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解析几何专题汇编3椭圆内接图形(三角形、四边形)面积计算


第三部分、圆锥曲线内接图形(三角形、四边形)面积计算
1. (07 浙江) 如图, 直线 y ? kx ? b 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1交于 A,B 4

两点,记 △ AOB 的

面积为 S . (I)求在 k ? 0 , 0 ? b ? 1 的条件下, S 的最大值; (II)当 AB ? 2

, S ? 1 时,求直线 AB 的方程. (I)解:设点 A 的坐标为 ( x1,b) ,点 B 的坐标为 ( x2,b) .

y A

O
B

x

x2 ? y 2 ? 1,解得 x1,2 ? ?2 1 ? b 2 由 4
1 2 2 2 所以 S ? b | x1 ? x2 |? 2b 1 ? b ? b ? 1 ? b ? 1 2
当且仅当 b ?

(第 21 题)

2 时, .S 取到最大值 1. 2

? y ? kx ? b ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 得 2 ? y ? 1 ? ?4

(4k 2 ? 1) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 ? ? 16(4k 2 ? b2 ? 1)
|AB|= 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 又因为 O 到 AB 的距离 d ? ①

16(4k 2 ? b2 ? 1) ?2 4k 2 ? 1
? 2S ?1 | AB |
所以 b ? k ? 1
2 2



|b| 1? k
2

2



③代入②并整理,得 4k ? 4k ? 1 ? 0
4

解得, k ?
2

1 2 3 , b ? ,代入①式检验,△>0 2 2

故直线 AB 的方程是

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 x? x? x? x? 或y? 或y?? 或y?? . 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 .过 F1 的直线交椭圆于 B,D 两点,过 F2 的直线交 2. (07 全国 1)已知椭圆 3 2
椭圆于 A,C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P .

2 2 x0 y0 ? ?1; (Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x0,y0 ) ,证明: 3 2

(Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值. 解: (Ⅰ)椭圆的半焦距 c ? 3 ? 2 ? 1 ,
2 2 由 AC ⊥ BD 知点 P 在以线段 F1F2 为直径的圆上,故 x0 ? y0 ? 1,
2 y2 x2 y 2 1 x2 ? 0 ≤ 0 ? 0 ? ? 1. 3 2 2 2 2

所以,

x2 y 2 ? ? 1 ,并化简得 (Ⅱ) (ⅰ)当 BD 的斜率 k 存在且 k ? 0 时, BD 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程 3 2

(3k 2 ? 2) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 .
设 B( x1,y1 ) , D( x2,y2 ) ,则

x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 6 x x ? , 1 2 3k 2 ? 2 3k 2 ? 2

2 BD ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ? ?( x2 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ??

4 3(k 2 ? 1) ; 3k 2 ? 2

因为 AC 与 BC 相交于点 P ,且 AC 的斜率为 ?

1 , k

? 1 ? 4 3 ? 2 ? 1? 2 ?k ? ? 4 3(k ? 1) . 所以, AC ? 1 2k 2 ? 3 3? 2 ? 2 k
四边形 ABCD 的面积

1 24(k 2 ? 1) 2 ??(k 2 ? 1) 2 96 S ? BD AC ? ≥ ? . 2 2 2 2 2 2 (3k ? 2)(2k ? 3) ? (3k ? 2) ? (2k ? 3) ? 25 ? ? 2 ? ?
当 k ? 1 时,上式取等号.
2

(ⅱ)当 BD 的斜率 k ? 0 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积 S ? 4 . 综上,四边形 ABCD 的面积的最小值为

96 . 25

0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 3.设椭圆中心在坐标原点, A(2,,
E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值;

(Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.

x2 ? y 2 ? 1, (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为 4
直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . 如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 , 故 x2 ? ? x1 ? y B O E D A F x

2 1 ? 4k
2

.①

由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 所以

1 5 10 ; (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2

2 . 1 ? 2k

2 10 , ? 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2
2 3 或k ? . 3 8

2 化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ?

(Ⅱ)由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为
2 2 2 2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 ) ?2 2, S ? S△BEF ? S△AEF ? x2 ? 2 y2 ? ( x2 ? 2 y2 ) 2 ? x2

当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .
x2 y 2 6 4.(07 陕西)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的 a b 3 方程;

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求 △ AOB 面积的最大值. 2

?c 6 , x2 ? ? 2 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为 ? y ? 1. 3 ? a ? 3, ?
(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,

设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

由已知

m 1? k 2

?

3 2 3 2 ,得 m ? (k ? 1) . 4 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?

?6km 3(m 2 ? 1) x x ? , . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? 2 ? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ? 2 ? 2 (3 k ? 1) 3k 2 ? 1 ? ? ?
? 12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ?4. 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
2

? 3?

当且仅当 9 k ?

1 3 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 2 k 3

综上所述 AB max ? 2 .

1 3 3 . ? ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2
5.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 两焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆在第一象限弧上一点,并满足 PF1 ? PF2 ? 1 ,过 P 作倾斜角互 2 4

补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; (3)求△ PAB 面积的最大值。 解: (1)由题可得 F1 (0, 2 ) , F2 (0 ? 2 ) ,设 P0 ( x0 , y 0 ) ( x0 ? 0, y 0 ? 0) 则 PF1 ? (? x0 , 2 ? y0 ) , PF1 ? (? x0 ,? 2 ? y0 ) ,
2 2 ∴ PF1 ? PF2 ? x0 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,∵点 P( x0 , y0 ) 在曲线上,则

2 2 2 4 ? y0 x0 y2 4 ? y0 2 2 ,从而 ? (2 ? y0 ) ? 1 ,得 ? 0 ? 1 ,∴ x0 ? 2 2 4 2

y0 ? 2 .则点 P 的坐标为 (1, 2 ) . (2)由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k (k ? 0) ,

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 则 BP 的直线方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1) .由 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? ?2 4 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k ) 2 ? 4 ? 0 ,设 B( xB , y B ) ,则

y A F1 B O F2 x P

1 ? xB ?

2k ( k ? 2 ) 2k ( k ? 2 ) k 2 ? 2 2k ? 2 , xB ? ?1 ? , 2 2 2?k 2?k 2 ? k2

k 2 ? 2 2 k ? 2) 4 2k 8k ,则 x A ? x B ? , y A ? yB ? ?k ( x A ? 1) ? k ( xB ? 1) ? . 2 2?k 2 ? k2 2 ? k2 y ? yB 所以:AB 的斜率 k AB ? A ? 2 为定值. x A ? xB

同理可得 x A ?

(3)设 AB 的直线方程: y ? 2 x ? m .

?y ? 2x ? m ? 由 ? x2 y2 ,得 4 x 2 ? 2 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 , ?1 ? ? ?2 4 由 ? ? (2 2m) 2 ? 16(m2 ? 4) ? 0 ,得 ? 2 2 ? m ? 2 2 |m| P 到 AB 的距离为 d ? , 3 |m| 1 1 1 (4 ? m 2 ) ? 3 ? 则 S ?PAB ? | AB | ?d ? 2 2 2 3
? 1 2 1 m2 ? m2 ? 8 2 m (? m 2 ? 8) ? ( ) ? 2。 8 8 2

当且仅当 m ? ?2 ? ? 2 2 ,2 2 取等号 ∴三角形 PAB 面积的最大值为 2 。 6.设 F 是抛物线 G : x ? 4 y 的焦点.
2

?

?

? 4) 作抛物线 G 的切线,求切线方程; (I)过点 P(0,
(II)设 A,B 为抛物线 G 上异于原点的两点,且满足 FA FB ? 0 ,延长 AF , BF 分别交抛物线 G 于点 C,D ,求 四边形 ABCD 面积的最小值. 解: (I) 设切点 Q ? x0,0 ? . 由 y? ?

? ?

x2 ? 4?

x x2 x x , 知抛物线在 Q 点处的切线斜率为 0 , 故所求切线方程为 y ? 0 ? 0 ( x ? x0 ) . 即 2 2 4 2

y?

x0 x2 x? 4 . 2 4

2 x0 2 ? ?) 在切线上.所以 ?4 ? ? , x0 因为点 P(0, ? 16 , x0 ? ?4 . 4

所求切线方程为 y ? ?2 x ? 4 . (II)设 A( x1,y1 ) , C ( x2,y2 ) . 由题意知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k ? 0 .

1) ,所以直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 . 因直线 AC 过焦点 F (0,
点 A,C 的坐标满足方程组 ?

? y ? kx ? 1, ? x ? 4 y,
2

得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,
2

由根与系数的关系知 ?

? x1 ? x2 ? 4k, ? x1 x2 ? ?4.

AC ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4(1 ? k 2 ) .
因为 AC ? BD ,所以 BD 的斜率为 ?

1 1 ,从而 BD 的方程为 y ? ? x ? 1 . k k

? ? 1 ?2 ? 4(1 ? k 2 ) 同理可求得 BD ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ? . ? ? k? ? k2 ? ?

S ABCD

1 8(1 ? k 2 )2 1 ? AC BD ? ? 8(k 2 ? 2 ? 2 ) ≥ 32 . 2 2 k k

当 k ? 1 时,等号成立.所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 32 .

其他问题
1.如图,圆 A 的方程为:(x+3)2 + y2=100,定点 B(3,0),动点 P 为圆 A 上的任意一点。线段 BP 的垂直平分线和半 径 AP 相交于点 Q,当点 P 在圆 A 上运动时, (1)求|QA|+|QB|的值,并求动点 Q 的轨迹方程; (2)设 Q 点的横坐标为 x,记 PQ 的长度为 f(x) ,求函数 f (x)的值域

解: (1)连结 QB,由已知,得|QB|=|QP|, 所 以 , | QA | + | QB | = | QA | + | QP | = | OP | = 10。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 又|AB|=6,10>6, 根据椭圆的定义,点 Q 的轨迹是 A,B 为焦点,以 10 为长轴长 2a=10,2c=6,所以 b=4,

的椭圆,

x2 y 2 ? ?1 所以,点 Q 的轨迹方程为: 25 16
2 2 (2)由已知得|PQ|=|QB|,所以,f(x)= ( x ? 3) ? y

又点 Q 的轨迹方程为:

x2 y 2 x2 ? ? 1 ,所以, y 2 ? 16(1 ? ) ,代入上式,消去 y,得 25 16 25

2.设椭圆 C :

x2 y2 2 ,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e = 2 2 a b

4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P 1 ?x1 , y1 ? ,求 3 x1 ? 4 y1 的取值范围. 解:(1)依题意知, 2a ? 4,? a ? 2. ∵e ?

c 2 , ? a 2
x2 y2 ? ? 1. 4 2

∴c ?

2, b ? a ? c ?
2 2

2 . ∴所求椭圆 C 的方程为

(2)∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P 1 ?x1 , y1 ? ,

? y 0 ? y1 ? 2 ? ?1, ? ? x 0 ? x1 ∴ ? ? y 0 ? y1 ? 2 ? x 0 ? x1 . ? 2 ? 2
解得: x1 ?

4 y0 ? 3 x0 3 y ? 4 x0 , y1 ? 0 . 5 5

∴ 3x1 ? 4 y1 ? ?5x0 .

∵ 点 P ?x0 , y 0 ? 在椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 上, 4 2

∴ ? 2 ? x0 ? 2 , 则 ? 10 ? ?5x0 ? 10 .∴ 3x1 ? 4 y1 的取值范围为 ?? 10, 10? . 3.已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P(2 , 3) 满足: F2 在线 2 a b 2

段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与 x 轴、椭圆 C 顺次相交于点 A(2 , 0) 、 M 、 N ,且 ?NF2 F1 ? ?MF2 A ,求 k 的 取值范围. (Ⅰ)解法一:椭圆 C 的离心率 e ?

2 c 2 ,得 ? ,其中 c ? a 2 ? b 2 2 a 2

椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), 、 F2 (c,0) , 又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上,? F1 F2 ? PF2 ,?(2c) 2 ? ( 3) 2 ? (2 ? c) 2 解得 c ? 1, a ? 2, b ? 1,
2 2

? 椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ?1 . 2

解法二:椭圆 C 的离心率 e ?

2 c 2 ,得 ? ,其中 c ? a 2 ? b 2 2 a 2

椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), 、 F2 (c,0) , 设线段 PF1 的中点为 D ,? F1 (?c, 0), P(2, 3 ) ,? D ( 又线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,? k PF1 ? k DF2 ? ?1 ,

2?c 3 , ), 2 2

3 x2 3 2 即 ? ? ?1 ? c ? 1, a 2 ? 2, b 2 ? 1, ? 椭圆方程为 ? y 2 ? 1 2 2?c 2?c ?c 2
(Ⅱ)由题意,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,且 k ? 0 ,

? y ? k ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 ,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
由 ? ? 8(1 ? 2k 2 ) ? 0 ,得 ?

2 2 ,且 k ? 0 ?k? 2 2
(? )

8k 2 8k 2 ? 2 , 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? ?NF2 F1 ? ?MF2 A ,且由题意 ?NF2 A ? 90? ,

? k MF2 ? k NF2 ? 0
?

, 又 F2 (1, 0),

y1 y k ( x1 ? 2) k ( x2 ? 2) ? 2 ? 0 ,即 ? ?0, x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1
1 1 ? ) ? 0 ,整理得 2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 1 x2 ? 1
24k 2 16k 2 ? 4 ? ?4?0, 1 ? 2 k 2 1 ? 2k 2

?2 ? (

将( ? )代入得,

知上式恒成立,故直线 l 的斜率 k 的取值范围是 (?

2 2 ,0) ? (0, ). 2 2


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