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高二数学双曲线及其标准方程课件


8.3 双曲线及其标准方程
y

F1

o

F2

x

生活中的双曲线

双曲线型自然通风冷却塔

迪拜双曲线建筑

生活中的双曲线

正在建设中金沙江上的 溪落渡水电站:双曲拱坝<

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反比例函数图像

《圆锥曲线论》
——阿波罗尼斯

若平面 E K 的上下两部 若平面 若平面 E与对顶圆锥 与若平面 E与L不垂直,且与对顶圆锥 E与 L ’平行,则 若平面 E垂直L,则E与对顶圆锥K 的截痕是一个圆 . 分都相交,且交线是开曲线,则 E 与 K E与对顶圆锥 K的交线是闭合曲线,则 K的截痕是一个抛物线 E与K的截痕是 . 的截痕是一个双曲线 . 一个椭圆.

截痕的 平面图形 截痕的 截痕的 平面图形 平面图形 截痕的 平面图形

如何画双曲线?
①如图(A),

|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B),
F

|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得:

| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线

定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 (大于0小于︱F1F2︱) 等于常数 的点的轨迹叫做双 曲线. M ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 思 考 ? (1)为什么要有大于0小于︱F1F2︱? (2)若等于0呢?
线段F1F2的中垂线
F
1

o

F

2

(3)若等于︱F1F2︱呢? 以F1、F2为端点的两条射线

(4)若大于︱F1 F2︱呢? 无轨迹

1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 线段 F1F2的中点为原点建立直角 如何求这条曲线的方程? 坐标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)
F1

y
M

o

常数=2a
3.列式. |MF1|

F2

x

- |MF2|= ? 2a
(x-c)2 + y2 = + _ 2a


4.化简.

(x+c)2 + y2 -

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

y
M

? ( x ? c)

2

? y2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) 2 ? y 2

?

2

F1

o

F2

x

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c) 2 ? y 2
(c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 )

c2 ? a 2 ? b2

x2 a2

? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

双曲线的标准方程
y
M

y
M F2 x

F

O
1

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b
(a ? 0,b ? 0)

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
(a ? 0,b ? 0)

2

2

定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象

F1

o

F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关系 确定焦点位置

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)

2

2

c 2 ? a 2 ? b2
看系数正负,右边等于1时,哪个系数正, 焦点就在对应坐标轴上

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b

方程

y2 x2 + 2 =1 2 a b 焦点
F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2

双曲线

椭圆
2 2 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2

(a ? c ) x ? a y ? a (a ? c )
2 2 2 2 2 2 2 2

c?a
c ?a ?b
2 2
2 2 2 2

a?c
2

a ?c ? b
2 2

2

b x ?a y ? a b

2 2

b x ?a y ? a b
2 2 2 2

2 2

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线 的标准方程.

解:根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为:
x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b
∵ 2a = 6, c=5
2 2




a = 3, c = 5
b2 = 52-32 =16

x2 y2 ? ?1 所以所求双曲线的标准方程为: 9 16

例2、已知双曲线的焦点在 y轴上,并且双曲线 9 上两点P (3,?4 2 ), ( ,5), 求双曲线 1、P 2的坐标为 4 的标准方程。

课堂练习
(1)方程 | ( x ? 5)2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 |? 6表示什么曲线?

双曲线

x y ? ?1 9 16
x2 y 2 ? ? 1, ( x ? 3) 9 7

2

2

(2)方程 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 6表示什么曲线?
双曲线右支

(3)方程 ( y ? 4)2 ? x 2 ? ( y ? 4)2 ? x 2 ? 8表示什么曲线?

以点(0,4)为端点,沿y轴正方向的一条射线

小结
1、双曲线的定义(注意定义中的条件)

2、双曲线的标准方程(注意焦点的位置 与方程形式的关系)

作业:习题8.3:1、2(书)、3

思考?
1. 当 0°≤θ≤180°时,方程 x2cosθ+y2sinθ=1的曲线怎样变化?

2.方程 cx ? a ? ? a ? x ? c ? ? y 能反映双曲线有什么几何特征?
2 2

2


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