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第五章第3讲 等比数列及其前n项和


第五章 数列

第3讲

等比数列及其前n项和

第五章 数列

1.等比数列的有关概念 (1)定义: 如果一个数列从第________ 项起,每一项与它的前一项的 2

同一常数 比等于______________ (不为零),那么这个数列就叫做等 公比 比数列.这个常数叫做等比数列的 __________ ,通常用字 a
=q a 母 q 表示,定义的表达式为__________________ . n
(2)等比中项:
n+1

G 如果 a、G、b 成等比数列,那么_______ 叫做 a 与 b 的等比
中项.即:G 是 a 与 b 的等比中项?a,G,b 成等比数列

G2=ab . ?__________
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第五章 数列

2.等比数列的有关公式 n- 1 a q 1 (1)通项公式:an=__________. na1 ,q=1, ______

? ? (2)前 n 项和公式:Sn=?a1(1-qn) a1-anq = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q
3.等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列,Sn 是其前 n 项和.(m,n,p,q, r,k∈N*) 2 a · a a p q r (1)若 m+n=p+q=2r,则 am·an=__________=______ ; (2)数列 am,am+k,am+2k,am+3k,?仍是等比数列; (3)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍是等比数列(此时{an} 的公比 q≠-1).
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第五章 数列

[做一做] 1.(2014· 高考重庆卷)对任意等比数列{an},下列说法一定正确 的是( D ) A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列
a6 a9 解析:设等比数列的公比为 q,因为 = =q3,即 a2 6=a3a9, a3 a6 所以 a3,a6,a9 成等比数列.故选 D.

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第五章 数列

2.(2014· 高考江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中,

4 若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是________ .
解析:因为 a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由 a8=a6+ 2a4 得 a2q6=a2q4+2a2q2, 消去 a2q2, 得到关于 q2 的一元二次 方程(q2)2-q2-2=0,解得 q2=2,a6=a2q4=1×22=4.

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第五章 数列

1.辨明三个易误点 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 也不能为 0,但 q 可为正数,也可为负数. (2)由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列, 还要验证 a1≠0. (3)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一特殊情形而导致 解题失误.

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第五章 数列

2.等比数列的三种判定方法 an+1 (1)定义: =q(q 是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比 an 数列. (2)通项公式: an=cqn 1(c、q 均是不为零的常数,n∈N*)


?{an}是等比数列.
* (3)等比中项法:a2 = a · a ( a · a · a ≠ 0 , n ∈ N ) + + + + n 1 n n 2 n n 1 n 2

?{an}是等比数列.

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第五章 数列

3.求解等比数列的基本量常用的思想方法 (1)方程的思想:等比数列的通项公式、前 n 项和的公式中 联系着五个量:a1,q,n,an,Sn,已知其中三个量,可以 通过解方程(组)求出另外两个量; 其中基本量是 a1 与 q, 在 解题中根据已知条件建立关于 a1 与 q 的方程或者方程组, 是解题的关键. (2)分类讨论思想:在应用等比数列前 n 项和公式时,必须 分 类 求 和 , 当 q = 1 时, Sn = na1 ; 当 q≠1 时 , Sn = a1(1-qn) ;在判断等比数列单调性时,也必须对 a1 与 q 1-q 分类讨论.
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[做一做] 3. (2015· 海淀区第二学期期中练习)在数列{an}中, “an=2an -1,n=2,3,4,?”是“{an}是公比为 2 的等比数列”的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当 an=0 时,也有 an=2an-1,n=2,3,4,?,但{an}

第五章 数列

是等差数列,不是等比数列,因此充分性不成立.当{an}是公 an 比为 2 的等比数列时,有 =2,n=2,3,4,?,即 an= an-1 2an-1,n=2,3,4,?,所以必要性成立.故选 B.
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第五章 数列

4.若等比数列{an}满足 a1+a4=10,a2+a5=20,则{an}的 10 n (2 -1) 9 前 n 项和 Sn=________ .

解析:由题意 a2+a5=q(a1+a4),得 20=q×10,故 q=2, 10 代入 a1+a4=a1+a1q3=10,得 9a1=10,得 a1= . 9 10 (1-2n) 9 10 n 故 Sn= = (2 -1). 9 1-2

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第五章 数列

考点一 考点二 考点三

等比数列的基本运算(高频考点) 等比数列的判定与证明 等比数列的性质

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第五章 数列

考点一 等比数列的基本运算(高频考点)
等比数列的基本运算是高考的常考内容,题型既有选择题、 填空题,也有解答题,难度适中,属中、低档题. 高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度: (1)求首项 a1、公比 q 或项数 n;(2)求通项或特定项;(3)求 前 n 项和.

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第五章 数列

(1)(2015· 江苏扬州中学期中测试)设等比数列{an}的 各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,若 a1=1,a3=4,Sk=

6 63,则 k=________ .
(2)已知等比数列{an}为递增数列,且 a2 5= a10,2(an+an+ 2)

2n =5an+1,则数列{an}的通项公式 an=________ .
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q,由已知 a1=1,a3
2

a3 =4,得 q = =4.又{an}的各项均为正数,∴q=2.而 Sk= a1 1-2k =63,∴2k-1=63,解得 k=6. 1-2
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第五章 数列

(2)设数列{an}的首项为 a1,公比为 q, ∵a2 5=a10,2(an+an+2)=5an+1,
2 8 9 ? a · q = a · q , ? 1 1 ∴? 2 ? 2 ( 1 + q )=5q, ?

① ②

由①得 a1=q, 1 由②知 q=2 或 q= , 2 又数列{an}为递增数列,∴a1=q=2,从而 an=2n.

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第五章 数列

(3)(2014· 高考重庆卷节选)已知{an}是首项为 1, 公差为 2 的 等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和.设{bn}是首项为 2 的等 比数列,公比 q 满足 q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公 式及其前 n 项和 Tn.
解:因为{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 所以 an=a1+(n-1)d=2n-1, n(a1+an) Sn=1+3+?+(2n-1)= 2 n(1+2n-1) = =n2. 2
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第五章 数列

所以 a4=7,S4=16. 因为 q2-(a4+1)q+S4=0,即 q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而 q=4. 又因为 b1=2,{bn}是公比 q=4 的等比数列, 所以 bn=b1qn 1=2· 4n 1=22n 1.
- - -

b1(1-qn) 2 n 从而{bn}的前 n 项和 Tn= = (4 -1). 3 1-q

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第五章 数列

[规律方法] 等比数列运算的通法: 与等差数列一样,求等比数列的基本量也常运用方程的思 想和方法. 从方程的观点看等比数列的通项公式 an=a1· qn na1,q=1 ? ? -1 (a1q≠0)及前 n 项和公式 Sn=?a1(1-qn) 中共有 ,q≠1 ? 1 - q ? 五个变量,已知其中的三个变量,可以通过构造方程或方 程组求另外两个变量,在求公比 q 时,要注意应用 q≠0 验 证求得的结果.

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第五章 数列

1.(1)(2015· 北京海淀模拟 ) 已知等比数列 {an} 的 前 n 项和为 Sn,且 S1,S2+a2,S3 成等差数列,则数列{an} 的公比为( D ) A.1 1 C. 2 B.2 D.3

(2)(2015· 河北唐山高三统考)在公比大于 1 的等比数列{an} 中,a3a7=72,a2+a8=27,则 a12=( A ) A.96 C.72 B.64 D.48
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第五章 数列

(3)(2015· 东北三校第二次模拟)已知数列{an}满足 2an+1+an =0,a2=1,则数列{an}的前 10 项和 S10 为( C ) 4 A. (210-1) 3 4 - C. (2 10-1) 3 4 B. (210+1) 3 4 - D. (2 10+1) 3

解析:(1)因为 S1,S2+a2,S3 成等差数列,所以 2(S2+a2) =S1+S3,2(a1+a2+a2)=a1+a1+a2+a3,a3=3a2,q=3.

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第五章 数列

(2) 由题意及等比数列的性质知 a3a7=a2a8=72,又 a2+a8 =27,∴a2,a8 是方程 x2-27x+72=0 的两个根,
? ?a2=24 ? ?a2=3, ∴? 或? 又公比大于 1, ? ? ?a8=3 ?a8=24, ? ?a2=3, ∴? ∴q6=8,即 q2=2,∴a12=a2q10=3×25=96. ? ?a8=24,

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第五章 数列

an+1 1 (3)∵2an+1+an=0,∴ =- . an 2 1 又 a2=1,∴a1=-2,∴{an}是首项为-2,公比为 q=- 2 a1(1-q10) -2(1-2 的等比数列,∴S10= = 1 1- q 1+ 2
10
-10



4 - = (2 3

-1),故选 C.

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第五章 数列

考点二 等比数列的判定与证明
(2015· 东北三校联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an+(-1)n(n∈N*). (1)求数列{an}的前三项 a1,a2,a3; 2 (2)求证:数列{an+ (-1)n}为等比数列,并求出{an}的通项 3 公式.

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第五章 数列

[解]

(1)在 Sn=2an+(-1)n(n∈N*)中分别令 n=1,2,3 得:

a1=2a1-1 a1=1 ? ? ? ? ?a1+a2=2a2+1 ,解得?a2=0. ? ? ?a1+a2+a3=2a3-1 ?a3=2 (2)证明:由 Sn=2an+(-1)n(n∈N*),得 Sn-1=2an-1+(-1)n 1(n≥2),两式相减得:


an=2an-1-2(-1)n(n≥2),

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第五章 数列

4 2 4 2 n n n-1 an = 2an - 1 - ( - 1) - ( - 1) = 2an - 1 + ( - 1) - ( - 3 3 3 3 1)n(n≥2), 2 2 - n ∴an+ (-1) =2[an-1+ (-1)n 1](n≥2). 3 3 2 2 1 n 故数列{an+ (-1) }是以 a1- = 为首项,公比为 2 的等 3 3 3 比数列. 2 - n 1 ∴an+ (-1) = ×2n 1, 3 3 n-1 2 1 2 2 n-1 n an= ×2 - (-1) = - (-1)n. 3 3 3 3

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第五章 数列

在本例条件下,若数列{bn}满足 b1=a1,bn= an+an+1.证明:{bn}是等比数列.

2n 1 2 证明:∵an= - (-1)n, 3 3


n 2n 1 2 2 2 n n+1 n-1 ∴bn=an+an+1= - (-1) + - (-1) =2 . 3 3 3 3


又 b1=a1=1, bn+1 ∴ =2, bn ∴数列{bn}是等比数列.
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第五章 数列

[规律方法] 等比数列的判定方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他 方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是 等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

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第五章 数列

2 2.已知数列{an}满足:a1=λ,an+1= an+n-4, 3 其中 λ 为实数, n 为正整数. 对任意实数 λ, 证明: 数列{an} 不是等比数列.
2 证明:假设存在一个实数 λ,使{an}是等比数列,则有 a2 =

2 2 4 4 2 4 2 ? ? ? ? λ - 3 λ - 4 a1a3, 即?3 故 λ -4λ+9= λ -4λ, ? =λ?9 ?, 9 9 即 9=0,矛盾,所以{an}不是等比数列.

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第五章 数列

考点三 等比数列的性质
(1)(2015· 昆明三中、 玉溪一中统考)等比数列{an}中, 1 1 1 a1=1,q=2,则 Tn= + +?+ 的结果可化为 a1a2 a2a3 anan+1 ( C ) 1 A.1- n 4 1? 2? C. ?1-4n? 3 1 B.1- n 2 1? 2? D. ?1-2n? 3

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第五章 数列

(2)(2015· 山西省第三次四校联考)等比数列{an}满足 an>0,n ∈N*, 且 a3· a2n-3=22n(n≥2), 则当 n≥1 时, log2a1+log2a2 +?+log2a2n-1=( A ) A.n(2n-1) C.n2 B.(n+1)2 D.(n-1)2

(3)(2015· 山西省第二次四校联考)若等比数列{an}的前 n 项 S4 S8 17 和为 Sn,且 =5,则 =________ . S2 S4

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第五章 数列

[解析]

(1)依题意,an=2

n- 1

1 1 1 1 , = n-1 n= 2n-1= × 2 anan+1 2 ·2 2

1? ?1?n? 1-?4? 2 ? ? 2? ?1?n? 1 = 1-?4? ,故选 C. - ,所以 Tn= 1 3? ? 4n 1 1- 4
2n n (2)由等比数列的性质,得 a3·a2n-3=a2 = 2 ,从而得 a = 2 . n n

log2a1+log2a2+?+log2a2n-1 =log2[(a1a2n-1)·(a2a2n-2)?(an-1an+1)an] =log22n(2n
-1)

=n(2n-1).
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第五章 数列

a3+a4 S4 (3)设数列{an}的公比为 q,由已知得 =1+ = 5, 1 S2 a1+a2 a5+a6+a7+a8 S8 +q =5,所以 q =4, =1+ =1+q4=1+ S4 a1+a2+a3+a4
2 2

16=17.

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第五章 数列

[规律方法]

(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖

掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq” ,可以减少运算量,提高解题速度. (2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件, 有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想 的运用.

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第五章 数列

3 a 9 3.(1)在等比数列中, 已知 a1a3 a = 243 , 则 的 8 15 a11

值为( B ) A.3 C.27 B.9 D.81

(2)(2015· 长春调研)在正项等比数列{an}中, 已知 a1a2a3=4, a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n=( C ) A.11 C.14 B.12 D.16
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第五章 数列

(3)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3 等于( C ) A.1∶2 C.3∶4
解析:(1)设数列{an}的公比为 q,
2 ∵a1a3 a = 243 , a a = a 8 15 1 15 8,∴a8=3, 3 3 a3 a 9 8q 2 ∴ = 3=a8=9. a11 a8·q

B.2∶3 D.1∶3

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第五章 数列

(2)设数列{an}的公比为 q,
3 3 12 由 a1a2a3=4=a3 q 与 a a a = 12 = a 1 4 5 6 1q ,

可得 q

9

3 3n-3 =3,an-1anan+1=a1q =324,


因此 q3n 6=81=34=q36, 所以 n=14,故选 C. (3)由等比数列的性质知 S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列, 于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6), S9 3 1 将 S6= S3 代入得 = . 2 S3 4
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第五章 数列

方法思想——分类讨论思想在求数列前n项和中的应用
(2015· 江苏常州模拟)如果有穷数列 a1,a2,a3,?, am(m 为正整数)满足条件 a1=am,a2=am-1,?,am=a1,即 ai=am-i+1(i=1,2,?,m),我们称其为“对称数列”.例如, 数列 1,2,3,4,3,2,1 与数列 a,b,c,c,b,a 都是“对 称数列”. (1)设{bn}是 8 项的“对称数列”,其中 b1,b2,b3,b4 是等差 数列,且 b1=1,b5=13.依次写出{bn}的每一项; (2)设{cn}是 2m+1 项的“对称数列”,其中 cm+1,cm+2,?, c2m+1 是首项为 a,公比为 q 的等比数列,求{cn}的各项和 Sn.
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第五章 数列

[解]

(1)设数列{bn}的公差为 d,b4=b1+3d=1+3d.

又因为 b4=b5=13,解得 d=4, 所以数列{bn}为 1,5,9,13,13,9,5,1. (2)Sn=c1+c2+?+c2m+1=2(cm+1+cm+2+?+c2m+1)-cm+
m 1 1 - q 2 m = 2 a (1 + q + q +?+ q )-a=2a· -a(q≠1). 1 1-q


而当 q=1 时,Sn=(2m+1)a. (2m+1)a (q=1) ? ? ∴Sn=? 1-qm+1 . 2a· -a (q≠1) ? 1-q ?
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第五章 数列

[名师点评]

(1)本题是新定义型数列问题,在求等比数列

{cn}前 n 项和时用到了分类讨论思想. (2)分类讨论思想在数列中应用较多,常见的分类讨论有: ①已知 Sn 与 an 的关系,要分 n=1,n≥2 两种情况; ②项数的奇、偶数讨论; ③等比数列的单调性的判断注意与 a1,q 的取值的讨论.

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第五章 数列

(2014· 高考山东卷)在等差数列{an}中,已知公 差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2) 设 bn = a n(n+1) ,记 Tn =- b1 + b2 - b3 + b4 -?+ ( -
2

1)nbn,求 Tn.

解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2, 所以数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)由题意知 bn=an(n+1)=n(n+1), 2 所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+?+(-1)nn·(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1),可得当 n 为偶数时,
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第五章 数列

Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+?+(-bn-1+bn) n (4+2n) 2 n(n+2) =4+8+12+?+2n= = , 2 2 (n-1)(n+1) 当 n 为奇数时, Tn=Tn-1+(-bn)= -n(n 2 (n+1)2 +1)=- . 2 (n+1)2 - ,n为奇数, 2 所以 Tn= n(n+2) , n为偶数. 2

? ? ?

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第五章 数列

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