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高中数学必修4三角函数知识点与题型总结


三角函数典型考题归类 1.根据解析式研究函数性质 例 1(天津理)已知函数

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R .

(Ⅰ)求函数

? π 3π ? f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

【相关高考 1】(湖南文)已知函数

π? π? π? ? ? ? f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? . 8? 8? 8? ? ? ?

求:(I)函数

f ( x) 的最小正周期;(II)函数 f ( x) 的单调增区间.

【相关高考 2】(湖南理)已知函数

1 π? ? f ( x) ? cos 2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 ? 2 ?

(I)设 x

? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

2.根据函数性质确定函数解析式 例 2(江西)如图,函数 期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值;

π y ? 2cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤ 0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的最小正周 2 y
3

?π ? ( 2 )已知点 A ? , 0 ? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 ?2 ?

P

O

A

x

y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ,π ? 时,求 x0 的值. ? 2 ?2 ?

【相关高考 1】 (辽宁) 已知函数

π? π? ?x ? ? , ( I) 求函数 f ( x) f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2 cos 2 ,x ? R(其中 ? ? 0 ) 6? 6? 2 ? ?

的值域; (II)(文)若函数

y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为

π ,求函数 y ? f ( x) 的单调增区间. 2

(理)若对任意的 a ? R ,函数 必证明),并求函数

y ? f ( x) , x ? (a,a ? π] 的图象与直线 y ? ?1 有且仅有两个不同的交点,试确定 ? 的值(不

y ? f ( x),x ? R 的单调增区间.

【相关高考 2】(全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 (1)求函数

A?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

y ? f ( x) 的解析式和定义域;(2)求函数 y ? f ( x) 的最大值.

3.三角函数求值 例 3(四川)已知 cosα=

1 π 13 ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,(Ⅰ)求 tan2α 的值;(Ⅱ)求 β. 7 2 14

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? 3 ? 【相关高考 1】 (重庆文)已知函数 f(x)= .(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 a 在第一象限,且 cos a ? , 求f(a)。 ? 5 sin( x ? ) 2

【相关高考 2】 (重庆理)设 f ( x ) = 求 tan

6 cos2 x ? 3 sin 2 x(1) 求 f( x )的最大值及最小正周期; (2) 若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ,

4 ? 的值. 5

4.三角形中的函数求值 例 4(全国Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小;(文)(Ⅱ)若 a

? 3 3 , c ? 5 ,求 b.(理)(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

【相关高考 1】(天津文)在 △ ABC 中,已知

AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ?

4 . 5

(Ⅰ)求 sin B 的值;(Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

? ?

?? ? 的值. 6?

【相关高考 2】(福建)在 △ ABC 中, tan

A?

1 3 , tan B ? .(Ⅰ)求角 C 的大小;文(Ⅱ)若 AB 边的长为 17 ,求 BC 4 5

边的长.理(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为

17 ,求最小边的边长.

三角函数易错题解析
例题 1 已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin A、

5? 6

B、

2? 3

C、

5? 3

2? 2? , cos 3 3 11? D、 6

),则角 ? 的最小值为(

)。

例题 2

A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形

2

? 5x ? 1 ? 0 的两个实数根,则 ? ABC 是(



D、等边三角形 ,

例题 3

已知方程 x 且? 、 ?

2

? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan? , tan ?
的值是_________________.

? ?? ? ? ?? ? ? ? , ? ,则 tan 2 ? 2 2?

例题 4 例题 5 例题 6 例题 7 例题 8

函数

f ( x) ? a sin x ? b 的最大值为 3,最小值为 2,则 a ? ______, b ? _______。
sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x
? sin 2 ? ? 3 sin ? , 则 sin 2 ? ? sin 2 ?
的取值范围是

函数 f(x)= 若 2sin2α

已知 ?? ? ? 求函数

? ? ,求 y ? cos? ? 6sin? 的最小值及最大值。

f ( x) ?

2 tan x 的最小正周期。 1 ? tan 2 x

例题 9

求函数

f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos( ? x) ? 3 的值域 4
]

?

3 ? f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间[0, 4 2 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。
例题 10 已知函数

2011 三角函数集及三角形高考题
1.(2011 年北京高考 9)在 ? ABC 中,若

b ? 5, ?B ?

?
4

,sin A ?

1 3 ,则 a ?

.

2.(2011 年浙江高考 5).在 ?ABC 中,角

A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos2 B ?

(A)-

1 2

(B)

1 2

(C)

-1

(D) 1

3.(2011 年全国卷 1 高考 7)设函数 重合,则 ? 的最小值等于

? f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长度后,所得的图像与原图像

1 (A) 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

5.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 则 y=_______.

p ? 4, y ?

是角 ? 终边上一点,且

sin ? ? ?

2 5 5 ,

6. (2011 年安徽高考 9)已知函数 则

f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若

f ( x) ? f ( ) 6

?

对 x ? R 恒成立,且

f ( ) ? f (? ) 2 ,

?

f ( x) 的单调递增区间是

? ?? ? k? ? , k? ? ? ( k ? Z ) ? 3 6? (A) ?

?? ? k? , k? ? ? ( k ? Z ) ? 2? (B) ?
? ? ? k? ? , k? ? ( k ? Z ) ? 2 ? (D) ?
2 2 2

? 2? ? ? k? ? , k? ? (k ? Z ) ? 6 3 ? ? (C) ?

7.(2011 四川高考 8)在△ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是

(0, ] 6 (A)

?

[ ,? ) (B) 6

?

(0, ] 3 (C)

?

[ ,? ) (D) 3

?

1.(2011 年北京高考 17)已知函数

f ( x) ? 4cos x sin( x ? ) ? 1. 6
? ? ?? ? , f ( x) 在区间 ? ? 6 4? ? 上的最大值和最小值。

?

(Ⅰ)求

f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)求

7.(2011 年广东高考 16)已知函数

1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 3 6 , x? R .

f(
(1)求

? ?? 5? ? , ? ? ?0, ? f (3? ? ? ) ? 10 f (3? ? 2? ) ? 6 ) ? 2?, 4 的值;(2)设 2 13 , 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值.

f ( x) ? sin( x ?
.(2011 年广东高考 18)已知函数

7? 3? ) ? cos( x ? ) 4 4 ,x ? R. cos(? ? ? ) ? 4 4 ? cos(? ? ? ) ? ? 0 ?? ? ? ? 2 5, 5, 2 .求证: [ f (? )] ? 2 ? 0 .

f ( x) 的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知 (Ⅰ)求



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