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益阳市第一中学2013年高一新生入学考试数学


益阳市第一中学 2013 年高一新生入学考试

数学试题
时量:90 分钟 总分:150 分 一、选择题(本题共 8 个小题,每小题有且只有一个正确答案,请将正确答案的选项代号涂在答题卡相 应的位置上,每小题 5 分,满分 40 分)

1、下列计算正确的是(
A. a ? a ? 2 a

) B. b ? b ? 2b
3 3 3

C. a ? a ? a
3

3

D. (a 5 ) 2 ? a 7

2、我国是世界上 13 个贫水国之一,人均水资源占有量只有 2 520 立方米,用科学记数法表示 2 520 立方
米是______立方米. A.2.52× 10
4



) B.2.52× 10
-3

C.2.52× 10

3

D.2.52× 10 )

2

3、如图,是一个正方体的平面展开图,则正方体中“祝”的对面是(
祝 你 考 试 顺 利 A.考 B.试 C.顺 )

D.利

4、式子

x ?1 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( x

A. x ? ?1 B. x ? ?1 C. x ? ?1且x ? 0 D. x ? ?1且x ? 0 5、初一某班六名男同学“俯卧撑”的测试成绩(单位:次数)分别是 6、8、7、8、10、9 的中位数和众 数分别是( ) A.7 和 8 B.8 和 8 C .8 和 7 D.8 和 9

6、下列函数中,① y = x

② y=—2x + 1

③ y??

1 x

④ y = 3x2,当 x< 0 时,函数值 y 随 x 的

增大而增大的有( ) A.1 个 B.2 个

C.3 个 )

D.4 个

7、方程 ( x ? 3)( x ? 1) ? x ? 3 的解是(
A. x ? 0
2

B. x ? 3

C. x ? 3 或 x ? ? 1

D. x ? 3 或 x ? 0

8、二次函数 y ? ax ? bx ? c 图象如图所示,下列 关于 a、b、c 关系判断正确 的是( )

A.ab<0

B.bc<0

C.a+b+ c>0

D.a-b+c<0

二、填空题(本题共 8 个小题,请将答案写在答题卡相应位置上,每小题 5 分,满分 40 分) 9、某钢铁厂去年 1 月份某种钢的产量为 5000 吨,3 月份上升到 7200 吨,这两个月平均每月增长的百 分率是__________________. 10、如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,则∠1= . 11、如图,△ ABC 为等腰直角三角形,AC=3,以 BC 为直径的半圆与斜边 AB 相交于点 D,则图中阴影 部分的面积为 .

第 10 题

第 11 题
2

12、从 ? 2 ,? 1 ,0 ,1 ,2 这五个数中任取一个数,作为关于 x 的一元二次方程 x ? x ? k ? 0 中的 k 值, 则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 .

13、一个圆锥的轴截面是等腰直角三角形,这个直角三角形的斜边长为 2 cm,则圆锥的侧面积为___ _cm . 14、若关于 x 的方程 kx +(k+2)x+
2 2

k =0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 4




15、如图,等边△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,将△ADE 沿直线 DE 翻折后,A 落在点 A'处,且点 A' 在△ABC 的外部,若原等边三角形的边长为 a,则图中阴影部分的周长为

16、如图,直线 y ? 3x ,点 A 0) ,过点 A 1 坐标为(1, 1 作 x 的垂线交直线于点 B 1 ,以原点 O 为圆心,OB1 长为半径画弧交 x 轴于点 A2 ;再过点 A2 x 的垂线交直线于点 B2 ,以原点 O 为圆心,OB2 长为半径画弧交

x 轴于点 A3 ,?,按此做法进行下去,点 A5 的坐标为(



) 。

第 15 题 三、解答题(本大题共 7 个小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请将解答过程写在答题卡 第 16 题 相应的位置上,满分 70 分) 17、 (本题满分 8 分)先化简,再求值:

3? x ? 5 ? ??x ? 2? ? ,其中 x ? 2 2 x?2 ? x ? 2?

18、 (本题满分 8 分) 我市教育行政部门为了了解七年级学生每学期参加综合实践活动的情况,随机抽样调查了实验中学七年级 学生一个学期参加综合实践活动的天数,并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图(如图) .
人数

3天 15% 2 天 10% 7 天 5% 15% 6天 a 30%

4天

70 60 50 40 30 20 10

5天

2天 3天 4天 5天 6天 7天

时间

请你根据图中提供的信息,回答下列问题: (1)求出扇形统计图中 a 的值,并求出该校七年级学生总数; (2)分别求出活动时间为 5 天、7 天的学生人数,并补全频数分布直方图; (3)求出扇形统计图中“活动时间为 4 天”的扇形所对圆心角的度数; (4)如果我市共有七年级学生 6000 人,请你估计“活动时间不少于 4 天”的大约有多少人?

19、 (本题满分 8 分)如图,在与河对岸平行的南岸边有 A、B、D 三点在同一直线上,在 A 点处测得河对 岸 C 点在北偏东 600 方向;从 A 点沿河边前进 200 米到达 B 点,这时测得 C 点在北偏东 300 方向,求 河宽. C

60
0

30
0

A

B

D

20、 (本题满分 10 分)如图,直线 l 与⊙O 交于 C、D 两点,且与半径 OA 垂直,垂足为 H,已知 OD=2, ∠O=60°。 ⑴求 CD 的长; ⑵ 在 OD 的 延 长 线 上 取 一 点 B , 连 接 AB 、 AD , 若 AD = BD , 求 证 : AB 是 ⊙ O 的 切 线

O C l H A D B



21、步步高超市进了一批成本为 8 元/个的文具盒.调查发现:这种文具盒每个星期的销售量 y(个)与它 的定价 x(元/个)的关系如图所示: 销售量 y(个) 200 160 120 80 10 14 定价 x(元/个) 20 (1)求这种文具盒每个星期的销售量 0 y(个)与它的定价 x(元/个)之间的函数关系式(不必写出自 变量 x 的取值范围) ; (2)每个文具盒定价是多少元时,超市每星期销售这种文具盒(不考虑其他因素)可获得的利润最 高?最高利润是多少?

22、 (本题满分 12 分) 已知:如图 1,点 P 在线段 AB 上(AP>PB) ,C、D、E 分别是 AP、PB、AB 的中点,正方形 CPFG 和正方形 PDHK 在直线 AB 同侧. (1)求证:△EHG 是等腰直角三角形; (2)若将图 1 中的射线 PB 连同正方形 PDHK 绕点 P 顺时针旋转一个角度后,其它已知 条件不变,如图 2,判断△EHG 还是等腰直角三角形吗?请说明理由.

23、 (本题满分 14 分)如图,直线 y ? kx ? 4 与 x 、 y 轴分别交于 A、B 两点,且 tan ?BAO ? 的抛物线交 y 轴与点 C,且 OA=OC,并以直线 x ? 2 为对称轴,点 P 是抛物线上的一个动点。 (1)求直线 AB 与抛物线的解析式;

4 ,过点 A 3

(2)是否存在以点 P 为圆心的圆与直线 AB 及 x 轴都相切?若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,试说明 理由。 (3)连结 OP 并延长到 Q 点,使得 PQ=OP,过点 Q 分别作 QE⊥ x 轴于 E,QF⊥ y 轴于 F,设点 P 的横坐标 为 x ,矩形 OEQF 的周长为 y ,求 y 与 x 的函数关系。 y B C C P O A x O A x y B C F P O y B Q E A

x

数学参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,满分 40 分) 1 2 3 4 题 号 A D C D 答 案 二、填空题(每小题 5 分,满分 40 分) 9、20%; 10、140°; 11、 5 B 6 D 7 C 8 D

9 ; 4

12、

3 ; 5

13、

2 ?; 2

14、k>-1 且 k≠0; 三、解答题 17 、 解:原式=

15、3a ;

16、(16,0)

3 ? x x2 ? 9 ÷ x?2 x?2

=-

x?3 x?2 × x ? 2 ( x ? 3)(x ? 3)
1 x?3
??????4 分

=-

当 x= 2 2 时,原式=-

1 2 2 ?3

? 2 2 ?3

??????8 分

18、解:(1)a=1-(30%+15%+10%+5%+15%)=25% 20÷10%=200 人 (2) 5 天:200×25%=50 人 7 天:200× 5%=10 人 补全统计图略 (3)360°×30%=108° (4) 6000×75%=4500 人 19、 解:由题意可知 在 Rt△BCD 中,∠CBD=600,∠BCD=300 设 BD=x,则 BC=2x,CD= 3 x 在 Rt△ACD 中,∠CAD=300,∠ACD=600 ∵tan∠CAD= ??????8 分 ??????10 分 ??????12 分 ??????2 分

CD AD



3 3x ? 3 200 ? x

解得 x=100

∴CD=100 3 答:河宽 CD 为 100 3 米. 20、解:⑴∵OA⊥CD ∴∠OHD=90°,CD=2 DH 在 Rt△OHD 中, sin O ? ∵OD=2,∠O=60° ∴DH= 3 ,∴CD=2 DH= 2 3 ⑵∵OA=OD,∠O=60° ∴△AOD 为等边三角形 ∴∠OAD=∠ODA=60° ∵AD=BD ∴∠BAD=∠DBA=30° ∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=90° ∴OA⊥AB ∴AB 是⊙O 的切线 21、解: (1)设 y=kx+b. 由题意得: ? ??????4 分 ??????8 分

??????2 分

DH OD

??????6 分 ??????8 分

??????10 分

?10k ? b ? 200 ?14k ? b ? 160

??????2 分

解之得:k=-10;b=300. ??????4 分 ∴y=-10x+300. ??????5 分 (2)由上知超市每星期的利润: W=(x-8)·y=(x-8)(-10x+300) ??????7 分 2 =-10(x-8)(x-30)=-10(x -38x+240) =-10(x-19)2+1210. ??????9 分 ∴当 x=19 即定价 19 元/个时超市可获得的利润最高,最高利润为 1210 元. ??????10 分 22、 ⑴ 证明:∵C、D、E 分别是 AP、PB、AB 的中点, ∴CE=AE-AC=

1 1 1 1 AB- AP= (AB-AP)= BP=DP. 2 2 2 2

??????2 分

∴ CE+EP=DP+EP,即 CP=DE. ∵四边形 CPFG 和 PDHK 都是正方形, ∴在△CEG 和△DHE 中, CE= DP=DH,CG=CP=DE, ∠GCE=∠EDH=90°. ∴△CEG≌△DHE . ∴EG= HE,∠EGC =∠HED. ???????4 分

而∠EGC+∠CEG=90°, ∴∠HED+∠CEG=90°. ∴∠GEH=90°. 又∵EG= HE, ∴△EHG 是等腰直角三角形. ???????6 分

⑵ △EHG 还是等腰直角三角形. 理由如下: 联结 CE、ED,得□CEDP, 可知∠PCE=∠PDE. 进而得∠GCE=∠EDH, 再由 CE=

????????8 分

1 BP=DP=DH, 2 1 CG=CP= AP=DE, 2
???????10 分

仍可证△CEG≌△DHE . ∴EG= HE,∠EGC =∠HED. 如图,设 EG 和 CP 相交于 M, 则∠GEH=∠GED-∠HED, =∠GMP-∠EGC =∠GCM =90° ∴ △EHG 是等腰直角三角形..

???????12 分

23、解: (1)B(0,4) ,OB=4,OA=3,OC=3, 直线解析式为: y ? ?

??????1 分 ??????2 分 ??????4 分

4 x?4, 3
2

抛物线的解析式为: y ? x ? 4 x ? 3 ;

( 2 ) 若 ⊙ P 与 直 线 AB 及 x 轴 都 相 切 , 则 点 P 在 ∠ BAO 或 它 的 外 角 的 平 分 线 所 在 的 直 线 上。 ??????5 分

①设∠BAO 的平分线交 y 轴于 D,过 D 作 DH⊥AB 于 H,则 DH=DO=m,BD=4-m, ,AH=AO=3,BH=5-3=2

在 Rt△BHD 中, BD ? BH ? DH 即 (4 ? m) 2 ? m 2 ? 2 2 ,
2 2 2

解得: m ?

3 即 D(0,1.5) 2 1 3 x? , 2 2

??????6 分 ??????7 分

则直线 AD 的解析式为: y ? ?

1 ? x2 ? x ? 3 ? ? 1 2 ,即 P( 1 , 5 ) 将其与抛物线的解析式 y ? x 2 ? 4 x ? 3 联立解得: ? ,? 2 4 ? y1 ? 0 ? y ? 5 2 4 ?
??????8 分 ②设∠BAO 的平分线交 y 轴于 G,则 AG⊥AD 于 A,则△DOA∽△AOG,故 OG=2OA=6 即 G(0, -6)直线 DG 解析式为: y ? 2 x ? 6 将其与抛物线的解析式 y ? x 2 ? 4 x ? 3 联立解得: ? 综上所述:存在点 P( ??????9 分

? x1 ? 3 , ? y1 ? 0

??????10 分

1 5 , ) ,使⊙P 与直线 AB 及 x 轴都相切 2 4

(3)过 P 作 PM⊥ x 轴于 M,显然 PM 是 Rt△OQE 的中位线,即 OE=2OP=2 x ,QE=2PM
2 2 2 点 P 在抛物线 x ? 4 x ? 3 上,则 P( x , x ? 4 x ? 3 ) ,QE=2PM=2 x ? 4 x ? 3

① 当 x <0 时, x ? 4 x ? 3 >0,OE=-2 x , y =2[-2 x +2( x ? 4 x ? 3 )]= 4 x ? 20x ? 12
2 2 2

②当 1< x <3 时, x ? 4 x ? 3 <0, y =2[2 x -2( x ? 4 x ? 3 )]= ? 4 x ? 20x ? 12
2 2 2

③当 0< x <1 或 x >3 时, x ? 4 x ? 3 >0, y =2[2 x +2( x ? 4 x ? 3 )]= 4 x ? 12x ? 12
2 2 2

??????14 分


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