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2012《走向高考》人教B版数学课件5-3


第五章

平面向量

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第五章

平面向量

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第五章

平面向量

重点难点 重点:①平面向量的数量积及其几何意义,数量积的 性质及运算律,数量积的坐标表示.

②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度
和垂直的问题. 难点:平面向量数量积的应用及向量与其它知识的综 合问题.

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第五章

平面向量

知识归纳 一、平面向量的数量积 1.向量数量积的定义 (1)向量 a 与 b 的夹角 → → 已知两个非零向量 a、b,过 O 点作OA=a,OB=b, 则 θ=∠AOB(0≤θ≤π)叫做向量 a 与 b 的夹角. π 当 θ=2时,a 与 b 垂直,记作 a⊥b; 当 θ=0 时,a 与 b 同向; 当 θ=π 时,a 与 b 反向.
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第五章

平面向量

(2)已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把 |a||b|cosθ 数量 叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,并
规定零向量与任一向量的数量积为0.
→ (3)已知平面向量 a 和轴 l,过轴 l 上点 O,作OA=a, → 由 A 向 l 作垂线,垂足为 A1,则OA1称作 a 在轴 l 上的射 影.该射影在轴 l 上的坐标称作 a 在轴 l(方向)上的数量, 记作 al.

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第五章

平面向量

∴al =|a|·cosθ(其中θ为a与轴l的正向所成的角)当θ为 钝角时,al<0;当θ为直角时,al=0;当θ为锐角时,al>0, 当θ=0°时,al=|a|.当θ=180°时,al=-|a|. (4)平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cosθ
的乘积.

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平面向量

2.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ是a与b的夹角, 则 (1)e·a=a·e=|a|·cos〈a,e〉. (2)a⊥b?a·b= 0 . (3)当a与b同向时,a·b= |a||b| ; 当a与b反向时,a·b= -|a||b| ;
特别地, a=|a|2 或|a|= a· a· a. a· b (4)cosθ= . |a||b| (5)|a· b|≤|a|· |b|.
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平面向量

3.向量数量积的运算律 (1)交换律:a·b=b·a. (2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. (3)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
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4.平面向量数量积的坐标表示
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2.故a⊥b?x1x2+y1y2=0. (2)设a=(x,y),则|a|= .
(3)若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为(x1, 1), y (x2,y2),则|a|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2.
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(

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平面向量

(4)若向量 a=(x1,y1)与向量 b=(x2,y2)的夹角为 x1x2+y1y2 a· b θ,则有:cosθ= = . |a|· |b| x12+y12· x22+y22

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第五章

平面向量

二、平面向量的应用 用向量法证明几何问题的基本思想是:将问题中有关的线 段表示为向量,然后根据图形的性质和特点,应用向量的运算 性质、法则,推出所要求证的结论.要注意挖掘题目中,特别 是几何图形中的隐含条件. 1.用向量法求角 a· b 设向量 a 与 b 的夹角为 α,则 cosα= . |a|· |b|
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x1x2+y1y2 若 a=(x1,y1)、b=(x2,y2),则 cosα= 2 2 2 2; x1 +y1 × x2 +y2
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平面向量

2.用向量法处理垂直 → CD → 要证两线段 AB⊥CD,只需证AB· =0. 3.用向量法处理平行 → 要证两线段 AB∥CD, 只需证存在实数 λ≠0, 使等式AB → =λCD成立. 4.用向量法处理距离 → → → 要证线段 AB=CD,可转化为证明AB2=CD2 或|AB|= → |CD|.

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第五章

平面向量

5.用向量法处理物理问题,首先要把物理问题用向 量模型加以表达,然后通过求解向量模型解释相关物理现 象. 6.平面向量与三角函数整合的题目,大多数本质仍
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是三角函数问题,只是同时兼顾平面向量的“共线”、
“数量积”等基本概念与基本运算,解题时依据向量的有 关概念与运算去掉向量外衣后,就是纯粹三角问题了. 7.平面向量与解析几何整合的题目,注意将题目中 的条件和要解决的问题,通过“点”加以向量化,然后运

(

用向量的运算来解决.
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平面向量

误区警示 1.若a·b=0,a≠0不一定有b=0,因为当a⊥b时, 总有a·b=0. 2.对于实数a、b、c,当b≠0时,若ab=bc,则a=c.
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但对于向量a,b,c,当b≠0时,由a·b=b·c却推不出a=c.
因 为 由 a·b = b·c 得 b·(a - c) = 0 , 只 要 a - c 与 b 垂 直 即 可.3.数量积不满足结合律 ,即对于向量a、b、c, (a·b)·c=a·(b·c)一般不成立,这是因为a·b与b·c都是实 数.(a·b)·c与c共线,a·(b·c)与a共线,而c与a却未必共

(

线.
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平面向量

4.若<a,b>=θ,则a在b方向上的投影为|a|·cosθ,b 在a方向上的投影为|b|·cosθ,应注意区分.
→ OS → → → → 力OF在OS 方向上的分力OF ′=|OF|cosθ· ,是与 → |OS| → OS共线的向量,不要和投影|O→|cosθ 相混淆. F

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第五章

平面向量

5.a·b>0和a与b夹角为锐角不等价.∵当b=a≠0时, 夹角为0,a·b>0;同样a·b<0不等价于a与b的夹角为钝 角. 6.用向量法证明平行时,应注意是否在同一条直线
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上,因为向量平行与直线平行是有区别的.
向量具有数的特性,常与函数、三角、数列、不等式 等许多重要内容结合命题,而且我们也可通过构造向量来 处理许多代数问题.

(

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平面向量

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平面向量

平面向量与几何问题的综合及应用通常涉及到长度、 角度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理,目标是将 几何问题符号化、数量化、坐标化,从而将推理转化为运 算.向量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一
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起的,明确了几何意义使向量的代数形式的运算得以实施,
而运算的结果则可以肯定或否定几何结论. 一般研究夹角问题总是从数量积入手,研究长度则从 模的运算性质入手,而研究共线、共点问题则多从向量的 加减运算及实数与向量的积着手.

(

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平面向量

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平面向量

[例 1]

已知向量 a=( 3,1),b 是不平行于 x 轴的单 ) 3? ? 2? ?

位向量,且 a· b= 3,则 b 等于(
? A.? ? ?

3 1? ? ,2? 2 ?

?1 B.? , ?2 ?

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?1 3 3? ? C.? , ?4 4 ? ? ?

(

D.(1,0)

分析:设出 b 的坐标,由 a· b= 3及|b|=1 列方程可 解.

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平面向量
(y≠0),则

解析:方法 1:令 b=(x,y)
?x2+y2=1, ? ? ? 3x+y= 3, ?

① ②

将②代入①得 x2+( 3- 3x)2=1, 即 2x2-3x+1=0, 1 3 ∴x=1(舍去,此时 y=0)或 x= ?y= . 2 2 方法 2: 排除法, 中 y=0 不合题意; 不是单位向量, D C 舍去;代入 A,不合题意,故选 B. 答案:B
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第五章

平面向量

(2010· 辽宁锦州)已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2 → OB → =1 相交于 A、B 两点,且|AB|= 3,则OA· =( 1 A. 2 1 C. 4 1 B.- 2 1 D.- 4 )

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平面向量

解析:设 AB 中点为 P, 3 ∵|AB|= 3,∴|AP|= 2 , π 又|OA|=1,∴∠AOP=3, 2π ∴∠AOB= , 3 → · =|OA|·→ |· 2π=-1. → ∴OA OB → |OB cos 3 2

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答案:B

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平面向量

[例2]

已知a,b是非零向量,若a+3b与7a-5b垂直,

a-4b与7a-2b垂直.

试求:a与b的夹角.
分析:求a、b的夹角θ可利用公式a·b=|a||b|cosθ,利 用题设中的垂直条件,可得|a|、|b|的方程组求得|a|、|b|的 关系,将它代入公式求出θ的值.

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平面向量

解析:方法 1:由条件知
??a+3b?· ?7a-5b?=0, ? ? ??a-4b?· ?7a-2b?=0, ? ?7a2+16a· b-15b2=0,① ? 所以? 2 ?7a -30a· b+8b2=0,② ?
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由①-②得 46a· b-23b =0,所以 b =2a· b. 将它代入②得 a =2a· b,∴|a|=|b|. 所以由 b2=2a· 可知|b|2=2|a||b|cosθ, b 1 所以 cosθ=2,所以 θ=60° . 即所求的向量 a,b 夹角为 60° .
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2

2

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(

2

)

第五章

平面向量

方法 2:由条件知:
??a+3b?· ?7a-5b?=0 ? ? ??a-4b?· ?7a-2b?=0 ? ?7a2+16a· b-15b2=0 ? ∴? 2 ?7a -30a· b+8b2=0 ?
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① ②

①×15+②×8 得|a|=|b|, 由①得 7|a|2+16|a||b|cosθ-15|b|2=0, 1 ∴7+16cosθ-15=0,∴cosθ=2. ∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=60° ,即向量 a 与 b 夹角为 60° .
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(

第五章

平面向量

(文)已知向量 a=(3,4),b=(2,-1),如果向量 a+λb 与向量-b 互相垂直,则实数 λ 的值为( )

23 3 2 A. 2 B.23 C.2 D.-5 解析:a+λb=(3,4)+λ(2,-1)=(3+2λ,4-λ),-b=
(-2,1), ∵(a+λb)⊥(-b),∴-2(3+2λ)+4-λ=0, 2 ∴λ=-5,故选 D. 答案:D
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平面向量

(理)(2010·唐山联考)已知c、d为非零向量,且c=a+ b,d=a-b,则|a|=|b|是c⊥d的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )
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C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 解析:因为c,d为非零向量,所以c⊥d?c·d=0?a2 -b2 =0?|a|2 -|b|2 =0?|a|=|b|.因此|a|=|b|是c⊥d的充要 条件,选C.

(

答案:C
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第五章

平面向量

[例3]

(2010·湖南文)若非零向量a,b满足|a|=|b|, )

(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为(

A.30° B.60°
C.120° D.150°
a· b 分析:欲求 a 与 b 的夹角,由公式 cos〈a,b〉= 及 |a||b| 条件知,只要利用条件将 a· 用|a|(或|b|)表示即可获解. b

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平面向量

解析:由(2a+b)· b=0 得,2a· 2=0, b+b b2 从而 a· b=- 2 , b2 -2 a· b 1 所以 cos〈a,b〉= = =- , |a||b| b2 2 ∵〈a,b〉∈[0° ,180° ],∴〈a,b〉=120° .

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答案:C

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[例 4]

平面向量
(2010· 河北邯郸市模考)已知向量 a,b 为单位向

1 量,且 a· b=-2,向量 c 与 a+b 共线,则|a+c|的最小值为 ( A.1 3 C. 4 1 B.2 3 D. 2 )

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分析:因为已知a·b,故求|a+c|可先利用c与a+b共

线将c用a+b表示,然后利用|a|2=a2展开转化为二次函数,
可求最值.
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第五章

平面向量

解析:∵c 与 a+b 共线,∴可设 c=λ(a+b),λ∈R,由 条件知|a|=|b|=1,∴|a+c|2=|(1+λ)a+λb|2=(1+λ)2+λ2+ 2λ(1+λ)a· b=λ D.
2

? 1?2 3 3 +λ+1=?λ+2? +4≥4,∴|a+c|≥ ? ?

3 2 ,故选

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答案:D

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平面向量

(文)(2010·江西)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a
与b的夹角为60°,则|a-b|=____________.
解析: |a-b|2=|a|2-2a· b+|b|2=1-2×1×2×cos60° +4 =3,∴|a-b|= 3. 答案: 3

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第五章

平面向量

(理)已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过 5,则k的取值范围是( A.[-4,6] C.[-6,2] ) B.[-6,4] D.[-2,6]
2 2

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解析:∵|a+b|=|(3,k+2)|= ?k+2? +3 ≤5, ∴(k+2) ≤4 ,∴-6≤k≤2.∴选 C.
2 2

(

答案:C

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第五章

平面向量

[例5] 求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
分析:联想到向量模的坐标表示式,可将 a2+b2 与 c2+d2分别视作向量 α=(a,b),β=(c,d)的模,于是 ac +bd=α· β,因此可以运用向量知识探求证明方法.

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平面向量

→ → 证明:设OA=(a,b),OB=(c,d). → → 当OA、OB至少有一个为零向量时,所证不等式成立; → → 当OA、OB均不是零向量时,设其夹角为 α,则有 cosα → OB → ac+bd OA· = = 2 , → |·→ | a +b2· c2+d2 |OA |OB ∵|cosα|≤1,
? ∴? ? ? ? ac+bd ? 2 2 2 2?≤1, a +b · c +d ?
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即(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).

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平面向量

点评:待解决的代数、几何、三角、物理等问题,只 要其表达式能用向量运算来表示,就可以考虑使用向量方 法去试着解决.

本例中a2 +b2 ,c2 +d2 与向量的模有联系,而ac+bd
与向量的数量积有联系,故可尝试能否设出向量来表示.

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平面向量

如图所示,在△AOB中,若A,B两点坐标分别为 (2,0),(-3,4),点C在AB上,且平分∠BOA,求点C的坐

标.

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平面向量

解析:设点 C 坐标为(x,y) 由于 cos∠AOC=cos∠BOC,且 → OC → → OC → OA· OB· cos∠AOC= ,cos∠BOC= , → |·→ | → |·→ | |OA |OC |OB |OC → OC OB· → → OC → OA· ∴ = , → → |OA| |OB| ?2,0?· ?x,y? ?-3,4?· ?x,y? ∴ = , 2 5 ∴y=2x.①

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平面向量

→ → → → 又∵BC与AC共线,BC=(x+3,y-4),AC=(x-2,y), ∴(x+3)· y-(x-2)· (y-4)=0, ∴4x+5y-8=0.② ? 4 ?x=7, 由①,②联立解之得? ?y=8. ? 7
?4 8? 点的坐标为?7,7?. ? ?

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∴C

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平面向量

[例 6]

3 3 x x 已知向量 a=(cos2x,sin2x),b=(cos2,-sin2),

π π 且 x∈[-3,4]. (1)a· b=________,|a+b|=________; (2)若 f(x)=a· b-|a+b|, f(x)的最大值和最小值分别为 则 ________.

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平面向量

3 x 3 x 解析:(1)a· b=cos2xcos2-sin2xsin2 =cos2x, |a+b|= 3 x2 3 x2 ?cos2x+cos2? +?sin2x-sin2?

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= 2+2cos2x=2|cosx|, π π ∵x∈[-3,4],∴cosx>0,∴|a+b|=2cosx.

(

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平面向量

(2)f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1 12 3 =2(cosx- ) - . 2 2 π π 1 ∵x∈[- , ],∴ ≤cosx≤1, 3 4 2 1 3 ∴当 cosx= 时,f(x)取得最小值- ; 2 2 当 cosx=1 时,f(x)取得最大值-1.
答案:(1)cos2x 2cosx (2)-1 3 -2
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点评:向量与三角、数列、函数、解析几何交汇是常 见的命题方式.
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平面向量

(文)已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(-sinα,cosα), x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x·y=0. (1)求函数k=f(t)的表达式;

(2)若t∈[-1,3],求f(t)的最大值与最小值.
解析:(1)a2=4,b2=1,a· b=0 ∵x· y=-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a· b =-4k+t(t2-3)=0, 13 3 13 3 ∴k= t - t,即 f(t)= t - t. 4 4 4 4
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平面向量

32 3 (2)由(1)可得 f ′(t)= t - ,由 f ′(t)=0 得 t=± 1. 4 4 列表

t f ′(t) f(t)

-1 0 极大值

(-1,1) - 递减

1 0 极小值

(1,3) + 递增

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1 1 9 而 f(-1)=2,f(1)=-2,f(3)=2, 9 1 ∴f(t)max=2,f(t)min=-2.
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平面向量
? x π? x a = (2cos 2 , tan ?2+4? ) , b = ? ?

( 理 ) 已 知
? ? ?

? x π? ?x π?? 2sin?2+4?,tan?2-4 ??.令 ? ? ? ??

f(x)=a· b.

(1)求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0, π]上的单调区间. (2)是否存在实数 x∈[0, 使 f(x)+f ′(x)=0?若存在, π], 求出 x 的值;若不存在,请证明.

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平面向量

x x π x π x 解析: (1)f(x)=a· b=2 2cos2sin(2+4)+tan(2+4)tan(2- x x 1+tan2 tan2-1 π x 2 x 2 x x x )=2 2cos ( sin + cos )+ · =2sin cos 4 2 2 2 2 2 x x 2 2 1-tan2 1+tan2 π +2cos 2-1=sinx+cosx= 2sin(x+4).
2x

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π 所以 f(x)的最大值为 2,最小正周期为 2π,f(x)在[0, ] 4 π 上单调递增,在[4,π]上单调递减.
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平面向量

(2)f(x)=a· b
? x π? ? x π? x ? x π? =2 2cos sin?2+4 ?+tan?2+4 ?tan?2-4? 2 ? ? ? ? ? ?

x x 1+tan tan -1 2 2 x? 2 x 2 x? ? ? =2 2cos2? cos + sin ?+ x· x 2 2 2 2? ? 1-tan2 tan2+1 =sinx+cosx. 令 f(x)+f ′(x)=sinx+cosx+cosx-sinx=0 得 cosx=0. π ∵x∈(0,π),∴x= . 2
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平面向量

[例 7]

(文)如图,四边形 MNPQ 是⊙C 的内接梯形,C

→ → → 是圆心,C 在 MN 上,向量CM与PN的夹角为 120° → · ,QC QM =2.建立适当的坐标系. (1)求⊙C 的方程; (2)求以 M、N 为焦点且过点 P、Q 的椭圆的方程.

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第五章

平面向量

解析:(1)以 MN 所在直线为 x 轴、C 为原点建立直角坐 → → 标系 xOy.∵CM与PN的夹角为 120° ,故∠QCM=60° .于是△ QCM 为正三角形,∠CQM=60° . → QM → → → 又QC· =2,即|QC||QM|cos∠CQM=2, → 于是 r=|QC|=2. 故⊙C 的方程为 x2+y2=4.

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第五章

平面向量

(2)依题意,2c=4,2a=|QN|+|QM|, 而|QN|= 42-22=2 3,|QM|=2, 于是 a= 3+1,b2=a2-c2=2 3. x y ∴所求椭圆的方程为 + =1. 4+2 3 2 3
2 2

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第五章

平面向量

(理)已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使·,·,·成 公差小于零的等差数列.

(1)点P的轨迹是什么曲线?
(2)若点P的坐标为(x0,y0),记θ为与的夹角,求tanθ.

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第五章

平面向量

→ → 解析:(1)设 P(x, 则PM=-MP=(-1-x, y), → -y),PN → → → =-NP=(1-x,-y),MN=-NM=(2,0), → MN → → PN → → NP → ∴MP· =2(1+x),PM· =x2+y2-1,NM· =2(1 -x), 1 ? 2 2 ?x +y -1= [2?1+x?+2?1-x?] 2 由题意? , ?2?1-x?-2?1+x?<0 ?
?x2+y2=3 ? 即? ?x>0 ?

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所以点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3为半径的右半圆 (不含端点).

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第五章

平面向量

→ PN → (2)点 P 的坐标为(x0,y0),而PM· =x02+y02-1=2. → |PN 又|PM|·→ | = ?1+x0?2+y02× ?1-x0?2+y02=2 4-x02. → PN → PM· 1 所以 cosθ= = 2, → |PN 4-x0 |PM|·→ | 1 π ∵0<x0≤ 3,∴ <cosθ≤1,∴0≤θ< , 2 3 1 2 ∴sinθ= 1-cos θ= 1- , 4-x02 1 1- 4-x02 sinθ 故 tanθ= = = 3-x02=|y0|. cosθ 1 4-x02
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第五章

平面向量

(文)已知点 C 的坐标为(0,1),A、B 是抛物线 y=x2 上不 → OB → 同于原点 O 的相异的两个动点,且OA· =0. → → (1)求证:AC∥AB; → → → AB → (2)若AM=λMB(λ∈R),且OM· =0,试求点 M 的轨迹方程

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第五章

平面向量

解析:设 A(x1,x12),B(x2,x22),x1≠0,x2≠0,x1≠x2, → OB → ∵OA· =0,∴x1x2+x12x22=0, 又 x1≠0,x2≠0,∴x1x2=-1. 1-x12 1 (1)解法 1:kAC= =- +x1, x1 -x1 1 同理有 kBC=-x +x2, 2 ∵x1x2=-1,∴kAC=kBC, → → ∴A、B、C 三点共线,即AC∥AB.

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第五章

平面向量

→ → 解法 2:∵AC=(-x1,1-x12),BC=(-x2,1-x22), ∴(-x1)(1-x22)-(-x2)(1-x12)=(x2 -x1)+x1x2(x2 -x1) =(x2-x1)(1+x1x2)=0, → → → → ∴AC∥BC即AC∥AB. → → (2)解:∵AM=λMB,∴A、M、B 三点共线, 又 C 在 AB 上,∠OMC=90° ,故点 M 在以 OC 为直径 12 1 的圆上运动,其轨迹方程为 x +(y-2) =4(y≠0).
2

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第五章

平面向量

(理)已知 M(0,-2),点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴的正 → → → AP → 半轴上,点 P 在直线 AB 上,且满足AP=PB,MA· =0. (1)当 A 点在 x 轴上移动时,动点 P 的轨迹 C 的方程为 ________; (2)过(-2,0)的直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,又过 E、 F 作轨迹 C 的切线 l1、l2,当 l1 与 l2 垂直时,直线 l 的方程为 ________.

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第五章

平面向量

→ → → AP → 分析:(1)设出 A、B、P 的坐标,由AP=PB,MA· = 0 消去 A、B 坐标,得出 P 的轨迹方程. (2)由切线斜率是函数在该点的导数值及 l1⊥l2 找出两切 点横坐标的关系,结合韦达定理可求出 l 的斜率 k.
→ 解析:(1)设 P(x,y),A(xA,0),B(0,yB),则AP=(x-xA, → y)PB=(-x,yB-y). → → ∵AP=PB,∴xA=2x,yB=2y. → → 又∵MA=(xA,2),AP=(x-xA,y). → → ∴MA=(2x,2),AP=(-x,y). → AP → 由MA· =0 得 x2=y(y>0).
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平面向量

(2)设 E(x1,y1),F(x2,y2). ∵y′=2x,故两切线的斜率分别是 2x1,2x2.
?x2=y ? 由方程组? ?y=k?x+2? ?
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消去 y 得,

x2-kx-2k=0. ∴x1+x2=k,x1x2=-2k. 1 当 l1⊥l2 时,(2x1)×(2x2)=-1,即 x1x2=-4. 1 1 ∴-2k=- ,∴k= . 4 8 1 ∴直线 l 的方程是 y=8(x+2),即 x-8y+2=0.

(

答案:(1)x2=y(y>0) (2)x-8y+2=0
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平面向量

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第五章

平面向量

一、选择题 1.已知|a|=3,|b|=5,如果a∥b,则a·b=( A.15 B.-15 )

C.±15
[答案] C

D.以上均不对

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[解析] ∵a∥b,∴cos〈a,b〉=±1,故选C.

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第五章

平面向量

2.(文)(2010· 广西南宁二中模考)在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A,∠B,∠C 所对的边,设向量 m=(b-c,c-a), n=(b,c+a),若 m⊥n,则∠A 的大小为( 2π A. 3 π C.2 π B.3 π D.4 )

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[答案] B

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平面向量

[解析]

m· n=b(b-c)+c2-a2

=c2+b2-a2-bc=0, b +c -a 1 π ∴cosA= 2bc =2,∵0<A<π,∴A=3.
2 2 2

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第五章

平面向量

(理)(2010·山东省实验中学模考)已知A、B、C是锐角 △ABC的三个内角,向量p=(sinA,1),q=(1,-cosB), 则p与q的夹角是( )

A.锐角
C.直角 [答案] A

B.钝角
D.不确定

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第五章

平面向量
p· q=sinA-cosB,若 p 与 q 夹角为直角,则 p· q π C=2,

[解析]

? π? π =0,∴sinA=cosB,∵A、B∈?0,2?,∴A=B=4,则 ? ?

与条件矛盾;若 p 与 q 夹角为钝角,则 p· q<0,∴sinA<cosB
?π ? =sin?2-B?, ? ?

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∵sinx

? π? π π ?0, ?上为增函数,∴A< -B,∴A+B< ,∴ 在 2? 2 2 ?

π C> 这与条件矛盾,∴p 与 q 的夹角为锐角. 2

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第五章

平面向量

3.(文)(2010· 山东东营质检)已知向量 a,b 均为单位向 量,若它们的夹角 60° ,则|a-3b|等于( A. 7 B. 10 C. 13 ) D.4

[答案] A
[解析] 1 由条件知,a· b=|a|· cos60° , |b|· = 2

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∴|a-3b|2=|a|2+9|b|2-6a· b=7, ∴|a-3b|= 7.

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第五章

平面向量

→ → → (理)已知OA=(3,1),OB=(2,4),|BC|=1,点 C 在直线 → OA 上的射影为点 D,则|OD|的最大值为( A.10+ 10 C. 10+1 B.10- 10 D. 10-1 )

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[答案] C

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平面向量

[解析]

→ ∵|BC|=1,∴C 在以 B 为圆心,1 为半径的圆

上,设 C(cosα+2,sinα+4). → OA → |OC· | → 又∵|OD|= → |OA| |3?cosα+2?+sinα+4| = 10 | 10sin?α+φ?+10| 10+10 = ≤ = 10+1. 10 10

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第五章

平面向量

→ 4.(2010· 辽宁)平面上 O、A、B 三点不共线,设OA=a, → OB=b,则△OAB 的面积等于( A. |a|2|b|2-?a· 2 b? B. |a|2|b|2+?a· 2 b? 1 C. |a|2|b|2-?a· 2 b? 2 1 D. |a|2|b|2+?a· 2 b? 2 )

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[答案] C

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第五章

平面向量

[解析]

1 如图, 由正弦定理得 S=2|a||b|sin∠AOB, cos 而

a· b ∠AOB=|a||b| 1 ∴S= |a||b| 2
? a· ? b 2 1-?|a||b|? ? ?

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1 = |a|2|b|2-?a· 2,故选 C. b? 2

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第五章

平面向量

二、填空题 5.(2010·浙江)已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β| = 1 , 且 α 与 β - α 的 夹 角 为 120° , 则 |α| 的 取 值 范 围 是 ________.
[答案] 2 3 (0, ] 3

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第五章
[解析]

平面向量
作出示意图如图
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→ → → 设OA=α,OB=β,则AB=β-α, ∴∠OAB=60° → |=1 ,|OB |α| 1 由正弦定理得: = sin∠OBA sin60° 2 3 ∴|α|= sin∠OBA. 3 ∵0° <∠OBA<120° ,∴0<sin∠OBA≤1 2 3 ∴|α|=(0, 3 ].

(

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平面向量

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平面向量

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平面向量

1.(福建莆田质检)已知a、b、c为非零的共面向量, p:|b-c|=|b|+|c|,q:(a·b)c=(a·c)b,则p是q的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )
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C.充分且必要条件
D.既不充分又不必要条件 [答案] A [解析] 命题p:|b-c|=|b|+|c|,即b与c方向相反; 命题q:(a·b)c=(a·c)b,即b与c共线,∴p?q但q?p,故

(

选A.
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第五章

平面向量

2.(浙江宁波十校)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ, sinβ),a与b不共线,则a与b一定满足( A.a与b的夹角等于α-β )

B.a∥b

C.(a+b)⊥(a-b)
[答案] C [解析]

D.a⊥b

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∵|a|2=|b|2=1,∴(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=

1-1=0,故选C.

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第五章

平面向量

3.(合肥市质检)如图,△ABC 中,AD=2BD,AE= → → → 3EC,CD 与 BE 交于 F,设AB=a,AC=b,AF=xa+yb, 则(x,y)为( )
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? 1 1? A.?3,2? ? ? ?3 3? C.?7,7? ? ?
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? 1 1? B.?4,3? ? ? ?2 9? D.?5,20? ? ?
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第五章

平面向量

[答案] A
[解析] → → → → → → → 设BF=λBE,则AF=AB+BF=AB+λBE =
?3 ? → -AB?=(1-λ)AB+3λAC,同理,设CF=μCD, → → → → → → AB+λ?4AC 4 ? ?
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→ =AC +CF =AC +μCD = 2 μAB +(1-μ)AC ,所以 → → → 则AF → → → 3 2 ? ?1-λ=3μ ? ?3λ=1-μ ?4 2 ,解之得 λ=3,

(

→ =1AB+1AC,故选 A. 所以AF 3 → 2 →
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第五章

平面向量

4.(广东佛山顺德区质检)△ABC 内有一点 O,满 → → → → OB → OC → → 足OA+OB+OC=0,且OA· =OB· .则△ABC 一定 是( ) A.钝角三角形 C.等边三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形

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[答案] D

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第五章

平面向量

[解析]

→ → → 取 AC 的中点 E,则OA+OC=2OE,

→ → → 又OA+OC=-OB, → → ∴OB=-2OE,故 O 为△ABC 的重心, → OB → OC → → → (OA → ∵OA· =OB· ,∴OB·→ -OC)=0, → CA → 即OB· =0,∴OB⊥AC, ∴OB 是 AC 的中垂线,∴AB=BC.

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第五章

平面向量

x 5.设 F1、F2 为椭圆 4 +y2=1 的左、右焦点,过椭圆中 心任作一直线与椭圆交于 P、Q 两点,当四边形 PF1QF2 面 → PF → 积最大时,PF1· 2的值等于( A.0 C.4 B.2 D.-2 )

2

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[答案] D

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第五章

平面向量
由题意得 c= a2-b2= 3,

[解析]

1 又 S 四边形 PF1QF2=2S△PF1F2=2× ×F1F2· (h h 2 为 F1F2 边上的高),所以当 h=b=1 时,S 四边形 PF1QF2 取最大值,此时∠F1PF2=120° . → PF → → |PF cos120° 所以PF1· 2=|PF1|·→2|· 1 =2×2×(- )=-2. 2

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第五章

平面向量

6.(2010·安徽合肥市质检 )在直角梯形 ABCD中, AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45°,AB=2CD=2,M为腰 BC的中点,则·=( A.1 ) B.2
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C.3
[答案] B

D.4

(

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第五章

平面向量

由条件知 AB=2,CD=1,BC= 2, 2 ∴MB=MC= , 2 [解析] → · =|MC|· |· → → |BA cos45° 2×2× 2=1, → ∴MC BA =2 2 → CD → |CD cos135° → MB· =|MB|·→ |·
? 2 1 2? ? ? = 2 ×1×?- ?=-2, 2? ? → MD → → → (MC → → MC → CD → → ∴MA· =(MB+BA)· → +CD)=MB· +MB· + ? 2? ? ? → · +BA· =-? ?2+?-1?+1+2×1=2,故选 B. → → CD → BA MC ? 2 ? ? 2? ? ?

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平面向量

7.(2010·浙江文)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2, α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________.
[答案] 10
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[解析] ∵α⊥(α-2β),∴α·(α-2β)=α2-2α·β=0

∴2α·β=α2 ∴|2α+β|= 4α2+4α·β+β2= 6α2+β2
= 6|α|2+|β|2= 6+4= 10.

(

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第五章

平面向量

8.(2010·江西文)已知向量a,b满足|b|=2,a与b的

夹角为60°,则b在a上的投影是____________.
[答案] 1
[解析] b· a 向量 b 在 a 上的投影为 l= =|b|· cos60° =1. |a|

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第五章

平面向量

9.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐 角,则实数λ的取值范围是________.
[答案] 5 λ>-3且 λ≠0

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平面向量
∵a 与 a+λb 均不是零向量,夹角为锐角,
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[解析]

5 ∴a· (a+λb)>0,∴5+3λ>0,∴λ>-3. 当 a 与 a+λb 共线时,a+λb=ma, 即(1+λ,2+λ)=(m,2m).
?1+λ=m ? ∴? ?2+λ=2m ?

,得 λ=0,

(

即当 λ=0 时,a 与 a+λb 共线,∴λ≠0. 5 即 λ>-3且 λ≠0.

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