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高二数学第八学段理科2-2 数学导数单元总结


理科数学单元总结 2 选修 2-2 第一章 导数及其应用 班级: 一 知识结构图 函数的平均变化率 导数概念 运动瞬时速度 曲线切线斜率 基本初等函数求导 导数运算 导数 导数四则运算法则
1 ○ 2 ○ 4 ○

姓名

评定:

函数的导数

3 ○

5 曲线切线方程 ○

6 ○ 7 ○

8 简单复合函数的导数 ○

函数的单调性 导数应用 函数的极值和最值 曲线的切线 微积分 实际问题

9 ○ 10 ○ 11 ○ 12 ○

13 综合问题(参数范围,几何问题等)○

曲边梯形面积 定积分概念 定积分 变力做的功 和式

14 ○ 15 ○

∑ f (ξ )?x
i i =1

n ?1

i

16 的极限○

微积分基本定理

微积分基本定理含义

17 ○

18 微积分基本定理的应用 ○

二 主要知识点
/ 1.导数定义: 1.导数定义:1. f ( x 0 ) = lim 导数定义

?x →0

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) / 叫函数 y = f (x ) 在 x → x0 处的导数,记作 y | x = x0 。 ?x

注:①函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数不存在。②在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可 负、但不为 0,而 ?y 可能为 0。③

?y 是函数 y = f ( x ) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变化率,它的几何 ?x

意义是过曲线 y = f ( x ) 上点( x 0 , f ( x 0 ) )及点( x 0 + ?x ,

f ( x0 + ?x0 ) )的割线斜率 。④导数 f / ( x0 ) = lim

?x →0

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y = f (x ) 在点 x 0 的处瞬时 ?x

变化率,它反映的函数 y = f (x ) 在 x 0 点处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线 y = f (x ) 上点( x 0 ,

f ( x0 ) )处的切线的斜率。⑤若极限 lim

?x →0

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 不存在,则称函数 y = f (x ) 在点 x 0 处不可 ?x

导。⑥如果函数 y = f (x ) 在开区间 (a, b) 内 每一点都有导数,则称函数 y = f (x ) 在开区间 (a, b) 内可导; 此时对于每 一个 x ∈ (a, b) ,都对应着一个确定的导数 f ( x ) ,从而构成了一个新的函数 f ( x ) ,称这个
/ 函数 f ( x ) 为函数 y = f (x ) 在开区间 (a, b) 内的导函数,简称导数;导数与导函数都称为导数,这要加以 / /

区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求一个函数 在给定点的导数,就是 求导函数值。 2.定积分概念:对于定义在[a,b〕上的函数 y=f(x),作分划 a=x0<x1<…<xn=b,若存在一个与分 划及 ζi∈[xi-1,xi〕的取法都无关的常数 I,使得,其中则称 I 为 f(x)在[a,b〕上的定积分,表为即 称 [a,b〕为积分区间,f(x)为被积函数,a,b 分别称为积分的上限和下限。当 f(x)的原函数存在时, 定积分的计算可转化为求 f(x)的不定积分:这是 c 牛顿莱布尼兹公式。

三 典型例题 1.已知函数 y=x +1 的图象上一点 A(1,2)及其邻近一点 B(1+△x,2+△y),则直线 AB 的斜率是 ( ) A.2 B.2x C.2+△x D.2+(△x)
2 2

提示: k AB =

?y f (1 + ?x) ? f (1) = = 2 + ?x ,选 C ?x ?x

y

理由:很典型的基础题 2.(海淀模拟题)函数 f ( x ) 的图象如图所示,下列 的是( ) A. 0 < f '(2) < f '(3) < f (3) ? f (2) B. 0 < f '(3) < f (3) ? f (2) < f '(2) C. 0 < f '(3) < f '(2) < f (3) ? f (2) D. 0 < f (3) ? f (2) < f '(2) < f '(3)
O 1 2 3

数值排序正确

x

提示:根据 f ( x ) 的图象可知, f ( x ) 为增函数,所以 f '( x ) > 0 ; f '( x ) 为减函数,所以 f '(3) < f '(2) , 又

f (3) ? f (2) = f (3) ? f (2) 为过 (2, f (2)), (3, f (3)) 两点的割线斜率,所以 3? 2 0 < f '(3) < f (3) ? f (2) < f '(2) , 答案为 B

理由:体现出了重要的转化思想 3. 设函数 f ( x ) = ln(2 x + 3) + x 2

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4 解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ∞ ? . +

? 3 1? ? ?

? 3 ? 2

? ?

(Ⅰ) f ′( x) = 当?

2 4 x 2 + 6 x + 2 2(2 x + 1)( x + 1) + 2x = = . 2x + 3 2x + 3 2x + 3

3 1 1 < x < ?1 时, f ′( x) > 0 ;当 ?1 < x < ? 时, f ′( x) < 0 ;当 x > ? 时, f ′( x) > 0 . 2 2 2

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , 1? , ? ? , ∞ ? 单调增加,在区间 ? ?1 ? ? + ,

? 3 ? 2

? ?

? 1 ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? = ln 2 + . 4 ? 4 4? ? 2? 又 f ??

? 3 1?

? 1?

1

3 9 7 1 3 1 ? 3? ?1? ? ? f ? ? = ln + ? ln ? = ln + = 2 16 2 16 7 2 ? 4? ?4?

1? 49 ? ?1 ? ln ? < 0 . 2? 6 ?

所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? = + ln . 2 ? 4 4? ? 4 ? 16 理由:利用导数求单调性,很好的基础题 4. 已知函数 f ( x ) = ax 4 ln x + bx 4 ? c (x>0)在 x = 1 处取得极值 ? 3 ? c ,其中 a,b,c 为常数。 (1)试确定 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间; (3)若对任意 x>0,不等式 f ( x ) ≥ ?2c 2 恒成立,求 c 的取值范围。 解: (I)由题意知 f (1) = ?3 ? c ,因此 b ? c = ?3 ? c ,从而 b = ?3 . 又对 f ( x ) 求导得 f ' ( x ) = 4ax ln x + ax ?
3 4

? 3 1?

?1?

1

7

1 + 4bx 3 = x3 (4a ln x + a + 4b) . x

由题意 f ′(1) = 0 ,因此 a + 4b = 0 ,解得 a = 12 . (II)由(I)知 f ′( x ) = 48 x 3 ln x ( x > 0 ) ,令 f ′( x ) = 0 ,解得 x = 1 . 当 0 < x < 1 时, f ′( x ) < 0 ,此时 f ( x ) 为减函数; 当 x > 1 时, f ′( x ) > 0 ,此时 f ( x ) 为增函数.

因此 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ,而 f ( x ) 的单调递增区间为 (1 + ∞) . 1) , (III)由(II)知, f ( x ) 在 x = 1 处取得极小值 f (1) = ?3 ? c ,此极小值也是最小值,要使 f ( x) ≥ ?2c 2 ( x > 0 )恒成立,只需 ?3 ? c ≥ ?2c .
2

即 2c ? c ? 3 ≥ 0 ,从而 (2c ? 3)(c + 1) ≥ 0 ,
2

解得 c ≥

3 或 c ≤ ?1 . 2

所以 c 的取值范围为 ( ?∞, 1] U ? , ∞ ? . ? +
5. (2008 年,四川卷)已知 x

?3 ?2

? ?

= 3是函数f ( x) = a ln(1 + x) + x 2 ? 10 x 的一个极值点.

(I)求 a 的值; (II)求函数 f ( x ) 的单调区间; (III)当直线 y = b与函数y = f (x) 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围. 解:(Ⅰ) f ′( x ) =

a + 2 x ? 10 ,∵ x = 3 是函数 f ( x) 的一个极值点, 1+ x a ∴ f ′(3) = 0 ,即 + 6 ? 10 = 0 ,因此 a = 16 4
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) = 16 ln (1 + x ) + x ? 10 x ,定义域为 ( ?1,+∞ )

f ′( x ) =

2( x 2 ? 4 x + 3) 2( x ? 1)( x ? 3) = ,∵ x > ?1 ,∴ x + 1 > 0 恒成立, 1+ x x +1

∴当 ? 1 < x < 1 或 x > 3 时, f ′( x ) > 0 ,当 1 < x < 3 时, f ′( x ) < 0 , 从而 f (x ) 在 (?1,1) , (3,+∞) 上为增函数,在 (1,3) 上为减函数. ∴ f (x ) 的单调增区间为 (?1,1) , (3,+∞) ,单调减区间为 (1,3) (Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 ( ?1,1) 内单调递增,在 (1,3) 内单调递减,在 ( 3, +∞ ) 上单调递增, 所以

f ( x ) 的极大值为 f (1) = 16 ln 2 ? 9 ,极小值为 f ( 3) = 32 ln 2 ? 21
下面画出原函数的草图:
y

16 ln 2 ? 9 32 ln 2 ? 21
?1
O 1 3 x

y=b

由图可知:在 f ( x ) 的三个单调区间 ( ?1,1) , (1,3) , ( 3, +∞ ) 内,直线 y = b 与 y = f ( x ) 的图象各有一个 交点,当且仅当 f ( 3) < b < f (1) , 因此, b 的取值范围为 ( 32 ln 2 ? 21,16 ln 2 ? 9 ) .
6. .函数

y = f ( x) 的图象与直线 x = a, x = b 及 y = 0 所围成图形的面积称为函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上的

面积。 (1)分别计算 y = sin x 在闭区间 [0, π ] , y = sin 2 x 在闭区间 [0, 积,并归纳猜想出一个一般性的结论,并加以证明。 (2)利用你所猜想的结论解决下述两题: ①求函数 y = sin 3 x 在闭区间 [0, π ] 上的面积;

π

] , y = sin 3 x 在闭区间 [0, ] 上的面 2 3

π

2 3

, π ] 上的面积。 3 3 思路分析: (1)根据题意得 y = sin x 在闭区间 [0, π ] 的面积为: 思路分析: π 2 S1 = ∫ sin xdx = ? cos x |π = (? cos π ) ? (? cos 0) = 1 + 1 = 2 = . 0 0 1 y = sin 2 x 在闭区间 [0, ] 的面积为: 2 π π 1 1 π 1 1 2 S 2 = ∫ 2 sin 2 xdx = ? cos 2 x |02 = (? cos 2 ? ) ? (? cos 2 ? 0) = + = 1 = . 0 2 2 2 2 2 2

②求函数 y = sin(3 x ? π ) + 1 在闭区间 [

π 4

π

y = sin 3 x 在闭区间 [0, ] 上的面积为: 3 π π 1 1 π 1 1 2 S3 = ∫ 3 sin 3 xdx = ? cos 3 x |03 = (? cos 3 ? ) ? (? cos 3 ? 0) = + = . 0 3 3 3 3 3 3 π 2 由此可以猜想: y = sin nx 在闭区间 [0, ] 上的面积为 .证明如下: n n π π 1 1 π 1 1 2 S n = ∫ n sin nxdx = ? cos nx |0n = (? cos n ? ) ? (? cos n ? 0) = + = . 0 n n n n n n 2π ] 上的图象(如图所示) ,可知两阴影部分的是对称的,阴影部分的 (2)①画出 y = sin 3 x 在闭区间 [0, 3 2π π 4 2π 4 面积相等地,从而有 S4 = ∫ 3 | sin 3 x |dx = 2 ∫ 3 sin 3 xdx = . 即 y = sin 3 x 在闭区间 [0, ] 上的面积为 . 0 0 3 3 3 π 4 ②画出函数 y = sin(3 x ? π ) + 1 在闭区间 [ , π ] 上的的图象,由图观察可知阴影 1,2,3 的面积相等,从 3 3 4π 2 π 4 2 而 S5 = ∫π 3 sin(3 x ? π )dx + 1 = + π .即函数 y = sin(3 x ? π ) + 1 在闭区间 [ , π ] 上的面积为 + π . 3 3 3 3 3
点拨:利用定积分的几何意义不难求解第(1)小题,第(2)小题是借助于第(1)小题的结论或在第(1) 小题的基础上平移得到.

π

7. 设点 P 在曲线

y = x 2 上,从原点向 A(2, 4) 移动,直线 OP 、曲线 y = x 2 围成的面积记为 S1 ;直线 OP 、

2 曲线 y = x 围成的面积、直线 x = 2 所围成的面积记为 S 2 .

(1)当 S1 = S 2 时,求点 P 的坐标; (2)当 S1 + S 2 有最小值时,求点 P 的坐标和此时的最小值.
2

解:(1)设点 P 的横坐标为 t(O<t<2),则 P (t , t ) ,直线 OP 的方程 为:y=tx. ∴ S1 =
2

∫ (tx ? x
0

t

2

) dx =

1 3 t , 6

8 1 ? 2t + t 3 . 3 6 1 3 8 1 4 ∵ S1 = S 2 ,所以 t = ? 2t + t 3 , 得 t = ,∴点 P 的坐标 6 3 6 3 S 2 = ∫ ( x 2 ? tx ) dx =
1

为?

? 4 16 ? , ?. ?3 9 ?

(2)设 S = S1 + S 2 =

1 3 8 t ? 2t + (0 < t < 2) , S ' = t 2 ? 2 ,令 S′=0 得 t 2 = 2 3 3 ∴ 0 < t < 2 时,S′<0, 2 < t < 2 时,S′S0, 8?4 2 所以,当 t = 2 时, S min = , 3 8?4 2 因此,当点 P 坐标为( 2 ,2)时, S1 + S 2 有最小值 3
3

t = 2 , ∵0<t<2,

8. 已知: 函数 y = -3x +x 的图象为曲线 C, 点 M(x0, y0) (x0≠0)曲线 C 上一点, P 为坐标平面内任意一点.

(1) 求曲线 C 在点 M 处的切线 L1 方程(即与曲线 C 切于点 M 的切线方程); (2) 设直线 L1 与曲线 C 异于 M 的公共点为 N(a, b), 求证: a = -2x0 ; (3) 若过点 P 的曲线 C 的不同切线有且仅有两条, 求点 P 的轨迹方程. 【解析】: (1) y ′= -9x2+1, ∴直线 L1 斜率为 k1= -9x02+1 , 又 y0= -3x03+x0 ∴直线 L1 方程为: y-(-3x03+x0)=(-9x02+1)(x-x0) , 即 y=(1-9x02)x+6x03

? y = ?3 x 3 + x 联立曲线和切线方程 ? 2 3 ? y = (1 ? 9 x 0 ) x + 6 x 0

消 y 有 x3-3x02x+2x03=0

变形: (x3-x03)+3x02(x-x0)=0 , 即 (x-x0)(x2+x0x-2x02)=0 ∴ (x-x0)2(x+2x0)=0 ∴x1=x0 , x2= -2x0 ∵ N(a,b) 异于 M (x0, y0), ∴ a = -2x0 (3) 由(1)知, 可设过点 P(m,n) 的曲线 C 的切线方程为 y=(1-9x02)x+6x03, 其中 (x0,-3x03+x0)为切点 , ∴ n=(1-9x02)m+6x03 ∴ x0 为方程 n=(1-9x2)m+6x3 , 即 6x3 -9 m x2+ m-n=0 (x≠0) 的根 .(*)

∵ 过点 P 的曲线 C 的不同切线有且仅有两条, ∴方程(*)有且仅有两个不等非 0 实根. 设 f(x)= 6x3 -9 m x2+ m-n, 则 f(x)的图像与 x 轴有两个不同公共点(非原点) 而 f ′ (x)= 18x(x - m ) Y (ⅰ) 若 m=0, 则 f ′ (x)= 18x2≥0, f (x)在 R 上单调递增 , 其图像与 x 轴最多有一个公共点. 故舍. y=-3x3+x y=x P (ⅱ) 若 mS0, 则 f ′ (x)= 18x(x - m )S0?x<0 或 xSm ∴ f(x)在(-∞,0),(m,+∞)上递增, 在(0,m) 上递减 O ∴ f(x)极大值= f(0)=m-n , f(x)极小值= f(m)=6m3-9m3+m-n= -3m3+m-n 又 x→-∞时, f(x)→ +∞; x→+∞时,f(x)→ +∞ ∴ 极值点有一个为曲线与 x 轴的切点.
Y

?m?n=0 ?m?n>0 或? ∴ ? 3 3 ?? 3m + m ? n < 0 ?? 3m + m ? n = 0
∴m=n (m>0)或-3m3+m-n=0 (m>0) (ⅲ) 若 m<0, 同法有 m=n (m<0)或-3m3+m-n=0 (m<0) ∴综上所述: 点 P 轨迹方程为 (x-y)(x-3x3-y)=0 (x≠0) .
O

y=x

X

3 2 x + 1( x ∈ R ) ,其中 a>0. 2 (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
9.

已知函数 f(x)= ax 3 ?

? 1 1? (2)若在区间 ? ? , ? 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2?

【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基 础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. 3 (1)解:当 a=1 时,f(x)= x 3 ? x 2 + 1 ,f(2)=3;f’(x)= 3x 2 ? 3x , f’(2)=6. 2 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-3=6(x-2),即 y=6x-9. 1 (2)解:f’(x)= 3ax 2 ? 3 x = 3 x ( ax ? 1) .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x= . a 以下分两种情况讨论: 1 1 (1) 若 0 < a ≤ 2,则 ≥ ,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
X f’(x) f(x)
? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?

0 0

? 1? ? 0, ? ? 2?

+

-

极大值

1 ?5 ? a ? ? ? f (? 2 ) > 0, ? 8 > 0, ? ? 1 1? 当 x ∈ ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ? 2 2? ? f ( 1 ) > 0, ? 5 + a > 0. ? 2 ? 8 ? ? 解不等式组得-5<a<5.因此 0 < a ≤ 2 . 1 1 (2) 若 a>2,则 0 < < .当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2

X f’(x) f(x)

? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?

0 0
极大值

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a 0
极小值

?1 1? ? ,? ?a 2?

+

-

+

? 1 ?5 ? a ?f(- 2 )>0, ? 8 >0, ? ? ? 1 1? 当 x ∈ ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ? 2 2? ?f( 1 )>0, ?1- 1 >0. ? a ? 2a 2 ? ? 解不等式组得
2 2 .因此 2<a<5. < a < 5或a < ? 2 2

综合(1)和(2),可知 a 的取值范围为 0<a<5.
10. (1).若不等式 x +ax+1≥0 对于一切 x∈(0,
2

1 )成立,则 a 的最小值是( 2 -3



A.0

B.

–2

C.

-

5 2

D.

解:设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x= -

a 2

若-

a 1 1 1 5 ≥ ,即 a≤-1 时,则 f(x)在〔0, 〕上是减函数,应有 f( )≥0?- ≤x≤- 2 2 2 2 2

1
a 1 若 - ≤0,即 a≥0 时,则 f(x)在〔0, 〕上是增函数,应有 f(0)=1>0 恒成立,故 2 2 a≥0 a 1 a a2 a2 a2 若 0≤ - ≤ ,即-1≤a≤0,则应有 f( - )= - +1=1- ≥ 0 恒成立,故-1≤a≤0 2 2 2 4 2 4
5 ≤a 故选 C 2 1 1 方法二: a ≥ ? x ? ,对于一切 x∈(0, )成立, x 2

综上,有-

1 5 5 g ( x) = ?( x + ) ≤ ? ,所以有 a ≥ ? ,故选 C x 2 2

(2).函数 f ( x) 是奇函数,且在 [?1,1] 上单调递增, f (?1) = ?1 ,则 f ( x) 在 [?1,1] 上的最大值 为 是 , 又 若 f ( x) ≤ t 2 ? 2at + 1 对 所 有 的 x ∈ [?1,1] 及 a ∈ [?1,1] 都 成 立 , 则 t 的 取 值 范 围 .

解:Q 函数 f ( x) 是奇函数且 f (?1) = ?1 ,

∴ f (1) = 1

又Q f ( x) [?1,1] 上单调递增,∴ f ( x ) max = f (1) = 1 则 1≤ t 2 ? 2at + 1 对所有的 x ∈ [?1,1] 及 a ∈ [?1,1] 都成立, 即 ?2at + t 2 ≥ 0 在 a ∈ [?1,1] 都成立。
2 ? ?t ≤ ?2或t ≥ 0 ? g (?1) = 2t + t ≥ 0 设 g ( a ) = ?2 at + t ,由题可知 ? ?? 2 ? g (1) = ?2t + t ≥ 0 ?t ≤ 0或t ≥ 2 ?
2

故, t ∈ ( ?∞, ?2] U [ 2, +∞ ) U {0}

五 学习心得 重点与难点 从教学角度考虑本章的重点之一是:根据导数定义求简单函数导数的方法。一方面,按导数的定义求 导数可以帮助学生进一步理解导数的概念;另一方面,像两个函数四则运算的求导法则,复合函数的求导 法则等,都是由导数的定义导出的,要掌握这些法则,须在理解的基础上熟记基本导数公式,从而会求简 单初等函数的导数。 从学生掌握知识的角度考虑本章的重点之二是:掌握利用导数判别可导函数极值的方法。教材关于导 数的应用,主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大(小)值的判定,其中最关键的是可导函数极值的 判别定。通过判定可导函数的极值,可以使学生加深对可导函数单调性与其导数的关系的了解;并且,掌 握了可导函数极值的判别法之后,再学习可导函数的最大值与最小值的判定方法,就不成问题了。 难点之一:对导数概念的理解。一方面,导数的概念建立在极限的思想上,因此它比较抽象;另一方 面,导数概念的定义方法学生不太熟悉。教学中,应结合光滑曲线的斜率,非匀速直线运动的瞬时速度等 实际背景,从物理和几何两方面入手引导学生逐步理解导数的概念。 难点之二:求实际问题(包括科技、经济、社会中的)的最大值与最小值。在掌握可导函数极值的判 别法之外,判定可导函数的最值并不困难,但对一些实际问题,往往会遇到障碍。这里关键是能从实际问 题的不同情景出发,建立与之相应的函数关系(即建模)



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简答题12分 理科数学 导数的乘法与除法法则 “开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目,选手面对1-4号4扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首...


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单选题5分 理科数学 导数的加法与减法法则 9. 如图所示,已知正方体的棱长为2, 长为2的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点在正方形内运动, 则的中点的...


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18学年高中数学变化率与导数章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版2_...x,则 f′(x)= 2 ; cos x 1 (8)f(x)=cot x,则 f′(x)=- 2 ....

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