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椭圆的定义、标准方程、几何性质


教师姓名 年级 阶段

黄小华 高二

学生姓名 学科 数学 )

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2014-012014-01第( )次课 )次课

基础 ( √ ) 提高 ( √ ) 强化 (

共( 1、掌握椭圆的定义及其性质; 2、掌握椭圆有关概念(长半轴、短半轴、离心率等等); 3、熟练运用椭圆的性质解决最值问题; 4、灵活解决直线与椭圆的相关问题(弦长问题)。

教学目标

重难点

1、椭圆的第一定义和第二定义的灵活运用; 2、椭圆有关概念(长半轴、短半轴、离心率等等)的综合理解; 3、运用椭圆的性质解决最值问题; 4、直线与椭圆的相关问题的综合运用(高考重点)。

课后作业:

根据学生上课接受情况布置相关作业

教师评语 及建议:

科组长签字:

1

2

椭圆知识点
知识要点小结: 知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) , 这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ; 若 ( PF1 ? PF2 ? F1 F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形. 知识点二:椭圆的标准方程 1. 当焦点在 x 轴上时, 椭圆的标准方程:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 a2 b2

y2 x2 2 2 2 2. 当焦点在 y 轴上时, 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 其中 c ? a ? b ; a b
3.椭圆的参数方程 ?

? x ? a cos? (?为参数) ? y ? b sin ?

注意:1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得 到椭圆的标准方程; 2.在椭圆的两种标准方程中,都有 (a ? b ? 0) 和 c ? a ? b ;
2 2 2

3.椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (c,0) , (?c,0) ; 当焦点在 y 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (0, c ) , (0,?c) 知识点三:椭圆的简单几何性质 椭圆:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的简单几何性质 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) :说明:把 x 换成 ? x 、或把 y 换 a2 b2

(1)对称性:对于椭圆标准方程

x2 y2 成 ? y 、或把 x 、 y 同时换成 ? x 、 ? y 、原方程都不变,所以椭圆 2 ? 2 ? 1 是以 x 轴、 a b
并且是以原点为对称中心的中心对称图形, 这个对称中心称为 y 轴为对称轴的轴对称图形, 椭圆的中心。
3

(2)范围: 椭圆上所有的点都位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足

x ? a, y ? b。
(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

x2 y2 ②椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点, 坐标分别为 a b

A1 (?a,0) , A2 (a,0) , B1 (0,?b) , B2 (0, b)
③线段 A1 A2 ,B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2

? 2a , B1 B2 ? 2b 。a 和

b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
(4)离心率: ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ?

2c c ? 。 2a a

②因为 (a ? c ? 0) ,所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。 e 越接近 1,则 c 就越接近 a , 从而 b ?

a 2 ? c 2 越小,因此椭圆越扁;反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接

近于 a ,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形变 为圆,方程为 x ? y ? a 。注意:
2 2

x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 的图像中线段的几何特征(如下 a b

图):(1) ( PF1

? PF2

? 2a ) ;

PF1 PM 1

?

PF2 PM 2

? e;

( PM1 ? PM 2

2a 2 ? ); c

(2) ( BF1 (3) A1 F1

? BF2

? a ) ; ( OF1 ? OF2

? c) ; A1 B ? A2 B ? a 2 ? b 2 ;

? A2 F2 ? a ? c ; A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c ; a ? c ? PF1 ? a ? c ;

知识点四:椭圆第二定义 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ,那么这个 点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

4

左准线 l1 : x ? ?

a2 c

右准线 l 2 : x ?

a2 c

知识点五:椭圆的焦半径公式: (左焦半径) r1 ? a ? ex0 (右焦半径) r2 ? a ? ex0 其中 e 是离心率
王新敞
奎屯 新疆

焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式:

? MF1 ? a ? ey0 ( 其中 F1 , F2 分别是椭圆的下上焦点) ? ? MF2 ? a ? ey0
知识点六:直线与椭圆问题(韦达定理的运用)

王新敞
奎屯

新疆

弦长公式:若直线 l : y ? kx ? b 与圆锥曲线相交与 A 、 B 两点, A(x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 弦长 AB ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? (kx 1 ? kx 2 ) 2 ? 1 ? k 2 x1 ? x 2

? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

x2 y2 y2 x2 知识点七:椭圆 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的区别和联系 a b a b

标准方程

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0)

图形

焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长

F1 (?c,0) , F2 (c,0)

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

F1 F2 ? 2c x ? a, y ? b
关于 x 轴、 y 轴和原点对称

F1 F2 ? 2c x ?b, y ? a

性质

(? a,0) , (0,?b)
长轴长= 2 a ,短轴长= 2b
5

(0,? a) , (?b,0)

离心率

e?

c (0 ? e ? 1) a

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

焦半径

PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0

PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0

注意:椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的相同点:形状、大小都相同;参数间 , a2 b2 a2 b2

的关系都有 (a ? b ? 0) 和 e ? 它们的焦点坐标也不相同。

c (0 ? e ? 1) ,a 2 ? b 2 ? c 2 ;不同点: 两种椭圆的位置不同; a

规律方法:
1.如何确定椭圆的标准方程? 任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称 轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件 a , b ;一个定位条件焦点坐标, 由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量 a , b, c 的几何意义 椭圆标准方程中,a , b, c 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定 的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:

(a ? b ? 0) , (a ? c ? 0) ,且 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 。
可借助右图理解记忆: 显然: a , b, c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中 a 是斜边,b、c 为两条 直角边。 3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看 x , y 的分 母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
2

2

6

4.方程 Ax2 ? By2 ? C( A, B, C均不为零) 是表示椭圆的条件 方程 Ax2 ? By 2 ? C 可化为

x 2 By 2 Ax 2 By 2 ? ? 1 ,所以只有 A、B、C 同 ? ? 1 ,即 C C C C A B
C C C C ? 时,椭圆的焦点在 x 轴上;当 ? 时,椭圆 A B A B

号,且 A ? B 时,方程表示椭圆。当 的焦点在 y 轴上。

5.求椭圆标准方程的常用方法: ①待定系数法: 由已知条件确定焦点的位置, 从而确定椭圆方程的类型, 设出标准方程, 再由条件确定方程中的参数 a , b, c 的值。其主要步骤是“先定型,再定量”; ②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。 6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

x2 y2 共 焦 点 , 则 c 相 同 。 与 椭 圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可 设 为 a b x2 y2 ? ? 1 (m ? ?b 2 ) ,此类问题常用待定系数法求解。 2 2 a ?m b ?m
7.判断曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的依据: ① 若把曲线方程中的 x 换成 ? x ,方程不变,则曲线关于 y 轴对称; ② 若把曲线方程中的 y 换成 ? y ,方程不变,则曲线关于 x 轴对称; ③ 若把曲线方程中的 x 、 y 同时换成 ? x 、 ? y ,方程不变,则曲线关于原点对称。 8.如何求解与焦点三角形△PF1F2(P 为椭圆上的点)有关的计算问题? 思路分析: 与焦点三角形△PF1F2 有关的计算问题时, 常考虑到用椭圆的定义及余弦定理 (或 勾股定理)、三角形面积公式 S ?PF1F2 ? 算解题。 将有关线段 PF PF2 、 F1 F2 ,有关角 ?F1 PF2 ( ?F1 PF2 ? ?F1 BF2 )结合起来,建立 1、

1 PF1 ? PF2 ? sin ?F1 PF2 相结合的方法进行计 2

PF1 ? PF2 、 PF1 ? PF2 之间的关系.
9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系? 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。 离心率 e ?

c 2 2 2 (0 ? e ? 1) , 因为 c ? a ? b , a

a ? c ? 0 ,用 a、 b 表示为 e ? 1 ? ( ) 2 (0 ? e ? 1) 。
显然:当

b a

b b 越小时, e(0 ? e ? 1) 越大,椭圆形状越扁;当 越大, e(0 ? e ? 1) 越小,椭 a a

圆形状越趋近于圆。
7

课堂练习:
一、椭圆的定义 例 1、已知 F1(-8,0),F2(8,0),动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16,则点 P 的轨迹为( A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 )

x2 y2 ? ? 1 左右焦点为 F1、F2,CD 为过 F1 的弦,则⊿CDF2 的周长为______ 例 2、椭圆 16 9
二、椭圆的标准方程 例 3、已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是( 1? k 1? k
B k>0
2
2

) D k>1 或 k<-1 .

A -1<k<1 例 4、已知方程

C k≥0

y x + =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围为 m ?1 2 ? m

例 5、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为 10,短轴长为 6 (2)长轴是短轴的 2 倍,且过点(2,1) (3) 经过点(5,1),(3,2)

例 6、若⊿ABC 顶点 B、C 坐标分别为(-4,0),(4,0),AC、AB 边上的中线长之和为 30, 求⊿ABC 的重心 G 的轨迹方程和顶点 A 的轨迹。

8

例 7、 已知动圆 P 过定点 A?? 3, 0? ,且在定圆 B: ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,求
2

动圆圆心 P 的轨迹方程.

例 8、已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 过 P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

4 5 2 5 和 , 3 3

9

三、离心率 例 9、椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别是 F1、F2,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 a 2 b2

于 P 点。若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为_________

例 10、 已知正方形 ABCD, 则以 A、 B 为焦点, 且过 C、 D 两点的椭圆的的离心率为_______

例 11、椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与 x 轴正向交于点 A ,若这个椭圆上总存在点 P ,使 a 2 b2

OP ? AP ( O 为坐标原点),求其离心率 e 的取值范围.

10

四、最值问题 例 12、椭圆

x2 ? y 2 ? 1 两焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,则|PF1|·|PF2|的最大值为_____, 4

最小值为_____

x2 y2 ? ? 1 两焦点为 F1、F2,A(3,1)点 P 在椭圆上,则|PF1|+|PA|的最大值为 例 13、椭圆 25 16
_____,最小值为_____

例 14、已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 ,A(1,0),P 为椭圆上任意一点,求|PA|的最大值和最小值。 4

五、椭圆第二定义 例 15、已知椭圆

x2 y ? ? 1 , F1 、 F2 为两焦点,问能否在椭圆上找一点 M ,使 M 到左 4 3

2

准线 l 的距离 MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项?若存在,则求出点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由.

11

六、直线和椭圆 例 16、已知直线 l:y=2x+m,椭圆 C: (1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点.

x2 y2 ? ? 1 ,试问当 m 为何值时: 4 2

例 17、已知斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 AB 的长.

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,交椭圆于 A、B 两点,求弦 4

12

例 18、已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

例 19、已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l:y=kx+1,与 C 交于 AB 两点,k 为何值时,OA⊥OB 4

13

例 20、 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y2 ? 1 , (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; 2 ? 2 2?

(2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP ? k OQ ? ? 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

1 , 2

14

例 21、已知直线 l:y=2x+m 与椭圆 C: (1) 求 m 的取值范围 (2) 若|AB|=

x2 y2 ? ? 1 交于 A、B 两点 5 4

5 15 ,求 m 的值 6

例 22、斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C: 的方程.

x2 y2 ? ? 1 交于 A、B 两点,且 OA OB ? 0 ,求直线 l 5 4

15

课后练习: 1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是 25 169

, 离心率是________,准线方程是_________.

2.已知 F1、F2 是椭圆 的周长为( A.8
2 2

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 M、N 两点,则△MNF2 16 9

) B.16 C.25 D.32 )

3.椭圆 A.5

x y ? ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为( 25 9
B.6
2 2

C.4

D.10

x y ? ? 1 ,那么它的焦距是 ( ) 20 11 A.6 B.3 C.3 31 D. 31 2 2 5.如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是
4.已知椭圆方程为 A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) ) 6. 设 F1 , F2 为定点, | F1 F2 |=6, 动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 6 , 则动点 M 的轨迹是 ( A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 7.已知椭圆的两个焦点坐标是 F1(-2,0) ,F2(2,0) ,并且经过点 P( 准方程是__ ___
王新敞
奎屯 新疆

5 3 ,则椭圆标 ,? ) 2 2
__

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点相同的椭圆标准方程是__ 6 9 9.过点 P( 3 ,-2) ,Q(-2 3 ,1)两点的椭圆标准方程是_ __ ___
8.过点 A(-1,-2)且与椭圆
新疆 奎屯

王新敞
奎屯

新疆

王新敞

10.若椭圆

1 y x ? ? 1 的离心率是 ,则 k 的值等于 2 k ?8 9

2

2

.

x2 2 11.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 3 一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 . 12.F1、F2 分别为椭圆 角形,则 b 的值是 13.设 M 是椭圆
? x2 y2 ? ? 1 上一点,F1、F2 为焦点, ?F1 MF2 ? ,则 S ?MF1F2 ? 6 25 16
2

x2 y2 + 2 =1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 3 的正三 2 a b

14.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭 圆的离心率为

(A) 2

2 (B) 2

(C)

1 2

2 (D) 4

16

x2 y 2 9 ? ?1 A( x1 , y1 ), B (4, ), C ( x2 , y2 ) 5 15. 设 是右焦点为 F 的椭圆 25 9 上三个不同的点,则


AF , BF , CF

成等差数列”是“

x1 ? x2 ? 8 ”的(



(A)充要条件 (C)充分不必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既非充分也非必要

x2 y 2 ? ?1 16.如图,把椭圆 25 16 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上
半部分于 点,则

P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点, F 是椭圆的一个焦

PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?
。 ;

17、已知定点 A(a,0) ,其中 0 ? a ? 3 ,它到椭圆 求 a 的值。

x2 y2 ? ? 1 上的点的距离的最小值为 1, 9 4

18、已知F1?F2是椭圆 (1)若∠F1PF2=

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P是椭圆上任一点. 100 64

? ,求△F1PF2的面积。 3

(2)求|PF1|· |PF2|的最大值。

17


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