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四川省成都石室中学2013届高三下学期“三诊”模拟考试数学理试题(含解析)新人教A版


2013 年四川省成都市石室中学高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请 将你认为正确的选项答在指定的位置上. ) 1. 分)已知集合 M={x|x ﹣1≤0},N={x| (5
2

,x∈Z},则 M∩N=(


>
A.{﹣1,0,1} B.{﹣1,0} C.[﹣1,1) D.[﹣1,0] 考点: 指数函数单调性的应用;交集及其运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 解二次不等式求出集合 M,解指数不等式式求出集合 N,根据集合交集的定义,可求出答案. 2 解答: 解:∵集合 M={x|x ﹣1≤0}={x|﹣1≤0≤1} N={x| ,x∈Z}={x|2 <2 <2 ,x∈Z}={x|﹣1<x+1<2,x∈Z}={﹣1,0}
﹣1 x+1 2

故 M∩N={﹣1,0} 故选 B 点评: 本题考查的知识点是指数函数单调性,交集运算,二次不等式的解法,其中解不等式求出集合 M,N 是解答的关键.

2. 分) (5 (2012?肇庆二模)设 z=1﹣i(i 是虚数单位) ,则 A.2﹣2i B.2+2i C.3﹣i

=(

) D.3+i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 将 分子与分母同乘以分母的共轭复数 ,将分母实数化再与 进行运算即可. 解答: 解:∵z=1﹣i, ∴ + = + = +(1+i)=(1+i)+(1+i)=2(1+i) .

故选 B. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,着重考查复数的混合运算,属于基础题. 3. 分) (5 (2006?浙江)若多项式 x +x =a0+a1(x+1)+?+a9(x+1) +a10(x+1) ,则 a9=( A.9 B.10 C.﹣9 D.﹣10 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 9 分析: 先凑成二项式,再利用二项展开式的通项公式求出(x+1) 的系数. 3 10 3 10 解答: 解: +x =x +[(x+1)﹣1] , :x 10 10 9 题中 a9(x+1) 只是[(x+1)﹣1] 展开式中(x+1) 的系数 1 1 故 a9=C10 (﹣1) =﹣10 点评: 本题考查二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质. 4. 分) (5 (2011?安徽模拟)一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何 体的体积为( )
3 10 9 10



1

A.

B.(4+π )

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 几何体是一个组合体,是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体,圆柱的底面直径和母线长都是 2,四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形,做出圆锥的高,根据圆锥和圆柱的体积公式得到结果. 解答: 解:由三视图知,几何体是一个组合体, 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体, 圆柱的底面直径和母线长都是 2, 四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形, 四棱锥的高与圆锥的高相同,高是 ∴几何体的体积是 = , = ,

故选 D. 点评: 本题考查由三视图求组合体的体积,考查由三视图还原直观图,本题的三视图比较特殊,不容易看 出直观图,需要仔细观察.

5. 分)设 x>0,y>0,且 + (5 A.﹣4 B.﹣3

=4,z=2log4x+log2y,则 z 的最小值是( C.﹣log26

) D. 2log2

考点: 基本不等式;对数的运算性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由 4= + ≥2 =2 ,利用基本不等式即可求解 xy 的最小值,又 z=2log4x+log2y=log2x+log2y=log2xy,从而得出 z 的最小值. 解答: 解:∵x>0,y>0,且 + ∴4= + ∴ ≥2 ≤2, =2 =4, ,

∴xy≥ ,当且仅当 x=2y 时取等号.

2

∴z=2log4x+log2y=log2x+log2y=log2xy≥log2 =﹣3, 则 z 的最小值是﹣3. 故选 B. 点评: 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用,解题的关系是对数的运算性质进行化简.属于基 础题.

6. 分) (5 (2008?安徽)若 A 为不等式组

表示的平面区域,则当 a 从﹣2 连续变化到 1 时,动直

线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( A. B.1

) C. D.2

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 本题主要考查线性规划的基本知识, 先画出约束条件 的可行域, 再分析当 a 从﹣2 连续变

化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的形状,然后代入相应的公式,求出区域的面积. 解答: 解析:作出可行域,如图, 则直线扫过的面积为

故选 C.

点评: 平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然 后结合有关面积公式求解. 7. 分)函数 y=sin(π x+φ ) >0)的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高点,A,B 是图象与 x (5 (φ 轴的交点,记∠APB=θ ,则 sin2θ 的值是( )

3

A.

B.

C.

D.

考点: 两角和与差的正切函数;由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 分析: 由解析式求出函数的周期与最值,做出辅助线过 p 作 PD⊥x 轴于 D,根据周期的大小看出直角三角 形中直角边的长度,解出∠APD 与∠BPD 的正弦和余弦,利用两角和与差公式求出 sinθ ,进而求得 sin2θ . 解答: 解:函数 y=sin(π x+φ ) ∴T= =2,

过 p 作 PD⊥x 轴于 D,则 AD 是四分之一个周期,有 AD= ,DB= ,DP=1,AP= 在直角三角形中有 sin∠APD= ∴sinθ =sin(∠APD+∠BPD)= cosθ = ∴sin2θ =2sinθ cosθ =2× = ,cos∠APD= ;cos∠BPD= = ,sin∠BPD=

故选:A. 点评: 本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用,本题解题的关键是看出函数的周 期,把要求正弦的角放到直角三角形中,利用三角函数的定义得到结果,本题是一个中档题目. 8. 分)下列命题中: (5 2 2 ①“x>|y|”是“x >y ”的充要条件; 2 ②若“? x∈R,x +2ax+1<0”,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ; ③已知平面 α ,β ,γ ,直线 m,l,若 α ⊥γ ,γ ∩α =m,γ ∩β =l,l⊥m,则 l⊥α ; ④函数 f(x)=( ) ﹣ 其中正确的个数是( A.1
x

的所有零点存在区间是( , ) . ) B.2

C.3

D.4

考点: 命题的真假判断与应用. 分析: ①利用充分条件与必要条件的关系判断.②根据特称命题成立的等价条件去求值.③由线面垂直的 判定定理可判断.④利用根的存在定理可判断. 2 2 2 2 解答: 解:①由 x>|y|,可知 x>0 所以有 x >y ,当 x<y<0 时,满足 x >y ,但 x>|y|不成立,所以① 错误. 2 2 ②要使“? x∈R,x +2ax+1<0”成立,则有对应方程的判别式△>0,即 4a ﹣4>0,解得 a>1 或 a <﹣1,所以②正确.
4

③因为 γ ∩α =m,γ ∩β =l,所以 l? γ ,又 l⊥m,所以根据面面垂直的性质定理知 l⊥α ,所以 ③正确. ④因为 ,

,且函数连续, 所以根据根的存在定理可知在区间( , )上,函数 f(x)存在零点,所以④正确. 所以正确的是②③④,共有三个. 故选 C. 点评: 本题考查命题的真假判断.正确推理是解题的关键.要求各相关知识必须熟练. 9. 分) (5 (2010?黑龙江模拟)某教师一天上 3 个班级的课,每班开 1 节,如果一天共 9 节课,上午 5 节、 下午 4 节,并且教师不能连上 3 节课(第 5 节和第 6 节不算连上) ,那么这位教师一天的课表的所有排法有 ( ) A.474 种 B.77 种 C.462 种 D.79 种 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,使用间接法,首先求得不受限制时,从 9 节课中任意安排 3 节排法数目,再求出其中上 午连排 3 节和下午连排 3 节的排法数目,进而计算可得答案. 解答: 解:使用间接法, 3 首先求得不受限制时,从 9 节课中任意安排 3 节,有 A9 =504 种排法, 3 其中上午连排 3 节的有 3A3 =18 种, 3 下午连排 3 节的有 2A3 =12 种, 则这位教师一天的课表的所有排法有 504﹣18﹣12=474 种, 故选 A. 点评: 本题考查排列的应用,注意分析事件之间的关系,使用间接法求解. 10. 分)已知函数 f(x)=|xe |,方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,则 t 的取值范围 (5 为( ) A. B. C. D. ( ,+∞) (﹣∞, ) (﹣ ,﹣2) (2, )
x 2

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. x 分析: 函数 f(x)=|xe |化成分段函数,通过求导分析得到函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,在(﹣ ∞,﹣1)上为增函数,在(﹣1,0)上为减函数,求得函数 f(x)在(﹣∞,0)上,当 x=﹣1 时 有一个最大值 ,所以,要使方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,f(x)的值一个 ,+∞)内,然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解 t
2

要在(0, )内,一个在( 的取值范围.

5

解答: 解:f(x)=|xe |=
′ x x x



当 x≥0 时,f (x)=e +xe ≥0 恒成立,所以 f(x)在[0,+∞)上为增函数; ′ x x x 当 x<0 时,f (x)=﹣e ﹣xe =﹣e (x+1) , ′ ′ x 由 f (x)=0,得 x=﹣1,当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f (x)=﹣e (x+1)>0,f(x)为增函数, ′ x 当 x∈(﹣1,0)时,f (x)=﹣e (x+1)<0,f(x)为减函数, 所以函数 f(x)=|xe |在(﹣∞,0)上有一个最大值为 f(﹣1)=﹣(﹣1)e = , 要使方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根, 令 f(x)=m,则方程 m +tm+1=0 应有两个不等根,且一个根在(0, )内,一个根在( 内, 2 再令 g(m)=m +tm+1,因为 g(0)=1>0, 则只需 g( 解得:t<﹣ )<0,即( .
x 2 2 2 x ﹣1

,+∞)

) + t+1<0,

2

所以,使得函数 f(x)=|xe |,方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根的 t 的取值范围是 (﹣∞,﹣ ) .

故选 B. 点评: 本题考查了根的存在性及根的个数的判断,考查了利用函数的导函数分析函数的单调性,考查了学 2 生分析问题和解决问题的能力,解答此题的关键是分析出方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个 实数根时 f(x)的取值情况,此题属于中高档题. 二、填空题(本题共 5 道小题,每题 5 分,共 25 分;将答案直接答在答题卷上指定的位置) 11. 分)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取 (5 到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于 .

考点: 条件概率与独立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件 A 的概率,同样利用古典概型概率计算公式 求出事件 AB 的概率,然后直接利用条件概率公式求解. 解答: 解:P(A)= ,P(AB)= .

由条件概率公式得 P(B|A)=



故答案为 . 点评: 本题考查了条件概率与互斥事件的概率,考查了古典概型及其概率计算公式,解答的关键在于对条 件概率的理解与公式的运用,属中档题.
6

12. 分)如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出 (5 的 y 值相等,则这样的 x 值有 3 个.

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 由已知的程序框图,我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数 y= 的值,结

合输入的 x 值与输出的 y 值相等,我们分类讨论后,即可得到结论. 解答: 解:由题意得该程序的功能是:

计算并输出分段函数 y=

的值,

又∵输入的 x 值与输出的 y 值相等, 2 当 x≤2 时,x=x ,解得 x=0,或 x=1, 当 2<x≤5 时,x=2x﹣4,解得 x=4, 当 x>5 时,x= ,解得 x=±1(舍去) , 故满足条件的 x 值共有 3 个. 故答案为:3. 点评: 本题考查的知识点是选择结构,其中分析出函数的功能,将问题转化为分段函数函数值问题,是解 答本题的关键.

13. 分) (5 已知在平面直角坐标系中,(﹣2, ,(1, , 为原点, A 0) B 3) O 且 α ,β 均为实数) ,若 N(1,0) ,则 的最小值是 .

, (其中 α +β =1,

考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 分析: 根据 可化简为 解答: 解:∵ =

,找到



,即 A,B,M 共线.可解决问题.

(其中 α +β =1,α ,β 均为实数) = = +
7

∴ ∴ ∥

∴A,B,M 共线, ∴MN 的最小值为 N 到直线 AB 的距离 故答案为: 点评: 本题主要考查向量的线性运算和几何意义.对于向量的线性运算要求一定要会画出图象. .

14. 分)已知双曲线 C: (5

(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 且斜率为

的直线交 C 于 A、

B 两点,若

,则双曲线 C 的离心率为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设直线 AB 的方程为 y= (x﹣c) ,与双曲线方程消去 x 并化简得(

﹣a )y +

2

2

b cy+b =0.设

2

4

A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用根与系数的关系得到 y1+y2=

,y1y2=

.由于



得到 y1=﹣4y2 代入上式消去 y2 得关于 a、b、c 的等式,结合 b =c ﹣a 解之得 c= 的离心率公式即可算出题中双曲线 C 的离心率. 解答: 解:∵直线 AB 过点 F(c,0) ,且斜率为 ∴直线 AB 的方程为 y= (x﹣c) 与双曲线 消去 x,得( ﹣a )y +
2 2

2

2

2

,再结合双曲线

b cy+b =0

2

4

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∴y1+y2= ,y1y2=



,可得 y1=﹣4y2 ,﹣4y2 =
2

∴代入上式得﹣3y2=

消去 y2 并化简整理,得 将 b =c ﹣a 代入化简,得
2 2 2

,解之得 c=

8

因此,该双曲线的离心率 e= 故答案为:

点评: 本题给出双曲线的斜率为 的焦点弦被焦点分成 1:4 的两部分,求双曲线的离心率.着重考查了 双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识,属于中档题. 15. 分)设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M(M? D) (5 ,有 x+t∈D,且 f (x+t)≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的 t 高调函数.如果定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数,当 x≥0 时, 2 2 f(x)=|x﹣a |﹣a ,且 f(x)为 R 上的 4 高调函数,那么实数 a 的取值范围是 ﹣1≤a≤1 . 考点: 函数单调性的性质. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 根据分段函数的意义,对 f(x)的解析式分段讨论,可得其分段的解析式,结合其奇偶性,可得其 函数的图象;进而根据题意中高调函数的定义,可得若 f(x)为 R 上的 4 高调函数,则对任意 x, 2 有 f(x+4)≥f(x) ,结合图象分析可得 4≥4a ;解可得答案. 2 2 解答: 解:根据题意,当 x≥0 时,f(x)=|x﹣a |﹣a , 2 2 则当 x≥a 时,f(x)=x﹣2a , 2 0≤x≤a 时,f(x)=﹣x, 2 2 由奇函数对称性,有则当 x≤﹣a 时,f(x)=x+2a , 2 ﹣a ≤x≤0 时,f(x)=﹣x, 2 2 图象如图:易得其图象与 x 轴交点为 M(﹣2a ,0) ,N(2a ,0) 2 2 因此 f(x)在[﹣a ,a ]是减函数,其余区间是增函数. f(x)为 R 上的 4 高调函数,则对任意 x,有 f(x+4)≥f(x) , 2 2 故当﹣2a ≤x≤0 时,f(x)≥0,为保证 f(x+4)≥f(x) ,必有 f(x+4)≥0;即 x+4≥2a ; 2 2 2 有﹣2a ≤x≤0 且 x+4≥2a 可得 4≥4a ; 解可得:﹣1≤a≤1; 故答案为﹣1≤a≤1.

9

点评: 考查学生的阅读能力,很应用知识分析解决问题的能力,考查数形结合的能力,用图解决问题的能 力,属中档题. 三、解答题(本大题共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) : 16. (12 分) (2011?福建模拟)已知向量 函数 . ,

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期 T; (Ⅱ)已知 a、b、c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边,其中 A 为锐角, A,b 和△ABC 的面积 S. ,且 f(A)=1,求

考点: 解三角形;平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题. 分析: (I)利用向量数量积的坐标表示可得,结合辅助角公式可得,f(x)=sin(2x﹣ 式 (II)由 ,
2

) ,利用周期公

可求 结合 ,由余弦定理可得,a =b +c ﹣2bccosA,从而有
2 2 2

可得 ,即

b ﹣4b+4=0,解方程可得 b,代入三角形面积公式可求. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) = 因为 ω =2,所以 (Ⅱ) 因为 ,所以 , (8 分) = (6 分) = = (4 分) (2 分)

10

则 a =b +c ﹣2bccosA,所以 则 b=2(10 分) 从而

2

2

2

,即 b ﹣4b+4=0

2

(12 分)

点评: 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示,辅助角公式的应用,三角函数的周期公式的应用,由三 角函数值求角,及三角形的面积公式.综合的知识比较多,但试题的难度不大, 17. (12 分)如图,AB 为圆 O 的直径,点 E、F 在圆 O 上,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂 直,且 AB=2,AD=EF=1. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 CBF; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣OEF 的体积; (Ⅲ)求二面角的 E﹣BC﹣F 大小.

考点: 二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)由面面垂直的性质定理,证出 CB⊥平面 ABEF,从而 AF⊥CB.由直径所对的圆周角是直角,得 到 AF⊥BF,结合线面垂直判定定理,可证出 AF⊥平面 CBF; (II)由(I)的结论,可知三棱锥 C﹣OEF 的高是 CB,且 CB=AD=1.再证出△OEF 为正三角形,算 出△OEF 的面积并结合锥体体积公式,即可算出三棱锥 C﹣OEF 的体积; (III)由 CB⊥平面 ABEF 结合二面角平面角的定义,证出∠EBF 就是二面角 E﹣BC﹣F 的平面角.再 由同弧所对的圆周角与圆心角的关系算出∠EBF= ∠E0F=30°,由此可得二面角的 E﹣BC﹣F 大小等 于 30°. 解答: 解: (Ⅰ)∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,CB⊥AB,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, ∴CB⊥平面 ABEF, ∵AF? 平面 ABEF,∴AF⊥CB,?(3 分) 又∵AB 为圆 O 的直径,∴AF⊥BF, ∵CB∩BF=B,∴AF⊥平面 CBF.?(6 分) (Ⅱ)由(I)知 CB⊥平面 ABEF,即 CB⊥OEF, ∴三棱锥 C﹣OEF 的高是 CB,可得 CB=AD=1,?(8 分) 连结 0E、0F,可知 0E=0F=EF=1 ∴△OEF 为正三角形,∴正△OEF 的高等于 ∴VC﹣OEF= S△0EF×CB= ×( × ×1)×1= ,?(10 分) ,?(10 分)

( III)∵CB⊥平面 ABEF,BE? 平面 ABEF,BF? 平面 ABEF ∴CB⊥BE 且 CB⊥BF,可得∠EBF 就是二面角 E﹣BC﹣F 的平面角
11

∵圆 O 中,∠EBF 是圆周角,∠E0F 是圆心角,且两个角对同弧 ∴∠EBF= ∠E0F=30° 因此,二面角的 E﹣BC﹣F 大小等于 30°

点评: 本题给出特殊的多面体,求证证线面垂直并求锥体的体积和二面角的大小.着重考查了面面垂直的 性质定理、圆的有关性质、二面角平面角的定义与求法等知识,属于中档题. 18. (12 分)小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对, 可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分 别为 1000 元,3000 元,6000 元的奖品(不重复得奖) ,小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为 , , ,且每个问题回答正确与否相互独立. (1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用 X 表示小王所获得奖品的价值,写出 X 的概率分布列,并求 X 的数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为 , , ,且每个问题回答正确与否相互独 立,即可求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)确定 X 的取值,求出相应的概率,即可得到 X 的概率分布列与 X 的数学期望. 解答: 解: (1)小王过第一关但未过第二关的概率 P1,则 P1= (2)x 的取值为 0,1000,3000,6000,则 P(X=0)= P(X=3000)= P(X=6000)= ∴X 的概率分布列为 X 0 P = = ;P(X=1000)= = ; = ; = ;

1000

3000

6000

∴EX=0×

+1000×

+3000×

+6000×

=2160.

点评: 本题考查概率的计算,考查离散型随机变量的分布列与数学期望,考查学生的计算能力,属于中档
12

题. 19. (12 分)各项均为正数的数列{an}前 n 项和为 Sn,且 4Sn= +2an+1,n∈N+.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)已知公比为 q(q∈N+)的等比数列{bn}满足 b1=a1,且存在 m∈N+满足 bm=am,bm+1=am+3,求数列{bn}的通 项公式. 考点: 数列递推式;等比数列的通项公式;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用数列递推式,再写一式,两式相减,结合数列{an}各项均为正数,可得数列{an}为首项为 1,公差为 2 的等差数列,从而可求数列{an}的通项公式; (2)利用 bm=am,bm+1=am+3,求出公比,即可求得数列{bn}的通项公式. 解答: 解: (1)∵4S = +2a +1,∴4S = +2a +1,
n n n+1 n+1

两式相减得:4an+1=



+2an+1﹣2an,?(2 分)

即(an+1+an) n+1﹣an﹣2)=0 (a ∵数列{an}各项均为正数 ∴an+1﹣an=2,?(4 分) ∴数列{an}为首项为 1,公差为 2 的等差数列, 故 an=2n﹣1?(6 分) (2) ,依题意得 ,相除得 =1+ ∈N+,?(8 分)

∴2m﹣1=1 或 2m﹣1=3,代入上式得 q=3 或 q=7,?(10 分) ∴ 或 .?(12 分)

点评: 本题考查数列递推式,考查数列的通项,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

20. (13 分)已知椭圆 C:

(a>b>0)的长轴长是短轴长的两倍,焦距为



(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 M、N,且直线 OM、MN、ON 的斜率依次成等比数列,求△OMN 面积的取值范围. 考 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 点: 专 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 题: 分 2 2 2 (1)由题意可得 2a=2×2b, ,再由 c =a ﹣b 可解得 a,b; 析: (2)设直线 l 的方程为:y=kx+m(k≠0,m≠0) ,代入椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程,设 M(x1,y1) 、

13

N(x2,y2) ,由直线 OM、MN、ON 的斜率依次成等比数列,得

,变形后代入韦达定理可求出

k 值,由△>0 得 m 的范围,利用三角形面积公式表示出面积,根据 m 的范围可得答案; 解 答: 解析: (1)由已知得 解得 ,

所以椭圆 C 的方程:



(2)由题意可设直线 l 的方程为:y=kx+m(k≠0,m≠0) ,

联立

消去 y 并整理,得: (1+4k )x +8kmx+4(m ﹣1)=0,

2

2

2

则△=64k m ﹣16(1+4k ) ﹣1)=16(4k ﹣m +1)>0, (m 此时设 M(x1,y1) 、N(x2,y2) ,则 , ,

2 2

2

2

2

2

于是 y1y2=(kx1+m) 2+m)= (kx 又直线 OM、MN、ON 的斜率依次成等比数列, ∴ 由 m≠0 得: ? k=
2



=k ? ﹣ .
2

2

=0,

又由△>0 得:0<m <2,显然 m ≠1(否则:x1x2=0,则 x1,x2 中至少有一个为 0,直线 OM、ON 中至少 有一个斜率不存在,矛盾! ) 设原点 O 到直线 l 的距离为 d,则 × = |m| =

, 故由 m 得取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1) . 点 本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系,考查三角形的面积公式,考查学生分析解决问题的能力. 评:

21. (14 分) (2013?深圳一模)已知

,g(x)=2lnx+bx,且直线 y=2x﹣2 与曲线

y=g(x)相切. (1)若对[1,+∞)内的一切实数 x,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,求最大的正整数 k,使得对[e,3](e=2.71828?是自然对数的底数)内的任意 k 个实数 x1,x2,?,xk 都有 f(x1)+f(x2)+?+f(xk﹣1)≤16g(xk)成立;
14

(3)求证:



考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: (1)首先设出直线 y=2x﹣2 与曲线 y=g(x)的切点,把切点代入两曲线方程后联立可求得 b 的值, 解出 g(x)后把 f(x)和 g(x)的解析式代入 f(x)≥g(x) ,分离变量 a 后对函数进行两次求导 得到函数在区间[1,+∞)内的最小值,则实数 a 的范围可求; (2)当 a=1 时可证得函数 f(x)在[e,3]上为增函数,而 g(x)也是增函数,把不等式左边放大 取最大值,右边取最小值,代入后即可求解最大的正整数 k; (3)该命题是与自然数有关的不等式,采用数学归纳法证明,由归纳假设证明 n=k+1 成立时,穿插 运用分析法. 解答: 解: (1)设点(x0,y0)为直线 y=2x﹣2 与曲线 y=g(x)的切点,则有 2lnx0+bx0=2x0﹣2① ∵ ,∴ ②

由②得,2x0﹣2=bx0,代入①得 x0=1,所以 b=0,则 g(x)=2lnx. 由 f(x)≥g(x) ,即 ,整理得
2



∵x≥1,∴要使不等式 f(x)≥g(x)恒成立,必须 a≤x ﹣2xlnx 恒成立. 设 h(x)=x ﹣2xlnx, ∵
2



,∴当 x≥1 时,h''(x)≥0,则 h'(x)是增函数,

∴h'(x)≥h'(1)=0,∴h(x)是增函数,则 h(x)≥h(1)=1,∴a≤1. 又 a>0,因此,实数 a 的取值范围是 0<a≤1. (2)当 a=1 时, f(x)在[e,3]上的最大值为 ,∵ . ,∴f(x)在[e,3]上是增函数,

要对[e,3]内的任意 k 个实数 x1,x2,?,xk,都有 f(x1)+f(x2)+?+f(xk﹣1)≤16g(xk)成立, 必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,∵当 x1=x2=?=xk﹣1=3 时不等式左边取得最 大值, xk=e 时不等式右边取得最小值. (k﹣1)(3) ∴ f ≤16g (3) 即 , 因此,k 的最大值为 13. (3)证明:1°当 n=1 时,左边= ,右边=ln3, 根据(1)的推导有,x∈(1,+∞)时,f(x)>g(x) ,即 令 x=3,得 ,即 . . , 解得 k≤13.

因此,n=1 时不等式成立. 2°假设当 n=k 时不等式成立,即 ,

15

则当 n=k+1 时,



要证 n=k+1 时命题成立,即证



即证



在不等式

中,令

,得



∴n=k+1 时命题也成立. 综上所述,不等式 对一切 n∈N 成立.
*

点评: 本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学 归纳法等综合知识,考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识,属难题.

16


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