)求证:数列 { S n } 是等比数列; (2)若 a n 与 a n ? 2 的等差中项为 A ,试比较 A 与 a n ? 1 的大小; (3)若 a
? 2

, m 是给定的正整数.先按如下方法构造项数为 2 m 的数列 { b n } :当 时, b n
? b 2 m ? n ? 1 ;当 n ? m ? 1, m ? 2, ?,2 m

n ? 1, 2 ,? ,m
n

时, b n

? a n a n ?1

,求数列的前

项的和 T n .

6

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答 .............. 题区域内作答. ...... A. (选修4-1:几何证明选讲)从⊙O 外一点 P 向圆引两条切线 P A、 P B 和割线 P C D .从 点 A 作弦 A E 平行于 C D ,连结 B E 交 C D 于 F .求证: B E 平分 C D .

B. (选修4-2:矩阵与变换)设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸 长到 3 倍的伸压变换. 求逆矩阵 M 方程.
?1

以及椭圆

x

2

?

y

2

?1

在M

?1

的作用下的新曲线的

4

9

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线 C 的极坐标方程是 ?

? 4 c o s (? ?

?
3

)

.以极

点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数
?

方程是: ? ?

x ?

2 2 2 2

t ? 3, (t 为 参 数 ) t ? 3,

? ? y ? ? ?

,求直线 l 与曲线 C 相交弦的弦长.

7

D. (选修4-5:不等式选讲)设 x、 y 均为正实数,且

1 2? x

?

1 2? y

?

1 3

,求 xy 的最小值.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C.已知小球从每个叉口落入 左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落 到 A、 B 、 C ,则分别设为1、 2 、3 等奖. (1) 已 知 获得 1,
2, 3

等 奖 的 折 扣率 分 别 为 5 0 % ,

70% , 90%

. 记 随 机变 量 ? 为 获 得

k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求随机变量 ? 的分布列及期望 E ( ? ) ;
(2)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机变量 ? 为获得 1 等奖或 2 等 奖的人次,求 P (?
? 2)



23.已知集合 A

? { x | x ? a ?| a ? 1 | x, a ? R}
2

.

(1)求 A ; (2)若以 a 为首项, a 为公比的等比数列前 n 项和记为 S n ,对于任意的 n ?
Sn ? A N?

,均有

,求 a 的取值范围.
8

9



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