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江苏省扬州中学2015届高三4月双周测试数学试题解析(解析版)


江苏省扬州中学 2015 届高三 4 月双周测 数学试题

一、选择题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
0 1 2} ,则 A 1.已知集合 A ? {x x ? 0} , B ? {?1,,,
B 等于




/>
【答案】 ?1, 2? 【解析】 试题分析: A

B ? {1, 2}

考点:集合的运算. 2.已知虚数 z 满足 2 z ? z ? 1 ? 6i ,则 | z | ? 【答案】 5 【解析】 试题分析:设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 2( a ? bi) ? (a ?bi ) ?1 ? 6i ,整理得 a ? 3bi ? 1 ? 6i ,所以 ? ▲ .

?a ? 1 , ?3b ? 6

即?

?a ? 1 , z ? 1 ? 2i ? 5 .学科网 ?b ? 2

考点:复数的运算. 3.抛物线 y ? 2 x 2 的准线方程为 【答案】 y ? ? 【解析】 试题分析:标准方程为 x ?
2





1 8

1 1 1 1 y , 2 p ? , p ? ,所以其准线方程为 y ? ? . 2 2 4 8

考点:抛物线的性质. 4.函数 f ( x) ? x ? 2ln x 的单调递减区间为 【答案】 (0, 2) 【解析】 ▲ .

试题分析: f '( x) ? 1 ?

2 x?2 x?2 ? ? 0 的解集为 0 ? x ? 2 ,即减区间为 ,由于 x ? 0 ,所以 f '( x) ? x x x

(0, 2) .
考点:导数与单调性. 5.某射击运动员在四次射击中分别打出了 10,x,10,8 环的成绩,已知这组数据的平 均数为 9,则这组数 据的标准差是 【答案】1 【解析】 试题分析:由 ▲ .

10 ? x ? 10 ? 8 1 ? 9 ,得 x ? 8 , s ? [(10 ? 9)2 ? (8 ? 9)2 ? (10 ? 9) 2 ? (8 ? 9) 2 ] ? 1 4 4

考点:方差与标准差. 6.已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,则它们之间的距离是 【答案】2 【解析】 试题分析: 由题意 学科网 考点:两直线平行,平行线间的距离. 7.角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(1, 2) ,则 cos(? ? ? ) 的值是 ▲ ▲ .

?3 ? 7 3 4 m?8, ? , 4 y7 ? 0? , 所以直线方程为 6 x ? 8 y ? 14 ? 0 , 即 3x ? d? ? 2. 6 m 32 ? 42

【答案】 ? 【解析】

5 5

试题分析:由已知 cos ? ?

5 1 5 , cos(? ? ? ) ? ? cos ? ? ? . ? 5 5 5

考点:三角函数的定义,诱 导公式. 8.若 一个正四棱锥的底面边长为 2cm ,侧棱长为 3cm,则它的体积为 【答案】 【解析】 ▲ cm3.

4 7 3

2 试题分析:由题意正四棱锥的高为 h ? 3 ? ( 2) ? 7 ,底面积为 S ? 2 ? 4 ,因此 V ?
2 2

1 4 7 Sh ? 3 3

考点:棱锥的体积, 9.若实数 a , b 满足 ? ?b ? a ? 1 ? 0 ,则
?a ? 1 ? ?a ? b ? 2 ? 0

a ? 2b 的最大值为_____▲____. 2a ? b

【答案】 【解析】

7 5
1 3 2 2

试题分析:作出约束条件表示的可行域,如图 ?ABC 内部(含边界) , A( , ) , C (1,1) ,设 P (a, b) 是可

3 b 1 行域内任一点,则 kOP ? 的最大值为 kOA ? 2 ? 3 ,最小值为 kOC ? ? 1 , 1 a 1 2 b a ? 2b 7 a ? 2b 3a 3 ,可见当 取最大值 3 时, 也取最大值为 . ? 2? ? 2? b a 2a ? b 5 2a ? b 2a ? b 2? a

考点:线性规划的应用. 10.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分 别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次得到的点数 m 、 n 分 .. 别作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 不在直线 x ? y ? 5 下方的概率为 ▲ . 【答案】 【解析】 试题分析:由题意点 P( x, y) 共有 6 ? 6 ? 36 个,由于满足 x ? y ? 5 的点有 (1,1),(1, 2),(1,3),(2,1), (2, 2),

5 6

(3,1) 共 6 个,因此题意要求 x ? y ? 5 的点有 30 个,因此所求概率为 P ?

30 5 ? . 36 6

考点:古典概型. 11.已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? ax ? 1 ,若存在 ? ? ( ____▲_____. 【答案】 (2, 2 2) 【解析】 试题分析:由题意 sin ? ? cos ? ?

? ?

, ) ,使 f (sin ? ) ? f (cos ? ) ,则实数 a 的取值范围 4 2

a ? ? ? , a ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 2 2 sin(? ? ) ,因为 ? ? ( , ) ,所以 2 4 4 2

??

?

? 3? ? 2 ? ( , ) , sin(? ? ) ? ( ,1) ,从而 a ? (2, 2 2) . 4 2 4 4 2

考点:二次函数的对称性,三角函数的值域. 12.已知点 A(?2, 0), B(4, 0) ,圆 C : ( x ? 4) ? ( y ? b) ? 16, 点 P 是圆 C 上任意一点,若
2 2

PA 为定值,则 PB

b ? ____▲____.
【答案】0 【解析】 试题分析:设 P( x, y) ,

( x ? 2)2 ? y 2 PA ? k ,则 ? k ,整理得 PB ( x ? 4) 2 ? y 2

(1 ? k 2 ) x2 ? (1 ? k 2 ) y 2 ? (4 ? 8k 2 ) x ? 4 ?16k 2 ? 0 ,又 P 是圆 C 上的任意一点,故 k ? 1 ,圆 C 的一般方
4 ? 8k 2 4 ? 16k 2 ? 8, ? b2 ,解得 b ? 0 . 程为 x ? y ? 8x ? 2by ? b ? 0 ,因此 2b ? 0 , 2 2 1? k 1? k
2 2 2

考点:圆的方程. 13.在正项等比数列 {an } 中, a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? 5 ,则 a5 ? a6 的最小值为____▲___. 【答案】20 【解析】 试题分析:设 a3 ? a4 ? x ,则 a1 ? a2 ? x ? 5 ? 0 ,由于 {an } 是等比数列,所以 a1 ? a2 , a3 ? a4 , a5 ? a6 也成 等比数列,因此 a5 ? a6 ?

25 (a3 ? a4 )2 25 x2 25 ? ( x ? 5) ? ? 10 ? 2 ( x ? 5) ? ? 10 ? ? x ?5? x ?5 x ?5 a1 ? a2 x ?5 x ?5

? 20 ,当且仅当 x ? 5 ?

25 ,即 x ? 10 时等号成立,故 a5 ? a6 的最小值为 20. x?5

考点:等比数列的性质,基本不等式. 14.已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,不等式 f ( x) ? ax cos x 在 [0, _____▲______. 【答案】 a ? 2

?
2

] 上恒成立,则实数 a 的取值范围为

考点:不等式恒成立,函数的单调性.

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分 14 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是平行四边形.
源:

(1)若 CF⊥AE,AB⊥AE,求证:平面 ABFE⊥平面 CDEF; (2)求证:EF//平面 ABCD. E F

D

C

A 【答案】证明见解析.

B
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

【解析】 试题分析: (1)要证面面垂直,一般要证线面垂直,本题中有 CF ? AE, AB ? AE ,其中 AB ? AE 可得

CD ? AE ,从而有 AE ? 平面 CDEF ,由此可得结论; (2)由 AE ? 平面 CDEF 得 AE ? EF ,又
AE ? AB ,故得 EF // AB ,从而有线面平行,也可由 AB // CD 得 AB // 平面 CDEF ,再得 EF // AB .
试题解析: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD,又∵AB⊥AE, ∴AE⊥CD 又∵AE⊥CF,CD∩CF=C,CD、CF ? 平面 CDEF,∴AE⊥平面 CDEF,又∵AE ? 平面 ABFE, ∴平面 ABFE⊥平面 CDEF………7 分 (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD 又∵AB ? 平面 CDEF,CD ? 平面 CDEF,∴AB//平面 CDEF
[来源:学科网]

又 ∵AB ? 平面 ABFE,平面 ABFE∩平面 CDEF=EF,∴AB//EF 又∵EF ? 平面 ABCD,AB ? 平面 ABCD,∴EF//平面 ABCD.………14 分 考点:面面垂直,线面平行. 16.本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos(
[来源:学科网]

?
6

x?

?
3

)(0 ? x ? 5) ,点 A, B 分别是函数 y ? f ( x) 图象上的最高点和最低点.

(1)求点 A, B 的坐标以及 OA ? OB 的值; (2)设点 A, B 分别在角 ? , ? (? , ? ? [0,2? ]) 的终边上,求 sin(

?
2

? 2 ? ) 的值.

【答案】 (1) ?2 ; (2) 【解析】

7 2 . 10

试题分析: (1)从题意可看出,首先由余弦函数的性质求得最大值和最小值,即相应的 A, B 的坐标,然后 应用向量的坐标运算求得数量积; (2)由(1)根据三角函数的定义可知 ? ? 然后应用二倍角公式和两角差的正弦公式得出结论. 试题解析: (1)∵ 0 ? x ? 5 , ∴ 当 当

?
2

,又能求得 sin ? ,cos ? ,

?
3

?

?
6

x?

?
3

?

?

?

6

x? x?

?

?

3

?

?
3

7? ? ? 1 ,∴ ?1 ? cos( x ? ) ? , 6 6 3 2

时,即 x ? 0 时, f ( x ) 取得最大值 1,

6

3

? ? 时,即 x ? 4 时, f ( x) 取得最小值-2,

因此,所求的坐标为 A(0,1), B(4, ?2) ,

即 OA ? (0,1), OB ? (4, ?2), ∴ OA ? OB ? ?2 . (2)∵点 A(0,1), B(4, ?2) 分别在角 ? , ? (? ,? (0, 2? )) 的终边上, 则? ?

?
2

,sin ? ?

5 2 5 , , cos ? 5 5 5 2 5 4 )? ?? , 5 5 5

即 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? (?

cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 ? 2 ? (

2 5 2 3 ) ?1 ? , 5 5

∴ sin(

?

? 2 3 4 7 2 . ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? ( ? )? 2 4 2 5 5 10

考点:三角函数的最值,向量的数量积,三角函数的定义,两角差的正弦公式. 17.(本小题满 分 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C :

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦 点 F(1,0) ,点 P 在椭 2 2 a b

圆 C 上,且在第一象限内,直线 PQ 与圆 O: x 2 ? y 2 ? b 2 相切于点 M. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求|PM|· |PF|的取值范围; (3)若 OP⊥OQ,求点 Q 的纵坐标 t 的值. y P M O F x

Q

【答案】 (1)

x2 y2 ? ? 1; (2) (0,1) ; (3) t ? ?2 3 4 3

【解析】 试题分析: (1)根据 椭圆的性质可得 e ?

c 1 ? ,又 c ? 1 ,这样有 a ? 2, b ? 3 ,椭圆方程可得; (2)PM a 2
2 2 2 x0 ? y0 ? 3 , PF ? ( x0 ? 1)2 ? y0 ,再利用

是切线,因此我们设 P( x0 , y0 ) ,则 PM ?

2 x0 y2 ? 0 ? 1, 4 3

可以把 PM PF 化为关于 x0 的函数,由 ?2 ? x0 ? 2 求得其范围; (3)可以先讨论特殊情况下的值,当

PQ ? x 轴时,得 t ? ?2 3 ,然后讨论当 PQ 与 x 轴不垂直时的情形,设 PQ 方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,
由 PQ 是圆 C 的切线(应用圆心到切线距离等于圆的半径)得 (kx0 ? y0 ) 2 ? 3k 2 ? 3 ,即

2kx0 y0 ? k 2 x0 ? y0 ? 3k 2 ? 3,又由 PQ 的方程可得 Q 坐标为 Q(
t?

2

2

t ? y 0 ? kx0 , t ) ,再由 OP ? OQ ? 0 得 k

x0 ( y0 ? kx0 ) ,把刚才的关系及 P( x0 , y0 ) 是椭圆的点的关系代入可化简得 t ? ?2 3 . x0 ? ky0

?c 1 ? ? 试题解析: (1) ? a 2 …………2 分 ? ?c ? 1
x2 y2 ? ? 1 …………4 分 ∴c=1, a=2,∴ b ? 3 ,∴椭圆方程为 4 3

x y (2)设 P( x0 , y0 ) ,则 0 ? 0 ? 1(0 ? x0 ? 2) 4 3
PM= x0 ? y 0 ? 3 ? PF= 2 ?
2 2

2

2

x0 ? 3 ?

2

3 2 1 x0 ? 3 ? x0 ,………………6 分 4 2
1 1 x0 (4 ? x0 ) ? ? ( x0 ? 2) 2 ? 1 , 4 4

1 x0 …………8 分 2

∴PM· PF=

∵ 0 ? x0 ? 2 ,∴|PM|· |PF |的取值范围是(0,1).…………10 分 (3)法一:①当 PM⊥x 轴时,P ( 3,

3 ) ,Q ( 3, t ) 或 (? 3, t ) , 2

由 OP ? OQ ? 0 解得 t ? ?2 3 ……………………12 分 ②当 PM 不垂直于 x 轴时,设 P( x0 , y0 ) ,PQ 方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,即 kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0 ∵PQ 与圆 O 相切,∴
2

| kx0 ? y0 | k ?1
2

? 3 ,∴ (kx0 ? y0 ) 2 ? 3k 2 ? 3

∴ 2kx0 y0 ? k 2 x0 ? y0 ? 3k 2 ? 3………………13 分

2

又 Q(

t ? y 0 ? kx0 x ( y ? kx0 ) , t ) ,所以由 OP ? OQ ? 0 得 t ? 0 0 ……14 分 k x0 ? ky0

∴t2 ?

x0 (kx0 ? y 0 ) 2 x0 ( y0 ? kx0 ) 2 ? ? 2 2 ( x0 ? ky0 ) 2 x0 ? k 2 y 0 ? 2kx0 y 0 x0 (3k 2 ? 3)
2 2 2 2

2

2

x0 ? k 2 y0 ? k 2 x0 ? y0 ? 3k 2 ? 3 (1 ? k 2 ) x 2 0
∴ t ? ?2 3 ……16 分 法二:设 P( x0 , y0 ) ,则直线 OQ: y ? ? ∵OP⊥OQ,∴OP· OQ=OM· PQ ∴ x0 ? y 0 ?
t2 x0
2

2

=

x0 (3k 2 ? 3) =12, 3 2 2 2 ? (1 ? k )(3 ? x0 ) ? 3k ? 3 4

2

y x0 x ,∴ Q(? 0 t , t ) , x0 y0

2

2

y0 x0

2 2

t 2 ? t 2 ? 3 ? ( x0 ?
2 2

y0 2 t ) ? ( y 0 ? t ) 2 ………12 分 x0
t 2 ? y0 ? t 2 ? 3 ?
2

∴ x 2?y 2? 0 0
2 2

( x0 ? y 0 ) ? 3 ? x0 ?

2

y0 x0

2 2

x0 ? y 0 x0
2

2

2

( x0 ? t 2 )

2

∴ ( x0 ? y0 )t 2 ? 3( x0 ? t 2 ) ,∴ t 2 ?

2

3x 0
2

2 2

x0 ? y 0 ? 3

………………14 分

2 x y 3x 3x0 2 ∵ 0 ? 0 ? 1 ,∴ y 0 ? 3 ? 0 ,∴ t 2 ? ? 12 ,∴ t ? ?2 3 … …………16 分 1 2 4 4 3

2

2

2

4

x0

考点:椭圆的标准方程,直线和圆的位置关系,直线与椭圆的位置关系.

18.(本小题满分 16 分) 如图 (1) , 有一块形状为等腰直角三角形的薄板, 腰 AC 的长为 a 米 (a 为常数) , 现在斜边 AB 上选一点 D, 将△ACD 沿 CD 折起,翻扣在地面上,做成一个遮阳棚,如图(2). 设△BCD 的面积为 S,点 A 到直线 CD 的距离为 d. 实践证明,遮阳效果 y 与 S、d 的乘积 Sd 成正比,比例系数为 k(k 为常数,且 k>0). (1)设∠ACD= ? ,试将 S 表示为 ? 的函数; (2)当点 D 在何处时,遮阳效果最佳(即 y 取得最大值)?

【答案】 (1) S ?

2a 2 cos? , 0? ? ? ? 90? ; (2)D 在 AB 的中点时,遮阳效果最佳. 4 sin(? ? 45? )

试题解析: (1)△BCD 中

BC CD ? , sin ?CDB sin ?B



a CD ,∴ CD ? ? ? sin(? ? 45 ) sin 45?

a 2 sin(? ? 45? )

…………4 分

∴S ?

1 2a 2 cos? ? BC ? CD ? sin ?BCD ? , 0 ? ? ? 90 ……6 分(其中范围 1 分) ? 2 4 sin(? ? 45 )

(2) d ? a sin ? …………8 分

y ? kSd ?

ka 3 sin ? cos? 2ka 3 sin ? cos? ………………10 分 ? 2(sin ? ? cos? ) 4 sin(? ? 45? )

t 2 ?1 令 sin ? ? cos ? ? t ,则 t ? (1, 2 ] , sin ? cos? ? 2 ka 3 (t 2 ? 1) ka 3 1 ? (t ? ) 在区间 (1, 2 ] 上单调递增,…………13 分 ∴y? 4t 4 t
∴当 t ?

2 时 y 取得最大值,此时 ? ?

?
4



即 D 在 AB 的中点时,遮阳效果最佳.………………16 分

考点:应用题,正弦定理,换元法,同角间的三角函数关系,函数的最值. 19.(本小题满分 16 分) 对于函数 f ( x), g ( x) ,如果它们的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同,则称函数 f ( x) 和 g ( x) 在点 P 处 相切,称点 P 为这两个函数的切点.设函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) , g ( x) ? ln x . (1)当 a ? ?1 , b ? 0 时, 判断函数 f ( x) 和 g ( x) 是否相切?并说明理由; (2)已知 a ? b , a ? 0 ,且函数 f ( x) 和 g ( x) 相切,求切点 P 的坐标; (3) 设a ? 0, 点 P 的坐标为 ( , ?1) , 问是否存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) , 使得它们在点 P 处相切? 若点 P 的坐标为 (e2 , 2) 呢?(结论不要求证明) 【答案】(1)不相切; (2) (1, 0) ; (3)当点 P 的坐标为 ( , ?1) 时,存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它们在点 P 处相切;当点 P 的 坐标为 (e2 , 2) 时,不存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它们在点 P 处相切. 【解析】 试题分析: (1)由于 f ( x) ? ? x2 , f '( x) ? ?2 x ,而 g '( x) ?

[来源:Zxxk.Com]

1 e

1 e

1 ,因此当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , g '( x) ? 0 , x

2 即方程 f '( x) ? g '( x) 无解, 故两函数不存在相同的切线, 不相切; (2) f ( x) ? ax ? ax , f '( x) ? 2ax ? a ,

?as 2 ? as ? ln s s ?1 1 1 ? ? ln s , ?0, 设切点为 P( s, t ) ( s ? 0) , 则? 消法 a 得 要注意 a ? 故s ? , 1 , 2s ? 1 2 s(2s ? 1) ?2as ? a ? s ?
因此下面我们要讨论方程

s ?1 1 ? ln s 在 ( , ??) 上的解,这个方程的解借助函数的单调性来完成,设 2s ? 1 2

F ( x) ?

x ?1 ? ln x ,由 F ( 'x ) 可得 F ( x) 在 x ? 1 时取得最大值,且 F (1) ? 0 ,因此此方程只有一解 s ? 1 , 2x ?1

从而 t ? ln1 ? 0 ,即有 P(1, 0) ; (3)这类问题,都是假设它存在,然后由 P 公共点,及两函数在 P 点的切 线一样即斜率相等,联立方程组,解出 a , b ,如能解出,说明存在,如不能解出,说明不存在. 试题解析: (1)结论:当 a ? ?1 , b ? 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切.?1 分 理由如下:由 条件知 f ( x) ? ? x2 ,由 g (x) ? ln x ,得 x ? 0 , 又因为 f ?( x) ? ?2 x , g ?( x) ? 1 ,所以当 x ? 0 时, x

f ?( x) ? ?2 x ? 0 , g ?( x) ? 1 ? 0 ,所以对于任意的 x ? 0 , f ?( x) ? g ?( x) .
x

当 a ? ?1 , b ? 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切. (2)若 a ? b ,则 f ?(x) ? 2ax ?a , g ?( x) ? ①, 2as ? a ? 代入①得

?3 分

1 ,设切点坐标为 ( s, t ) ,其中 s ? 0 , 由题意,得 as 2 ? as ? ln s x

1 1 ② ,由②得 a ? , s s (2 s ? 1)
因为 a ?

s ?1 ? ln s .(*) 2s ? 1

1 ? 0 ,且 s ? 0 ,所以 s ? 1 . 2 s (2 s ? 1)

设函数 F ( x ) ?

x ?1 1 ?(4 x ? 1)( x ? 1) . ? ln x , x ? ( , ??) ,则 F ?( x) ? 2x ?1 2 x(2 x ? 1) 2
1 (舍). 4
?8 分
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ?

当 x 变化时, F ?( x) 与 F ( x) 的变化情况如下表所示,

x
F ?( x)

1 ( ,1) 2

1 0

(1, ??)

?


?


F ( x)

所以当 x ? 1 时, F ( x) 取到最大值 F (1) ? 0 ,且

1 当 x ? ( ,1) (1, ??) 时 F ( x) ? 0 . 2
因 此,当且仅当 x ? 1 时 F ( x) ? 0 .所以方程(*)有且仅有一 解 s ? 1 . 于是 t ? ln s ? 0 ,因此切点 P 的坐标为 (1, 0) . ?12 分

(3)当点 P 的坐标为 ( , ?1) 时,存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它们在点 P 处相切; ?14 分
2 当点 P 的坐标为 (e , 2) 时,存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它们在点 P 处相切.

1 e

?16 分

考点:导数与切线,导数与函数的单调性和最 值. 20.(本小 题满分 16 分) 设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q (n ? N , p ? 0) ,数列 {bn } 定义如下:对于正整数 m , bm 是使得不 等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (1)若 p ?
?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(2)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2 m 项和公式;
? (3)是否存在 p 和 q ,使得 bm ? 3m ? 2 (m ? N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围?如果不存在,请说

明理由.

2 【答案】 (1) b3 ? 7 ; (2) m ? 2m ; (3) p ?

1 2 1 , q ? [? , ? ] . 3 3 3

【解析】 试题分析:(1)已知说明 an ?

1 1 1 1 n ? ,要求 b3 ,只要求得不等式 n ? ? 3 的最小整数解即可; (2)同样 2 3 2 3 m ?1 , 因此按 m 的奇偶分类讨论: 当 m ? 2k ? 1 2

为了求 bm , 我们要解不等式 2n ? 1 ? m , 即n ? an ? 2n ? 1,

时, bm ? k (k ? N ? ) ,当 m ? 2 k 时, bm ? k ?1(k ? N ? ) ,这样在求数列 {bm } 的前 2 m 项和 S 2 m 时也要分 组求和,奇数项一起,偶数项一起分别求和; (3)存在性命题,都是假设存在,然后计算,本题假设存在 的意思就是说不等式 pn ? q ? m 的最小整数解为 3m ? 2 ,由于 p ? 0 ,因此 n ?

m?q ,则 p

3m ? 1 ?
p?

m?q ? 3m ? 2 ,即 ?2 p ? q ? (3 p ? 1)m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立.于是有 3 p ? 1 ? 0 , p

1 2 1 ,代入上式又得 ? ? q ? ? .故结论为存在.学科网 3 3 3 1 1 1 1 20 1 1 n ? ,解 n ? ? 3 ,则 n ? ,所以 n ? ? 3 成立的所有 n 中的 2 3 2 3 3 2 3

试题解析: (1)由题意,得 an ? 最小整数为 7,即 b3 ? 7 .

(2)由题意,得 an ? 2n ? 1,对于正整数由 an ? m ,得 n ? 根据 bm 的定义可知,当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k (k ? N ? ) 当 m ? 2 k 时, bm ? k ?1(k ? N ? ) ∴ b1 ? b2 ? = (1 ? 2 ? 3 ?

m ?1 , 2

? b2m ? (b1 ? b3 ? ? m) ? [2 ? 3 ? 4 ?

? b2m?1 ) ?(b2 ? b4 ?

? b2m )

? (m ? 1)] ? m2 ? 2m
m?q p

(3)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意正整数的都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 即 ?2 p ? q ? (3 p ? 1)m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p p?q 2p ? q p?q 2p ? q ?m?? 或(? ?m?? ) 3 p ?1 3 p ?1 3 p ?1 3 p ?1

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 ? 这与上述结论矛盾. 当 3 p ?1 ? 0 即 p ?

1 2 1 2 1 时, ? ? q ? 0 ? ? ? q ,∴ ? ? q ? ? 3 3 3 3 3

∴所以存在 p 和 q ,使得满足条件的 p , q ,且 p , q 的取值范围分 别是:

1 2 1 p ? , q ? [? , ? ] . 3 3 3
考点:不等式的整数解,分类讨论,分组求和,存在性命题.

附加题部分
21B.选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A=? 为 α2=?

? 3 ? c

?1? ?,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?,属于特征值 1 的一个特征向量 ?1? d?
[来源:学.科.网]

3?

? 3 ? ? .求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ?-2?
2 1

【答案】A=?

?3 ?2

? 3 -2? 3? . ?, A 的逆矩阵是? 4? 1 1? ? -3 2?
?m? ?n ?

【解析】 试题分析:本题考查矩阵与其特征值与特征向量的关系,矩阵 A 的属于特征值 ? 的特征向量为 ? ? ,则

? m? ? m? A ? ? ? ? ? ? ,由此可求得 c, d ,逆矩阵 A ?1 满足 AA?1 ? E ,可列方程组求解. ?n ? ?n ?
?1? 试题解析:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1=? ?可得, ?1? ? 3 ? ? c
3? ?1? ?1? ? ? ?=6? ?,即 c+d=6, d ? ?1? ?1?

? 3 ? 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α2=? ?, ?-2?
可得?

? 3 ? c

3? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ?=? ?,即 3c-2d=-2, d ? ?-2? ?-2?

?c=2, ? 3 3?,所以 A 的逆矩阵是 解得? 即 A=? ? ? 2 4? ?d=4.

? 3 -2? ? 1 1?. ? -3 2?

2

1

考点:特征值与特征向量. 21C.选修 4—4:极坐标与参数方程 已知圆的极坐标方程为: ? 2 ? 4 2 ? cos ? ? π ? 6 ? 0 .
4

?

?

(1)将极坐标方程化为普通方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值. 【答案】 (1) x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 ; (2)最大值为 6,最小值为 2.

考点:极坐标 方程与直角坐标方程的互化,圆的参数方程,三角函数的最值. 22.(本题满分 10 分) 为增强 市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者, 从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是: ? 20, 25? , ? 25,30? , ?30,35? , ?35, 40 ? , ?40, 45? . (1)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35, 40 ? 岁的人数; (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人,记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为
X ,求 X 的分布列及数学期望.

【答案】 (1)150; (2) X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

14 285

28 95

44 95

11 57

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

EX ?
【解析】

9 . 5

试题分析: (1)在频率分布直方图中,各个小矩形的面积就是相应的频率,而所有小矩形的面积(频率) 之和为 1,由此可求得 x ? 0.06 ,这样所求人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150 ; (2)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名,“年龄不低于 35 岁”的人有 8 名.从中任取 3 人,则 X 的可能值
1 C83 C12 C82 14 28 分别为 0,1, 2,3 ,各个概率分别为 P ? X ? 0 ? ? 3 ? , P ? X ? 1? ? , ? 3 285 95 C 20 C 20

P? X ? 2? ?

2 1 3 C12 C8 C12 44 11 ? ? , ,结论即得. ? P X ? 3 ? ? 3 3 95 57 C 20 C 20

试题解析: (1)因为小矩形的面积等于频率,所以除 ?35,40 ? 外的频率和为 0.70, 所以 x ? 1 ? 0.70 ? 0.06 , 所以 500 名志愿者中, 年龄在 ?35,40 ? 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150 (人); ……3 5 分 (2)用分层抽样的方法,从中选取 20 名, 则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名,“年龄不低于 35 岁”的人有 8 名. 故 X 的可能取值为 0,1,2,3,

P? X ? 0? ? P? X ? 2? ?

1 C83 C12 C82 14 28 ? ? , , ? P X ? 1 ? ? 3 3 285 95 C 20 C 20 2 1 3 C12 C8 C12 44 11 ? ? ? P X ? 3 ? ? , , 3 3 95 57 C 20 C 20

故 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

14 285

28 95

44 95

11 57

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

所以 EX ? 0 ? 14 ? 1 ? 28 ? 2 ? 44 ? 3 ? 11 ? 171 ? 9 .…………10 分 285 95 95 57 95 5 考点:频率分布直方图,分层抽样,随机变量的分布列及数学期望. 23.(本题满分 10 分) 若一个正实数能写成 n ? 1 ? n (n ? N *) 的形式,则称其为“兄弟数”.
[来源:Z,xx,k.Com]

求证: (1)若 x 为“兄弟数” ,则 x 2 也为“兄弟数”; (2)若 x 为“兄弟数”, k 是给定的正奇数,则 x k 也为“兄弟数”. 【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析:首先要理解新定义“兄弟数” ,即 x ? n ? 1 ? n 这种形式,相邻两个正整数的算术根的和.因
2 2 2 此第(1)小题较简单,设 x ? n ? 1 ? n ,则 x ? 2n ? 1? 2 n(n ?1) ? 4 n ? 4 n ?1 ? 4 n ? 4 n ,证

得; (2)这一题有一定的难度,关键是在设 x ? n ? 1 ? n 后,引入 y ? n ? 1 ? n ,满足 xy ? 1 ,借助

y 完成证明,而 xk ? ?Cki ( n ? 1)k ?i ( n )i , y k ? ?Cki ( n ? 1)k ?i (? n )i ,
i ?0 i ?0

k

k

故 xk ? y k ? ?Cki ( n ? 1)k ?i ( n )i ? ?Cki ( n ? 1)k ?i (? n )i
i ?0 i ?0

k

k

? 2[Ck0 ( n ? 1) k ? Ck2 ( n ? 1) k ?2 ? n ? Ck4 ( n ? 1) k ?4 ? n 2 ?

? Ckk ?1 n ? 1 ? n
k

k ?1 2

] ,其中每一项都有
k

n ? 1 这个因式,
[来源:学科网 ZXXK]

i 故可记: x k ? y k ? 2a n ? 1, a ? N * ,同理:由 xk ? y k ? ?Cki ( n ? 1)k ?i ( n )i ? ?Ck ( n ? 1)k ?i (? n )i ,记: i ?0 i ?0

xk ? y k ? 2b n , b ? N * ,进而, 2 xk ? 4a 2 (n ? 1) ? 4b2n ,即 xk ? a 2 (n ? 1) ? b2n ,

又 4a 2 (n ? 1) ? 4b2n ? ( x k ? y k )2 ? ( x k ? y k )2 ? 4 x k y k ? 4 , 故 a 2 (n ? 1) ? b2n ? 1 , 这样就得 x k ? b2n ? 1 ? b2n 为“兄 弟数”. 试题解析: (1)设 x ? n ? 1 ? n (n ? N *) , 则 x2 ? 2n ? 1 ? 2 n(n ? 1) ? 4n2 ? 4n ? 1 ? 4n2 ? 4n ,是“兄弟数” (2)设 x ? n ? 1 ? n , y ? n ? 1 ? n (n ? N *) ,则 xy ? 1 而 xk ? ?Cki ( n ? 1)k ?i ( n )i , y k ? ?Cki ( n ? 1)k ?i (? n )i
i ?0 i ?0 k k

故 xk ? y k ? ?Cki ( n ? 1)k ?i ( n )i ? ?Cki ( n ? 1)k ?i (? n )i
i ?0 i ?0

k

k

? 2[Ck0 ( n ? 1) k ? Ck2 ( n ? 1) k ?2 ? n ? Ck4 ( n ? 1) k ?4 ? n 2 ?

? Ckk ?1 n ? 1 ? n

k ?1 2

],

不妨记: x k ? y k ? 2a n ? 1, a ? N *
i 同理:由 xk ? y k ? ?Cki ( n ? 1)k ?i ( n )i ? ?Ck ( n ? 1)k ?i (? n )i ,不妨记: i ?0 i ?0 k k

xk ? y k ? 2b n , b ? N *

进而, 2 xk ? 4a2 (n ? 1) ? 4b2n ,即 xk ? a2 (n ? 1) ? b2n 又 4a 2 (n ? 1) ? 4b2n ? ( x k ? y k )2 ? ( x k ? y k )2 ? 4 x k y k ? 4 ,故 a 2 (n ? 1) ? b2n ? 1

因此 x k ? b2n ? 1 ? b2n 亦为“兄弟数”. 考点:新定义,二项式定理的应用.


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