tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 高二数学 >>

二项式定理十大典型例题配套练习


中国领先的个性化教育品牌

精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 年 级:高二 辅导科目:数学 课 时 数: 3 学科教师:

教学内容

1.二项式定理:
(a ? b) ? C n a ? C na
n 0 n 1 n ?1

b ? ? ? Cna
r

n?r

b ? ? ? C n b (n ? N ) ,
r n n

?

2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做 ( a ? b ) 的二项展开式。
n
r ②二项式系数:展开式中各项的系数 C n ( r ? 0,1, 2, ? ? ?, n ) .

③项数:共 ( r ? 1) 项,是关于 a 与 b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第 r ? 1 项 C nr a n ? r b r 叫做二项式展开式的通项。用 T r ? 1 ? C n a
r n?r

b 表示。

r

3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有 ( n ? 1) 项。 ②顺序:注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。 ( a ? b ) 与 ( b ? a ) 是不同的。
n n

③指数: a 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列。各项的次数和等于 n .
1 ④系数: 注意正确区分二项式系数与项的系数, 二项式系数依次是 C n0 , C n , C n2 , ? ? ?, C nr , ? ? ?, C nn . 项的系数是 a 与 b 的系数

(包括二项式系数) 。 4.常用的结论: 令 a ? 1, b ? x , 令 a ? 1, b ? ? x , 5.性质:
0 n k k ?1 ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即 C n ? C n ,· C n ? C n ··

(1 ? x ) ? C n ? C n x ? C n x ? ? ? C n x ? ? ? C n x ( n ? N )
n 0 1 2 2 r r n n

?

(1 ? x ) ? C n ? C n x ? C n x ? ? ? C n x ? ? ? ( ? 1) C n x ( n ? N )
n 0 1 2 2 r r n n n

?

0 1 2 r n n ②二项式系数和:令 a ? b ? 1 ,则二项式系数的和为 C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? ? ? C n ? 2 ,

精锐教育网站:www.1smart.org

1

中国领先的个性化教育品牌
1 变形式 C n ? C n2 ? ? ? C nr ? ? ? C nn ? 2 n ? 1 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和:
1 在二项式定理中,令 a ? 1, b ? ? 1 ,则 C n0 ? C n ? C n2 ? C n3 ? ? ? ( ? 1) n C nn ? (1 ? 1) n ? 0 ,

1 从而得到: C n0 ? C n2 ? C n4 ? ? ? ? C n2 r ? ? ? ? ? C n ? C n3 ? ? ? C n2 r ? 1 ? ? ? ? ?

1 2

?2 ? 2
n

n ?1

④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
(a ? x) ? C n a x ? C na
n 0 n 0 1 n 0 0 n 1 n ?1

x ? Cna
2 2

n?2

x ?? ? Cn a x
2 n 0 n n

n

? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n x
1 2 n 2 1

n

( x ? a ) ? C n a x ? C nax

n ?1

? Cna x
2

n?2

? ? ? C n a x ? a n x ? ? ? a 2 x ? a1 x ? a 0
0 n

令 x ? 1, 则 a 0 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? a n ? ( a ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 令 x ? ? 1, 则 a 0 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? ( a ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ②
n

① ? ② 得 , a0 ? a2 ? a4 ? ? an ? ① ? ② 得 , a1 ? a 3 ? a 5 ? ? a n ?

( a ? 1) ? ( a ? 1)
n

n

(奇 数 项 的 系 数 和 ) (偶 数 项 的 系 数 和 )
n

2 ( a ? 1) ? ( a ? 1)
n n

2

⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数 n 是偶数时,则中间一项的二项式系数 C n2 取得最大值。
n ?1 n ?1

如果二项式的幂指数 n 是奇数时,则中间两项的二项式系数 C n
n

2

, C n 2 同时取得最大值。

⑥系数的最大项:求 ( a ? b x ) 展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为 A1 , A 2 , ? ? ?, A n ? 1 ,设第 r ? 1 项系数最大,应有 ?
? Ar ?1 ? Ar ? Ar ?1 ? Ar ? 2

,从而解出 r 来。

专题一
题型一:二项式定理的逆用;
1 2 3 2 n n ?1 ? 例: C n ? C n ? 6 ? C n ? 6 ? ? ? C n ? 6

.

n 0 1 2 2 3 3 n n 解: (1 ? 6 ) ? C n ? C n ? 6 ? C n ? 6 ? C n ? 6 ? ? ? C n ? 6 与已知的有一些差距,

? Cn ? Cn ?6 ? Cn ?6 ? ? ? Cn ?6
1 2 3 2 n

n ?1

?

1 6

(C n ? 6 ? C n ? 6 ? ? ? C n ? 6 )
1 2 2 n n

精锐教育网站:www.1smart.org

2

中国领先的个性化教育品牌
? 1 6 ( C n ? C n ? 6 ? C n ? 6 ? ? ? C n ? 6 ? 1) ?
0 1 2 2 n n

1 6

[(1 ? 6 ) ? 1] ?
n

1 6

( 7 ? 1)
n

1 练: C n ? 3 C n2 ? 9 C n3 ? ? ? 3 n ? 1 C nn ?

.

1 解:设 S n ? C n ? 3 C n2 ? 9 C n3 ? ? ? 3 n ? 1 C nn ,则

3 S n ? C n 3 ? C n 3 ? C n 3 ? ? ? C n 3 ? C n ? C n 3 ? C n 3 ? C n 3 ? ? ? C n 3 ? 1 ? (1 ? 3) ? 1
1 2 2 3 3 n n 0 1 2 2 3 3 n n n

? Sn ?

(1 ? 3) ? 1
n

?

4 ?1
n

3

3

题型二:利用通项公式求 x n 的系数;
1 x

例:在二项式 ( 4

?

3

x ) 的展开式中倒数第 3 项的系数为 4 5 ,求含有 x 的项的系数?
2 n
3

解:由条件知 C n

n?2

? 4 5 ,即 C n ? 4 5 ,? n ? n ? 9 0 ? 0 ,解得 n ? ? 9 ( 舍 去 ) 或 n ? 1 0 ,由
2
2
2 ? 10 ? r 4 ? 2 3 r

Tr ?1 ? C 1 0 ( x
r

?

1 4

)

10 ? r

( x 3 ) ? C 10 x
r r

,由题意 ?

10 ? r 4

?

2 3

r ? 3, 解 得 r ? 6 ,

3 则含有 x 的项是第 7 项 T 6 ? 1 ? C 160 x 3 ? 2 1 0 x 3 ,系数为 2 1 0 。

练:求 ( x 2 ?

1 2x

) 展开式中 x 的系数?
9

9

解: T r ? 1 ? C 9r ( x 2 ) 9 ? r ( ? 故 x 的系数为 C 9 ( ?
9
3

1 2x

) ? C9 x
r r

18? 2 r

(?

1 2

) x

r

?r

? C 9 (?
r

1 2

) x

r

18 ? 3 r

,令 1 8 ? 3 r ? 9 ,则 r ? 3

1 2

) ? ?
3

21 2



题型三:利用通项公式求常数项; 例:求二项式 ( x 2 ?
2 1 x )
10

的展开式中的常数项?

解: T r ? 1 ? C 1r0 ( x 2 ) 1 0 ? r ( 练:求二项式 ( 2 x ?
1 2x

1 2
6

1 8 45 1 r 20 ? r 5 8 r r ) ? C 1 0 ( ) x 2 ,令 2 0 ? r ? 0 ,得 r ? 8 ,所以 T 9 ? C 1 0 ( ) ? 2 256 2 2 x

5

) 的展开式中的常数项? 1 2x ) ? ( ? 1) C 6 2
r r r 6?r

解: T r ? 1 ? C 6r ( 2 x ) 6 ? r ( ? 1) r ( 练:若 ( x 2 ?
1 x
n

1 r 6?2r 3 3 ,令 6 ? 2 r ? 0 ,得 r ? 3 ,所以 T 4 ? ( ? 1) C 6 ? ? 2 0 ( ) x 2

) 的二项展开式中第 5 项为常数项,则 n ? _ _ _ _ .

精锐教育网站:www.1smart.org

3

中国领先的个性化教育品牌 解: T 5 ? C n4 ( x 2 ) n ? 4 ( ) 4 ? C n4 x 2 n ? 1 2 ,令 2 n ? 1 2 ? 0 ,得 n ? 6 .
x 1

题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项; 例:求二项式 ( x ?
1

3

x ) 展开式中的有理项?
9
1 27 ? r 6

r 9?r r r r 解: T r ? 1 ? C 9 ( x 2 ) ( ? x 3 ) ? ( ? 1) C 9 x

,令

27 ? r 6

? Z ,( 0 ? r ? 9 )得 r ? 3 或 r ? 9 ,

所以当 r ? 3 时, 当 r ? 9 时,

27 ? r 6

? 4 , T 4 ? ( ? 1) C 9 x ? ? 8 4 x ,
3 3 4 4 3 9 3 3

27 ? r 6

? 3 , T1 0 ? ( ? 1) C 9 x ? ? x 。

题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和; 例:若 ( x 2 ?
3

1 x 1
3 2

) 展开式中偶数项系数和为 ? 2 5 6 ,求 n .
n

解:设 ( x 2 ?

x

2

) 展开式中各项系数依次设为 a 0 , a 1 , ? ? ? a n ,
n

令 x ? ? 1 ,则有 a 0 ? a 1 ? ? ? ? a n ? 0 , ①, 令 x ? 1 ,则有 a 0 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? ? ? ( ? 1) a n ? 2 , ②
n n

将①-②得: 2 ( a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? ?) ? ? 2 n , ? a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? ? ? ? 2 n ? 1 , 有题意得, ? 2
1 x 1 x
2

n ?1

? ? 2 5 6 ? ? 2 ,? n ? 9 。
8

练:若 ( 3

?

5

) 的展开式中,所有的奇数项的系数和为 1 0 2 4 ,求它的中间项。
n

1 解:? C n0 ? C n2 ? C n4 ? ? ? ? C n2 r ? ? ? ? ? C n ? C n3 ? ? ? C n2 r ? 1 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ,? 2

n ?1

? 1 0 2 4 ,解得 n ? 1 1
61 15

所以中间两个项分别为 n ? 6, n ? 7 , T 5 ? 1 ? C n (
5

3

1 x

) (

6

5

1 x
2

) ? 462 ? x
5

?4

, T6 ?1 ? 4 6 2 ? x

?

题型六:最大系数,最大项; 例:已知 (
1 2 ? 2 x ) ,若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项
n

的系数是多少?
4 6 5 2 解:? C n ? C n ? 2 C n ,? n ? 2 1 n ? 9 8 ? 0 , 解出 n ? 7 或 n ? 1 4 ,当 n ? 7 时,展开式中二项式系数最大的项是

35 3 1 4 3 4 1 3 4 T 4 和 T 5 ? T 4的 系 数 ? C 7 ( ) 2 ? , , T 5的 系 数 ? C 7 ( ) 2 ? 7 0 , 当 n ? 1 4 时,展开式中二项式系数最大 2 2 2
7 的项是 T 8 ,? T 8的 系 数 ? C 1 4 ( ) 7 2 7 ? 3 4 3 2 。

1

2

精锐教育网站:www.1smart.org

4

中国领先的个性化教育品牌 练:在 ( a ? b ) 2 n 的展开式中,二项式系数最大的项是多少? 解:二项式的幂指数是偶数 2 n ,则中间一项的二项式系数最大,即 T 2 n
2 ?1

? T n ? 1 ,也就是第 n ? 1 项。

练:在 (

x 2

?

1
3

) 的展开式中,只有第 5 项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少?
n

x
n 2 ? 1 ? 5 ,即 n ? 8 ,所以展开式中常数项为第七项等于 C 8 (
6

解:只有第 5 项的二项式最大,则

1 2

) ? 7
2

练:写出在 ( a ? b ) 7 的展开式中,系数最大的项?系数最小的项? 解:因为二项式的幂指数 7 是奇数,所以中间两项( 第 4 , 5 项 )的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有
T 4 ? ? C 7 a b 的系数最小, T 5 ? C 7 a b 系数最大。
3 4 3 4 3 4

练:若展开式前三项的二项式系数和等于 7 9 ,求 (

1 2

? 2 x ) 的展开式中系数最大的项?
n

1 解:由 C n0 ? C n ? C n2 ? 7 9 , 解出 n ? 1 2 ,假设 T r ? 1 项最大,? (

1 2

? 2 x)

12

1 12 12 ? ( ) (1 ? 4 x ) 2

? C 12 4 ? C 12 4 ? Ar ?1 ? Ar ? ?? ? ? ,化简得到 9 .4 ? r ? 1 0 .4 ,又? 0 ? r ? 1 2 ,? r ? 1 0 ,展开式中系数最 r r r ?1 r ?1 ? C 12 4 ? C 12 4 ? Ar ?1 ? Ar ? 2 ?
r r

r ?1

r ?1

大的项为 T1 1 ,有 T1 1 ? ( ) C 1 2 4 x
12 10 10

1

10

? 16896 x

10

2

10 练:在 (1 ? 2 x ) 的展开式中系数最大的项是多少?

解:假设 T r ? 1 项最大,? T r ? 1 ? C 1 0 ? 2 x
r r
r r r ?1

r

? C 10 2 ? C 10 2 ? Ar ?1 ? Ar ? 2 (1 1 ? r ) ? r ? ?? ? ? 解得 ? ,化简得到 6 .3 ? k ? 7 .3 ,又? 0 ? r ? 1 0 , r r r ?1 r ?1 ? r ? 1 ? 2 (1 0 ? r ) ? C 10 2 ? C 10 2 , ? Ar ?1 ? Ar ? 2 ?

r ?1

? r ? 7 ,展开式中系数最大的项为 T8 ? C 1 0 2 x ? 1 5 3 6 0 x .
7 7 7 7

题型七:含有三项变两项;
2 5 例:求当 ( x ? 3 x ? 2 ) 的展开式中 x 的一次项的系数?

2 5 2 5 r 2 5?r r 解法①: ( x ? 3 x ? 2 ) ? [( x ? 2 ) ? 3 x ] , T r ? 1 ? C 5 ( x ? 2 ) (3 x ) ,当且仅当 r ? 1 时, T r ? 1 的展开式中才有 x

1 2 4 1 4 4 的一次项,此时 T r ? 1 ? T 2 ? C 5 ( x ? 2 ) 3 x ,所以 x 得一次项为 C 5 C 4 2 3 x

1 4 4 它的系数为 C 5 C 4 2 3 ? 2 4 0 。

2 5 5 5 0 5 1 4 5 0 5 1 4 5 5 解法②: ( x ? 3 x ? 2 ) ? ( x ? 1) ( x ? 2 ) ? ( C 5 x ? C 5 x ? ? ? ? ? C 5 )( C 5 x ? C 5 x 2 ? ? ? ? ? C 5 2 )

精锐教育网站:www.1smart.org

5

中国领先的个性化教育品牌 故展开式中含 x 的项为 C 5 xC 5 2 ? C 5 x 2 ? 2 4 0 x ,故展开式中 x 的系数为 240.
4 5 5 4 4

练:求式子 ( x ?

1 x

? 2 ) 的常数项?
3

解: ( x ?

1 x

? 2) ? (
3

x ?

1 x

) ,设第 r ? 1 项为常数项,则 T r ? 1 ? C 6 ( ? 1)
6

r

r

x

6?r

(

1 x

) ? ( ? 1) C 6 x
r 6 r

6?2r

,得

6 ? 2 r ? 0 , r ? 3 , ? T 3 ? 1 ? ( ? 1) C 6 ? ? 2 0 .
3 3

题型八:两个二项式相乘; 例: 求 (1 ? 2 x ) (1 ? x ) 展 开 式 中 x 的 系 数 .
3 4 2

解:? (1 ? 2 x ) 的 展 开 式 的 通 项 是 C 3 ? ( 2 x ) ? C 3 ? 2 ? x ,
3 m m m m m

(1 ? x ) 的 展 开 式 的 通 项 是 C 4 ? ( ? x ) ? C 4 ? ? 1 ? x , 其 中 m ? 0,1, 2, 3, n ? 0,1, 2, 3, 4,
4 n n n n n

令 m ? n ? 2, 则 m ? 0 且 n ? 2, m ? 1且 n ? 1, m ? 2 且 n ? 0, 因 此 (1 ? 2 x ) (1 ? x )
3

4

的 展 开 式 中 x 的 系 数 等 于 C 3 ? 2 ? C 4 ? ( ? 1) ? C 3 ? 2 ? C 4 ? ( ? 1) ? C 3 ? 2 ? C 4 ? ( ? 1) ? ? 6 .
2 0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 0 0

练: 求 (1 ?

3

x ) (1 ?
6

1
4

) 展开式中的常数项.

10

x
m ? n 4 4m ?3n

解: (1 ?

3

x ) (1 ?
6

1
4

x

) 展 开 式 的 通 项 为 C6 x

10

m

3

? C 10 x
n

? C 6 ? C 10 ? x
m n

12

? m ? 0, ? m ? 3, ? m ? 6, 其 中 m ? 0 ,1, 2 , ? ? ?, 6 , n ? 0 ,1, 2 , ? ? ?,1 0 , 当 且 仅 当 4 m ? 3 n , 即 ? 或 ? 或 ? ? n ? 0, ? n ? 4, ? n ? 8,

时 得 展 开 式 中 的 常 数 项 为 C 6 ? C10 ? C 6 ? C10 ? C 6 ? C10 ? 4 2 4 6 .
0 0 3 4 6 8

练:已 知 (1 ? x ? x )( x ?
2

1 x
3

) 的 展 开 式 中 没 有 常 数 项 , n ? N 且 2 ? n ? 8, 则 n ? _ _ _ _ _ _ .
n * r n?r

解: ( x ?
Cn ? x
r

1 x
3

) 展开式的通项为Cn ? x
n

?x

?3 r

? Cn ? x
r

n?4r

,通 项 分 别 与 前 面 的 三 项 相 乘 可 得

n?4r

,Cn ? x
r

n ? 4 r ?1

,Cn ? x
r

n?4r?2

,? 展 开 式 中 不 含 常 数 项 , 2 ? n ? 8

? n ? 4 r 且 n ? 4 r ? 1且 n ? 4 r ? 2, 即 n ? 4, 8 且 n ? 3, 7 且 n ? 2, 6,? n ? 5 .

题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和; 例: 在 ( x ?
2)
2006

的 二 项 展 开 式 中 , 含 x的 奇 次 幂 的 项 之 和 为 S , 当 x ?

2时 , S ? _ _ _ _ _ .

精锐教育网站:www.1smart.org

6

中国领先的个性化教育品牌 解: 设 ( x ?
(? x ? 2) 2)
2006

= a 0 ? a1 x ? a 2 x ? a 3 x ? ? ? a 2 0 0 6 x
1 2 3 1 2 3

2006

-------①

2006

= a 0 ? a1 x ? a 2 x ? a 3 x ? ? ? a 2 0 0 6 x
3 5 2005

2006

-------② 2)
2006

① ? ② 得 2 ( a1 x ? a 3 x ? a 5 x ? ? ? a 2 0 0 5 x
? (x ? 2)
2006

) ? (x ?
1 2

? (x ?
2006

2)

2006

展 开 式 的 奇 次 幂 项 之 和 为 S (x) ?

[( x ?

2)

? (x ?

2)

2006

]

3? 2 0 0 6

当x ?

2时 , S ( 2 ) ?

1 2

[( 2 ?

2)

2006

?( 2 ?

2)

2006

]? ?

2

2

? ?2 2

3008

题型十:赋值法; 例:设二项式 (3 3 x ?
1 x ) 的展开式的各项系数的和为 p ,所有二项式系数的和为 s ,若
n

p ? s ? 2 7 2 ,则 n 等于多少?

解:若 (3 3 x ?

1 x

) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? ? ? a n x ,有 P ? a 0 ? a 1 ? ? ? ? ? a n , S ? C n ? ? ? ? C n ? 2 ,
n 2 n

0

n

n

令 x ? 1 得 P ? 4 ,又 p ? s ? 2 7 2 ,即 4 ? 2 ? 2 7 2 ? ( 2 ? 1 7 )( 2 ? 1 6 ) ? 0 解得 2 ? 1 6 或 2 ? ? 1 7 ( 舍 去 ) ,
n
n n n n n n

?n ? 4.

? 练:若 ? 3 ? ?

1 ? x ? ? 的展开式中各项系数之和为 6 4 ,则展开式的常数项为多少? ? x ? 1 ? n x ? ? 的展开式中各项系数之和为 2 ? 6 4 ,所以 n ? 6 ,则展开式的常数项为 ? x ?
1 x
2009

n

? 解:令 x ? 1 ,则 ? 3 ? ?
3

n

C 6 (3

x ) ? (?
3

) ? ?540 .
3

练: 若 (1 ? 2 x ) 解: 令 x ?
1 2

? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? a 3 x ? ? ? a 2 0 0 9 x
1 2 3

2009

( x ? R ), 则 a 2009 2
2009

a1 2

?

a2 2
2

? ??? ?

a 2009 2
2009

的值为

, 可 得 a0 ?

a1 2

?

a2 2
2

? ??? ? a1 2
3

a 2009 2
2009

? 0 ,?

a1 2

?

a2 2
2

? ??? ?

? ? a0

在 令 x ? 0 可 得 a 0 ? 1, 因 而
5 5 4

?

a2 2
2

? ??? ?
2

a 2009 2
1
2009

? ?1.

练: 若 ( x ? 2 ) ? a 5 x ? a 4 x ? a 3 x ? a 2 x ? a 1 x ? a 0 , 则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? _ _ _ _ . 解: 令 x ? 0 得 a 0 ? ? 3 2, 令 x ? 1得 a 0 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? ? 1,
? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? 3 1 .

题型十一:整除性;

精锐教育网站:www.1smart.org

7

中国领先的个性化教育品牌 例:证明: 3 2 n ? 2 ? 8 n ? 9 ( n ? N * ) 能被 64 整除 证: 3
2n?2

? 8n ? 9 ? 9
0 n ?1 1

n ?1

? 8 n ? 9 ? (8 ? 1)
n ?1 2

n ?1

? 8n ? 9
1 n ?1

? C n ?1 8 ? C n ?1 8
0

? C n ?1 8 ? ? ? ? ? C n ?1 8 ? C n ?1 8 ? C n ?1 ? 8 n ? 9
n n

n ?1

? C n ? 1 8 ? ? ? ? ? C n ? 1 8 ? 8( n ? 1) ? 1 ? 8 n ? 9 ? C n ? 1 8
1 n 2 0

n ?1

n ?1

? C n ?1 8 ? ? ? ? ? C n ?1 8
1 n

n ?1

2

由于各项均能被 64 整除? 3 2 n ? 2 ? 8 n ? 9 ( n ? N * )能 被 6 4 整 除

1、(x-1) 展开式中 x 的偶次项系数之和是 1、设 f(x)=(x-1) , 偶次项系数之和是 2、 C n ? 3 C n ? 3 C n ? ? ? 3 C n ?
0 1 2 2 n n

11

11

f (1 ) ? f ( ? 1) 2

? (?2)

11

/ 2 ? ? 1024

2、

2、4

n

3、 ( 3 5 ?

1 5

)

20

的展开式中的有理项是展开式的第



王新敞
奎屯

新疆

3、3,9,15,21 4、(2x-1) 展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1) 展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 展开式系数之和,故令 x=1,则所求和为 3 5、求(1+x+x )(1-x) 展开式中 x 的系数 5、(1 ? x ? x )( 1 ? x )
2 10 3

5

5

5

5
王新敞
奎屯 新疆

2

10

4

王新敞
奎屯

新疆

? (1 ? x )( 1 ? x ) ,要得到含 x 的项,必须第一个因式中的 1 与(1-x) 展开式中的项 C 9 ( ? x )
9

4

9

4

4

作积,第一个因式中的-x 与(1-x) 展开式中的项 C 9 ( ? x ) 作积,故 x 的系数是 C 9 ? C 9 ? 135
1 1 4

3

9

4

王新敞
奎屯

新疆

6、求(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 展开式中 x 的系数
( 6、 (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? ? 1 ? x ) ?
2 10

2

10

3

王新敞
奎屯

新疆

(1 ? x )[ 1 ? (1 ? x ) 1 ? (1 ? x )

10

]

=

( x ? 1)

11

? ( x ? 1) x

,原式中 x 实为这分子中的 x ,则所

3

4

求系数为 C 11

7

王新敞
奎屯

新疆

7、若 f ( x ) ? (1 ? x )

m

? (1 ? x ) ( m ? n ? N ) 展开式中,x 的系数为 21,问 m、n 为何值时,x 的系数最小?
n

2

精锐教育网站:www.1smart.org

8

中国领先的个性化教育品牌 7、由条件得 m+n=21,x 的项为 C m x ? C n x ,则 C m ? C n ? ( n ?
2 2 2 2

2

2

2

21 2

) ?
2

399 4

. 因 n∈N,故当 n=10 或 11 时上式有

最小值,也就是 m=11 和 n=10,或 m=10 和 n=11 时,x 的系数最小 8、自然数 n 为偶数时,求证:
1 ? 2C n ? C n ? 2C n ? C n ? ? ? 2C n
1 2 3 4 n ?1

2

王新敞
奎屯

新疆

? Cn ? 3 ? 2
n 1 3

n ?1

8、原式= ( C n ? C n ? C n ? ? ? C n
0 1 2

n ?1

? C n ) ? (C n ? C n ? C n ? ? ? C n ) ? 2 ? 2
n 5 n

n ?1

n ?1

? 3 .2

n ?1

9、求 80 9、 80

11

被 9 除的余数
11

王新敞
奎屯

新疆

11

? ( 81 ? 1 )

? C 11 81
0
11

11

? C 11 81
1

10

? ? ? C 11 81 ? 1 ? 81 k ? 1( k ? Z ) ,
10

∵k∈Z,∴9k-1∈Z,∴ 81 被 9 除余 8
2 5

王新敞
奎屯

新疆

10、在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数 10、 ( x ? 3 x ? 2 ) ? ( x ? 1) ( x ? 2 )
2 5 5 5

王新敞
奎屯

新疆

在(x+1) 展开式中, 常数项为 1, x 的项为 C 5 ? 5 x , 含 在(2+x) 展开式中, 常数项为 2 =32, x 的项为 C 5 2 x ? 80 x 含
1 1 4

5

5

5

∴展开式中含 x 的项为 1 ? ( 80 x ) ? 5 x ( 32 ) ? 240 x ,此展开式中 x 的系数为 240 11、求(2x+1) 展开式中系数最大的项 11、设 Tr+1 的系数最大,则 Tr+1 的系数不小于 Tr 与 Tr+2 的系数,即有
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

12

r r? ? C 12 ? 2 C 12 ? C 12 2 12 ? r ? C 12 1 2 13 ? r ? r 12 ? r r ?1 11 ? r ? ? r r ?1 ? C 12 12 ? C 12 2 ? 2 C 12 ? C 12 r

r ?1

? 3

1 3

? r ? 4

1 3

,? r ? 4
4 4

∴展开式中系数最大项为第 5 项,T5= 16 C 12 x

? 7920 x

4

精锐教育网站:www.1smart.org

9



推荐相关:

5.6二项式定理十大典型例题配套练习

5.6二项式定理十大典型例题配套练习 - 选修 2-3:二项式定理常见题型 第 1 页共 9 页 1 1.二项式定理: 0 n 1 n?1 r n ?r r n n (a ? b)n ...


二项式定理十大典型例题配套练习

二项式定理十大典型例题配套练习 - 精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号: 学员姓名: 年级:高二 辅导科目:数学 课时数: 3 学科教师: 教学内容 1.二项式定理: 0 n...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com