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肇庆市第一中学2013-2014学年第二学期高三年级数学二轮专题训练八(文)


肇庆市第一中学 2013-2014 学年第二学期高三年级 数学二轮专题训练八 数学(文科)
参考公式

?? (1)用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

2 i

? nx

2

? . ? ? y ? bx ,a

x1 ? x2 ? ? ? xn ) n 1 (2)锥体体积公式 V ? Sh ( S 为锥体的底面积, h 为锥体的高) 3 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.
(其中 x ? 1.已知集合 U ? ?1, 2,3, 4,5, 6? , A ? ?1, 2, 4? ,则 CU A ? A. U B. ?1,3,5? C. ?3, 5, 6? D.

?2, 4, 6?

2.设复数 z ? i(1 ? 2i) (其中 i 是虚数单位),则在复平面内,复数 z 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知向量 a ? (2,1), b ? (?1, k ), 若 a / /(2a ? b) ,则 k ? A. ?12 B. 12 C.

?

?

?

?

?

1 2

D. ?

1 2
a11 ? a6

4.已知等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 1 ,且 a1 ? a6 ? 8 , a3a4 ? 12 ,则 A. 2 B. 3 或 6 C. 6 D. 3

5.设 ? , ? 为两个不重合的平面,m, n 是两条不重合的直线,则下列四个命题中是真命题的 是 A.若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? B.若 n ? ? , m ? ? , ?与? 相交且不垂直,则 n与m 不垂直
第 1 页

C.若 ? ? ? ,? ? ? ? m, m ? n ,则 n ? ? D.若 m // n, n ? ? ,? // ? ,则 m ? ? 6.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:百万元)之间有如下对应数据:

x
y
程是 A. ^ y ? 7 x ? 15

2 30

4 40

5 50

6 60

8 70

由散点图判断 y 与 x 具有线性相关关系,计算可得回归直线的斜率是 7,则回归直线的方 B. ^ y ? 7x ? 5 1 2
主视图

C. ^ D. ^ y ? 7 x ? 50 y ? 7 x ? 45 7.一个几何体的三视图如图 1 所示,则该几何体的体积为

1 1 1
侧视图

1 A. 3

B. 1

1 C. 2

3 D. 2

8.同时具有性质: “①最小正周期为 ? ;②图象关于直线

x?

?

3

, ) 上是增函数”的一个函数是 6 3 x ? x ? A. y ? sin( ? ) B. y ? cos( ? ) 2 6 2 6
C. y ? cos(2 x ?
x y

对称;③在 (?

? ?

俯视图

图1

?

3

)

D. y ? sin(2 x ?

?

6

)

9.若 2 ? 2 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是 A. [0,2] 10.已知函数 f ( x) ? ? B. [?2,0] C. [?2,??) D. (??,?2]
2

?e x ( x ? 0) ?lg(? x)( x ? 0)

,则实数 t ? ?2 是关于 x 的方程 f ( x) ? f ( x) ? t ? 0
开始

有三个不同实数根的 A.充分非必要条件 C.充要条件

B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

s ? 0, n ? 1
n ? 2014

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分.
?3 x 3   ,x?0 ? 11. 已知函数 f ( x) ? ? ?, ,  0? x? ? ? tan x  2 ?
则 f ( f ( )) =





s ? s ? sin

n? 3

输出 s

?

n ? n ?1
图2

结束

4


第 2 页

12.阅读图 2 的程序框图,输出结果 s 的值为

. .

?a ? b ? 1 ? 0 ? 13.已知实数 a, b 满足: ? 2a ? b ? 1 ? 0 , z ? a ? b ? 1,则 z 的取值范围是_ ? 2a ? 2b ? 1 ? 0 ?
14.在平面内,若三角形的面积为 S ,周长为 C ,则此三角形的内切圆的半径 r ?

2S ;在 C

空间中,三棱锥 P ? ABC 的三条侧棱 PA, PB, PC 两两垂直,且 PA ? PB ? PC ? 1 ,利 用类比推理的方法,求得此三棱锥 P ? ABC 的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切) 的半径 R ? _____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。
15.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (2 cos 2 x, 3) , b ? (1,sin 2 x) ,函数 f ( x) ? a ? b . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若 f (? ?

?

?

? ?

?

? ?? ? ) ? 2 , ? ? ? , ? ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 3 6 ?2 ?

16. (本小题满分 12 分) 从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身高全部介于 155 cm 和
第 3 页

195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组 ?155,160 ? ,第二组 ?160,165? ,?, 第八组 ?190,195? ,图 3 是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与 第八组人数相同,第六组的人数为 4 人. (1)求第七组的频率; (2)根据得到的样本数据估计该学校男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm )的人数; (3)从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,求抽取的两个男生 的身高之差不超过 5 的概率 .
0.06 频率/组距

频率/组距

0.04

0.016 0.008 O
155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高 (cm) 身 高

图3

(cm)

17. (本小题满分 14 分) 在图 4 所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形, AE ? 1 ,
第 4 页

AE ? 平面 ABC ,平面 BCD ? 平面 ABC , BD ? CD ,且 BD ? CD . (1)证明: AE //平面 BCD ; E (2)证明:平面 BDE ? 平面 CDE ;
(3)求该几何体的体积. D A C 图4 B

18. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 为等差数列 , 且 a5 ? 14, a7 ? 20 , 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , 且满足
第 5 页

3Sn ? Sn ?1 ? 2 (n ? 2, n ? N*) , b1 ?

2 . 3

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ? an ? bn , Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn .

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ax ? x(a ? R) .
2

第 6 页

(1)求 f ( x) 的单调区间和极值点; (2)求使 f ( x) ? g ( x) 恒成立的实数 a 的取值范围; (3) 当a ?

1 3 f ( x) 时, 是否存在实数 m , 使得方程 ? m ? g ( x) ? 0 有三个不等实根? 8 4x

若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 4 ,设曲线 y ? f ( x ) 在点 ( xn , f ( xn )) 处的切线与 x 轴的交点为
2

第 7 页

( x n ?1 , 0) ,其中 x1 为正实数, n ? N * .
(1)用 x n 表示 x n ?1 ; (2)若 x1 ? 4 ,记 a n ? lg

xn ? 2 ( n ? N * ),试判断数列 ?an ? 是否是等比数列, xn ? 2

若是求出其公比;若不是,请说明理由; (3)在(2)的条件下,设 bn ?

(2n ? 5) lg 3 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , 2 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? an

证明:

7 1 ? Sn ? . 30 3

第 8 页

数学二轮专题训练八参考答案
一、选择题:C B D D D A A D D C 二、填空题: 11. ?3 ; 三、解答题: 15.解:(1) f ( x) ? 2cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 12.

3 ; 2

13. ? ?2,- ? ; 2

? ?

1? ?

14.

3? 3 . 6

? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 6

?

4分 6分

? f ( x) 的最小正周期为 T ? ? .
) ? 2sin(2(? ? ) ? ) ? 1 ? 2sin(2? ? ) ? 1 ? 2 , 3 3 6 2 1 1 ?? cos 2? ? , cos 2? ? ? , 2 2 4? 2? ?? ? ,? ? , ?? ? ? , ? ? ,? 2? ? ?? , 2? ? ,? 2? ? 3 3 ?2 ?
(2) ? f (? ?

?

?

?

?

8分

10 分

? 3? ? sin(2? ? ) ? sin ? ?1 . 6 2
16.解: (1)第六组的频率为

12 分 2分 4分

4 ? 0.08 , 50

所以第七组的频率为: 1 ? 0.08 ? 5(0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2+0.06) =0.06 . (2)由直方图得后三组频率为 0.06+0.08+0.008 ? 5=0.18 , 所以估计该校男生身高在 180 cm 以上(含 180 cm )的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人.

7分

(3)第六组 ?180,185? 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组 ?190,195? 的人数为 2 人, 设为

A, B ,则从这 6 人中抽取 2 人有 ab, ac, ad , bd , bc , cd ,aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB
共 15 种情况, 抽取的两个男生的身高之差不超过 5 有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况, 抽取的两个男生的身高之差不超过 5 的概率为 P ? 9分 11 分 12 分

7 . 15

17.证明:(1) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM ,
第 9 页

由已知 BD ? CD ,可得: DM ? BC , 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC ,平面 BCD ? 平面 ABC ? BC , 所以 DM ? 平面 ABC , 因为 AE ? 平面 ABC , 所以 AE / / DM , 又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD , 所以 AE / / 平面 BCD . 4分 (2)由(1)知 AE / / DM ,又 AE ? 1 , DM ? 1 , C 所以四边形 DMAE 是平行四边形,则有 DE / / AM , 由(1)得 DM ? AM ,又 AM ? BC , ? AM ? 平面 BCD , 所以 DE ? 平面 BCD , 又 CD ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD , 由已知 BD ? CD , DE ? BD ? D ,? CD ? 平面 BDE , 因为 CD ? 平面 CDE , 所以平面 BDE ? 平面 CDE . (也可利用勾股定理等证明题中的垂直关系) (3)? BC ? DM , BC ? AM , DM ? AM ? M ,? BC ? 平面 AEDM , D A M 图4

E

B

10 分

11 分 12 分 14 分

AM ? 3, DM ? 1 ,易得四边形 AEDM 为矩形其面积 S ? 3 ,
故该几何体的体积 V ? VC ? AEDM ? VB ? AEDM = 1 ? S ? BC ? 2 3 . 3 3 18. (1)?数列 ?an ? 是等差数列,设公差为 d ,则 ?

? a1 ? 4d ? 14 ?a1 ? 2 ,解得 ? , ?d ? 3 ? a1 ? 6d ? 20
2分 ②,

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 1 . ? 3Sn ? Sn?1 ? 2(n ? 2)
①, ? 3Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2(n ? 3)

由① — ②得 3bn ? bn?1 (n ? 3) ,?

bn 1 ? (n ? 3) , bn ?1 3

4分

由 b1 ?

b 1 2 2 ,3Sn ? Sn?1 ? 2(n ? 2) 得 3(b1 ? b2 ) ? b1 ? 2 ,? b2 ? , ? 2 ? , 5 分 b1 3 3 9
6分

1 2 ??bn ? 是等比数列,公比是 , ? bn ? n . 3 3 2(3n ? 1) (2) cn ? an ? bn ? , 3n 1 1 1 1 1 Tn ? 2(2 ? ? 5 ? 2 ? 8 3 ? ? ? (3n ? 4) n?1 ? (3n ? 1) n ) , 3 3 3 3 3
第 10 页

1 1 1 1 1 1 Tn ? 2(2 ? 2 ? 5 3 ? 8 4 ? ? ? (3n ? 4) n ? (3n ? 1) n?1 ) , 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? 2(2 ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? (3n ? 1) n?1 ) 3 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? ( ) n ?1 ) 2 3 1 3 ? 2( ? ? (3n ? 1) n ?1 ) 1 3 3 1? 3 7 1 1 1 7 6n ? 7 ? 2( ? n?1 ? (3n ? 1) n?1 ) ? ? n ?1 , 6 23 3 3 3 7 6n ? 7 . ?Tn ? ? 2 2 ? 3n
19.解: (1) f ?( x) ? ln x ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 得 x ?

8分

14 分

1 1 , f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? , e e

1 ?1 ? ? f ( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增, e ?e ?
f ( x) 的极小值点为 x ?

1 .(注:极值点未正确指出扣 1 分) e
2

3分

(2)方法 1:由 f ( x) ? g ( x) 得 x ln x ? ax ? x( x ? 0) ,

?ax ? ln x ? 1 ,令 h( x) ? ax ? ln x ? 1 ,则 h?( x) ? a ?

1 ax ? 1 , ? x x

ⅰ)当 a ? 0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 ? 0, ?? ? 单调递减, h( x) 无最小值,舍去; ⅱ)当 a ? 0 时, 由 h?( x) ? 0 得 x ?

1 1 , h?( x) ? 0 得 0 ? x ? , a a

1 ?1 ? ? h( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增, a ?a ? 1 ? h( x)min ? h( ) ? ln a ,只须 ln a ? 0 ,即 a ? 1 , a

?当 a ? 1 时 f ( x) ? g ( x) 恒成立.
方法 2:由 f ( x) ? g ( x) 得 x ln x ? ax ? x( x ? 0) ,?ax ? ln x ? 1 ,
2

8分

第 11 页

即a ?

ln x ? 1 ln x ? 1 ? ln x 对任意 x ? 0 恒成立,令 h( x) ? ,则 h?( x) ? , x2 x x

由 h?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 , h?( x) ? 0 得 x ? 1 ,

? h( x) 在 (0,1) 单调递增,在 ?1, ?? ? 单调递减,? h( x)max ? h(1) ? 1 ,? a ? 1 ,

?当 a ? 1 时 f ( x) ? g ( x) 恒成立.
(3)假设存在实数 m ,使得方程

3 f ( x) ? m ? g ( x) ? 0 有三个不等实根, 4x

即方程 6ln x ? 8m ? x 2 ? 8 x ? 0 有三个不等实根, 令 ? ( x) ? 6ln x ? 8m ? x ? 8 x ,
2

? ?( x) ? ? 2 x ? 8 ?

6 x

2( x 2 ? 4 x ? 3) 2( x ? 3)( x ? 1) , ? x x

由 ? ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 或 x ? 3 ,由 ? ?( x) ? 0 得 1 ? x ? 3 ,

?? ( x) 在 (0,1) 上单调递增, (1,3) 上单调递减, (3, ??) 上单调递增,

? ? ( x) 的极大值为 ? (1) ? ?7 ? 8m ,? ( x) 的极小值为 ? (3) ? ?15 ? 6ln 3 ? 8m .

11 分

要使方程 6ln x ? 8m ? x2 ? 8x ? 0 有三个不等实根,则函数 ? ( x) 的图像与 x 轴要有三个 交点, 根据 ? ( x) 的图像可知必须满足 ?

??7 ? 8m ? 0 7 15 3 ,解得 ? m ? ? ln 3 , 13 分 8 8 4 ??15 ? 6 ln 3 ? 8m ? 0

?存在实数 m ,使得方程

3 f ( x) ? m ? g ( x) ? 0 有三个不等实根, 4x 7 15 3 实数 m 的取值范围是 ? m ? ? ln 3 . 8 8 4
20.解: (1)由题可得 f ?( x) ? 2 x ,

14 分

所以曲线 y ? f ( x) 在点 ( xn , f ( xn )) 处的切线方程是 y ? f ( xn ) ? f ?( xn )( x ? xn ) , 即 y ? ( xn 2 ? 4) ? 2 xn ( x ? xn ) , 令 y ? 0 ,得 ?( xn 2 ? 4) ? 2 xn ( xn ?1 ? xn ) ,即 xn 2 ? 4 ? 2 xn xn ?1 ,
第 12 页

2分

显然 xn ? 0 ,∴ xn ?1 ?

(2)数列 ?an ? 是等比数列,证明如下: 由 xn ?1 ?

2 xn 2 ? 4 . xn

4分

x ?2 2 xn 2 ? 4 , a n ? lg n 得 xn xn ? 2
xn 2 ? 4 ?2 2 x n l g2 ? xn ? 4 ?2 2 xn

x ?2 an ?1 ? l g n ?1 ? xn ?1 ? 2

x( ? n l g x (n ?

2 2

2 ) ? 2 )

x ?n 2 2 l g (? xn ? 2

x ? n 2 ) ? 2 l ang, xn ? 2
8分

2

?

an ?1 ? 2 ,所以数列 ?an ? 成等比数列,公比为 2. an
x1 ? 4 ? lg 3 ,由(2)得 an ? a1 ? 2n ?1 ? 2n?1 lg 3 , x1 ? 4

(3)解:? x1 ? 4 ? a1 ? lg

? bn ?

(2n ? 5) lg 3 2n ? 5 1 ? ? n 2 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? ? an ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2

1 1 1 ? 1 ? 2 , ? ?? ? ?? n ? n ?1 (2n ? 1)2 (2n ? 3)2n ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2
所以 Sn ? b1 ? b2 ? L ? bn

? ? 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ?1 ?? ? ? ?L ? ? ? ??? 2 ? n ?1 n ? ? 2n ? 3? 2 ? ? 3 5?2 ? ? 5?2 7 ?2 ? ? ? 2n ? 1? 2

?

1 1 ? , 3 ? 2n ? 3 ? 2 n 1 1 1 1 ? ? ? 0 ? Sn ? , n n 3 ? 2n ? 3 ? 2 (2n ? 3) ? 2 3

12 分

故数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?

又?

1 1 1 单调递增,? Sn ? ? 单调递减, n (2n ? 3) ? 2 3 (2n ? 3) ? 2n
7 7 1 ,? ? Sn ? . 30 30 3
第 13 页

?当 n ? 1 时 S n 的最小值为

14 分



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