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第5篇 第3讲等比数列及其前n项和


第3讲 等比数列及其前n项和
[最新考纲] 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式及前 n项 和公式.

2 .能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有
关知识解决相应的问题. 3.了解等比数列与指数函数的关系.

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知识梳理
1.等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义

2 项起,每一项与它的前一项的比都等 如果一个数列从第___ 同一个 非零常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常 于________ 公比 ,公比通常用字母 q(q≠0)表示. 数叫作等比数列的______
an q (n≥2),q 为常数. 数学语言表达式: =___ an-1

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(2)等比中项

等比数列 , 如果在 a 与 b 中插入一个数 G, 使得 a, G, b 成___________
G b 那么根据等比数列的定义, = ,G2=ab,G=± ab,那么 a G G 叫作 a 与 b 的等比中项.

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2.等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为 a1,公比是 q,则其通项公式为
n-1 a q 1 an=_____________;

若等比数列{an}的第 m 项为 am,公比是 q,则其第 n 项 an
n-m a q m 可以表示为 an=____________ .

(2)等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 a1?1-qn? a1-anq 1 - q 时,Sn=_____________= . 1-q

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3.等比数列及前 n 项和的性质 (1)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则
am· an . ak· al=_______

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即 ak,ak+m,

qm . ak+2m,?仍是等比数列,公比为____
(3)当 q≠-1,或 q=-1 且 n 为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-
qn . S2n 仍成等比数列,其公比为____
? ?1? ? ? (4)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), a ?, ? ? n? ? ?an? 2 {an},{an· bn},?b ?仍是等比数列. ? ? n? ?
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辨析感悟
1.对等比数列概念的理解 (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的比都是常 数,则这个数列是等比数列. (2)三个数 a,b,c 成等比数列的充要条件是 b2=ac. ( ×) ( ×)

a (3)若三个数成等比数列, 那么这三个数可以设为q, a, aq.(√ )

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2.通项公式与前 n 项和的关系 (4) 数列 {an} 的通项公式是 an = an ,则其前 n 项和为 Sn = a?1-an? . 1-a (×)

2 (5)(2013· 新课标全国Ⅰ卷改编)设首项为 1, 公比为 的等比数 3 列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=3-2an. (√ )

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3.等比数列性质的活用 (6)如果数列{an}为等比数列, 则数列{ln an}是等差数列. ( ×) (7)(2014· 宜春模拟改编)在等比数列{an}中,已知 a7· a12=5, 则 a8a9a10a11=25. (√ ) (× )

(8)数列{an}为等比数列,则 S4,S8-S4,S12-S8 成等比数列.

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[感悟· 提升]

1 . 一个区别

等差数列的首项和公差可以为零,且等差中

项唯一;而等比数列首项和公比均不为零,等比中项可以 有两个值.如(1)中的“常数”,应为“同一非零常数”; (2) 中,若 b2 = ac ,则不能推出 a, b ,c 成等比数列,因为 a,b,c为0时,不成立.

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2. 两个防范

一是在运用等比数列的前 n 项和公式时, 必须注

意对 q=1 或 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一特殊情 形而导致解题失误,如(4). an+1 二是运用等比数列的性质时, 注意条件的限制, 如(6)中当 a n =q<0 时, ln an+1-ln an=ln q 无意义; 而(8)中当 q=-1 时, S4=0,所以 S4,S8-S4,S12-S8 不能构成等比数列.

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考点一 等比数列的判定与证明
【例 1】 (2013· 宜川中学模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 对于任意的正整数 n 都有 Sn=2an-3n,设 bn=an+3. 求证:数列{bn}是等比数列,并求 an.
证明 由 Sn=2an-3n 对于任意的正整数都成立, 得 Sn+1=2an+1-3(n+1), 两式相减,得 Sn+1-Sn=2an+1-3(n+1)-2an+3n, 所以 an+1=2an+1-2an-3,即 an+1=2an+3,

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bn+1 an+1+3 所以 an+1+3=2(an+3), 即 = =2 对一切正整数都 bn an+3 成立,所以数列{bn}是等比数列. 由已知得:S1=2a1-3, 即 a1=2a1-3,所以 a1=3, 所以 b1=a1+3=6,即 bn=6· 2n-1. 故 an=6· 2n 1-3=3· 2n-3.


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规律方法

证明数列{an}是等比数列常用的方法:一是定义

an 法,证明 =q(n≥2,q 为常数);二是等比中项法,证明 an-1 a2 an+1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反 n=an-1· 例即可,也可以用反证法.

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【训练 1】 (2014· 镇安中学模拟)已知数列{an}和{bn}满足:a1 2 =λ,an+1=3an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中 λ 为实 数,n 为正整数. (1)对任意实数 λ,证明:数列{an}不是等比数列; (2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.
(1)证明 假设存在一个实数 λ, 使{an}是等比数列, 则有 a2 2= 9=

?2 ? ?4 ? 4 2 4 2 2 a1a3,即?3λ-3? =λ?9λ-4?,故 λ -4λ+9= λ -4λ,即 9 9 ? ? ? ?

0,矛盾,所以{an}不是等比数列.

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(2) 解
1

因为 bn + 1 = ( - 1)n + 1[an + 1 - 3(n + 1) + 21] = ( - 1)n +

?2 ? 2 2 n ? an-2n+14?=- (-1) (an-3n+21)=- bn. 3 3 ?3 ?

又 b1=-(λ+18),所以当 λ=-18 时, bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列; 2 当 λ≠-18 时,b1=-(λ+18)≠0,由 bn+1=-3bn. bn+1 2 可知 bn≠0,所以 =- (n∈N+).故当 λ≠-18 时, bn 3 2 数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-3为公比的等比数列.
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考点二 等比数列基本量的求解
【例 2】 (2013· 湖北卷)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和, S4, S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2 013?若存在,求出符合条 件的所有 n 的集合;若不存在,说明理由.

审题路线 (1)设数列{an}的首项为 a1,公比为 q?由已知联 立方程组?解方程组可得 a1,q?得出 an. (2)由(1)求 Sn?代入 Sn≥2 013?对 n 进行分类?结论.

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(1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.
2 3 2 ? ?-a1q -a1q =a1q , 即? 2 ? a q ? 1 + q + q ?=-18, ? 1

? ?S2-S4=S3-S2, 由题意得? ? ?a2+a3+a4=-18. ? ?a1=3, 解得? ? ?q=-2.

故数列{an}的通项公式为 an=3(-2)n-1.

3· [1-?-2?n] (2)由(1)有 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2? 若存在 n,使得 Sn≥2 013, 则 1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012.

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当 n 为偶数时,(-2)n>0.上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012, 即 2n≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为 {n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.

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规律方法

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本

问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公 式并能灵活运用,尤其需要注意的是,在使用等比数列的前 n 项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代 换思想简化运算过程.

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【训练 2】 (1)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且
? ?1? ? ? 9S3=S6,则数列 a ?的前 ? ? n? ?

5 项和为________.

(2)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=________.
9?1-q3? 1-q6 解析 (1)显然公比 q≠1,由题意可知 = ,解得 1-q 1-q
? ?1? ? ? q=2,则数列 a ?是以 ? ? n? ?

1 1 为首项,2为公比的等比数列,由求 31 5 项和 T5=16.
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? ?1? ? ? 和公式可得数列 a ?的前 ? ? n? ?

a1q3=1, ?a1q· ? (2)显然公比 q≠1,由题意得?a1?1-q3? =7, ? 1 - q ? a =4, a =9, ? ? ? 1 ? 1 解得? 1 或? 1 (舍去), q= q=- ? ? 2 3 ? ? a1?1-q5? ∴S5= = 1-q
? 1? 4?1-25? ? ?

31 1 =4. 1-2

31 31 答案 (1)16 (2) 4

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考点三 等比数列性质的应用

【例 3】 (1)(2012· 新课标全国卷)已知{an}为等比数列,a4+a7 =2,a5a6=-8,则 a1+a10= A.7 C.-5 B.5 D.-7 ( ).

S10 31 (2)等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若 S =32, 5 则公比 q=________.

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解析

? ?a4+a7=2, (1) 由 已 知 得 ? ? ?a5a6=a4a7=-8,

? ?a4=4, 解得? ? ?a7=-2



? ?a4=-2, ? ? ?a7=4.

当 a4=4,a7=-2 时,易得 a1=-8,a10=1,从而 a1+a10 =-7; 当 a4=-2,a7=4 时,易得 a10=-8,a1=1,从而 a1+a10 =-7.

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S10-S5 S10 31 1 (2)由 S =32,a1=-1 知公比 q≠1,则 S =-32. 5 5 由等比数列前 n 项和的性质知 S5,S10-S5,S15-S10 成等比 1 1 数列,且公比为 q ,故 q =- ,q=- . 32 2
5 5

1 答案 (1)D (2)-2

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规律方法

熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度,

历年高考对等比数列的性质考查较多,主要是考查 “ 等积

性”,题目“小而巧”且背景不断更新.解题时要善于类比
并且要能正确区分等差、等比数列的性质,不要把两者的性 质搞混.

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【训练 3】 (1)已知 x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3 成等比 数列,则 xyz 的值为 A.-3 C.-3 3 B.± 3 D.± 3 3 ( ).

(2)(2014· 昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3= 2-1,a5= 2+1,则 a2 3+2a2a6+a3a7= A.4 C.8 B.6 D.8-4 2 ( ).

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解析 (1)由等比中项知 y2=3,∴y=± 3, 又∵y 与-1,-3 符号相同,∴y=- 3,y2=xz, 所以 xyz=y3=-3 3.
2 (2)由等比数列性质,得 a3a7=a2 , a a = a a ,所以 a 5 2 6 3 5 3+2a2a6 2 2 2 + a3a7 = a 2 3 + 2a3a5 + a 5 = (a3 + a5) = ( 2 - 1 + 2 + 1) =

(2 2)2=8.

答案 (1)C (2)C

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1.等比数列的判定方法有以下几种: an+1 (1)定义: a =q(q 是不为零的常数,n∈N+)?{an}是等 n 比数列. (2)通项公式:an=cqn 1(c、q 均是不为零的常数,n∈N+)


?{an}是等比数列. (3)等比中项法: a2 an+2(an· an+1· an+2≠0, n∈N+)?{an} n+1=an· 是等比数列.

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2.方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解

等比数列问题的基本方法:在a1,q,n,an,Sn五个量中,知
三求二. 3.在求解与等比数列有关的问题时,除了要灵活地运用 定义和公式外,还要注意性质的应用,以减少运算量而提高 解题速度.

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教你审题6——如何确定数列中的项
【典例】 (2012· 山东卷)在等差数列{an}中, a3+a4+a5=84 , a9=73.? (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N+, 将数列{an}中落入区间?9m,92m?内的 项的个数记为bm? ,求数列{bm}的前 m 项和 Sm.

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[审题]

一审条件?:根据性质转化为先求 a4,再结合 a9 求

a1 和 d. 二审条件?:转化为求{bm}的通项公式,尽而再求 Sm. 三审结构:由 9m<an<92m 得 9m-1+1≤n≤92m-1.

解 (1)由 a3+a4+a5=84,可得 3a4=84,即 a4=28,而 a9 =73,则 5d=a9-a4=45,即 d=9.又 a1=a4-3d=28-27 =1,所以 an=1+(n-1)×9=9n-8,即 an=9n-8(n∈N+). (2)对任意 m∈N+,9m<9n-8<92m,则 9m+8<9n<92m+8, 即9
-1

m-1

8 8 - 2m-1 +9<n<9 +9,而 n∈N+,所以 9m 1+1≤n≤92m

.
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由题意,可知 bm=92m 1-9m 1.
- -

于是 Sm=b1+b2+?+bm=91+93+?+92m 1-(90+91+?


+ 9m



2m+1 m 2m+1 m 9 - 9 1 - 9 9 - 9 9 -1 1 ) = - = - = 80 8 1-92 1-9

92m+1-10×9m+1 92m+1-10×9m+1 ,即 Sm= . 80 80
[反思感悟] 本题第(2)问设置了落入区间内的项构成新数列, 这是对考生数学能力的挑战,由通项公式及已知区间建立不 等式求项数,进而得到所求数列{bm}的通项公式是解答该问 题的核心与关键.
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【自主体验】 (2014· 安康中学模拟 ) 已知点 (1,2) 是函数 f(x) = ax(a > 0 ,且 a≠1)的图像上一点,数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n)-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}前 2 013 项中的第 3 项,第 6 项,?,第 3k 项 删去,求数列{an}前 2 013 项中剩余项的和.
解 (1)把点(1,2)代入函数 f(x)=ax,得 a=2. ∴Sn=f(n)-1=2n-1, 当 n=1 时,a1=S1=21-1=1,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (2n-1)-(2n 1-1)=2n
- -1

, 经验证可知 n=1 时, 也适合上式,
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∴an=2n 1.


(2)由(1)知数列{an}为等比数列,公比为 2,故其第 3 项,第 6 项,?,第 2 013 项也为等比数列,首项 a3=23 1=4,公


比 23=8, a2 013=22 102=4×8671-1 为其第 671 项, ∴此数列的 4?1-8671? 4?22 013-1? 和为 = ,又数列{an}的前 2 013 项和为 7 1-8 1×?1-22 013? 2 013 S2 103= =2 -1, 1-2
2 013 2 013 4 ? 2 - 1 ? 3 ? 2 -1? 2 013 ∴所求剩余项的和为(2 -1)- = . 7 7

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