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抛物线焦点弦性质


抛物线焦点弦性质总结
一、基础回顾:

A'

A(X1,Y1)

C'

C( X3,Y3)

a O B' F

B(X2,Y2)

1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切; 2. 3. 4. 5.

6.

x1 ? x 2 ?

p2 ; 4

y1 ? y 2 ? ? p 2 ;
?AC ' B ? 90? ; ?A ' FB ' ? 90? ;
AB ? x1 ? x2 ? p ? 2( x3 ? p 2p )? ; 2 sin 2 ?

7.

1 1 2 ? ? ; AF BF P
'

8. A、O、 B 三点共线; 9. B、O、 A 三点共线; 10. S?AOB ?
'

p2 ; 2sin ?

11.

S?AOB 2 p ; ? ( )3 (定值) AB 2
1

12. AF ?
'

P P ; BF ? ; 1 ? cos ? 1 ? cos ?
'

13. BC 垂直平分 B F ; 14. AC 垂直平分 A F ;
' 15. C F ? AB ;

'

'

16. AB ? 2P ; 17. CC ' ?

1 1 AB ? ( AA ' ? BB ' ) ; 2 2

18. K AB =

p ; y3
y2 ; x2 - p 2

19. tan ? =
2

20. A'B' ? 4 AF ? BF ; 21. C'F ?

1 A'B' . 2

22. 切线方程 y0 y ? m?x0 ? x ?

性质深究
一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有 何特殊之处? 结论 1:交点在准线上 先猜后证: 当弦 AB ? x 轴时, 则点 P 的坐标为 ? ? 证明: 从略 结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时, 切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立? 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点 先猜后证:过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线,则过两切点 AB 的弦必过焦点. 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径.

? ?

p ? ,0 ? 在准线上. 2 ?

2

3、AB 是抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)焦点弦,Q 是 AB 的中点,l 是抛物线的准线, AA ? l , 1

BB1 ? l ,过 A,B 的切线相交于 P,PQ 与抛物线交于点 M.则有
结论 6 结论 7 结论 8 结论 9 结论 10 结论 11 PA⊥PB. PF⊥AB. M 平分 PQ. PA 平分∠A1AB,PB 平分∠B1BA.

FA ? FB ? PF
S ?P A Bm i ? p2 n

2

二)非焦点弦与切线 思考:当弦 AB 不过焦点,切线交于 P 点时,也有与上述结论类似结果: 结论 12 结论 13 结论 14 ① xp ?

y ? y2 y1 y2 , yp ? 1 2 2p

PA 平分∠A1AB,同理 PB 平分∠B1BA.

?PFA ? ?PFB

结论 15 点 M 平分 PQ 结论 16

FA ? FB ? PF

2

二、经典问题:
(1)抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的 所有点的集合.其离心率 e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个 美好的 1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章. 例 1、P 为抛物线 y ? 2 px 上任一点,F 为焦点,则以 PF 为直径的圆与 y 轴(
2



A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 位置由 P 确定

解 如图,抛物线的焦点为 F ?

?p ? ,0 ? ,准线是 ?2 ?

Y H Q N

P M
2

p .作 PH⊥ l 于 H,交 y 轴于 Q,那么 PF ? PH , 2 p 且 QH ? OF ? .作 MN⊥y 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的 2 l:x??

O F ( p ,0)
l :x=p 2

X
3

y2 = 2 px

中位线, MN ?

1 ? OF ? PQ ? ? 1 PH ? 1 PF .故以 2 2 2

PF 为直径的圆与 y 轴相切,选 B. 注:相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则分别是相离或相交的. (2)焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题 是大有帮助的. 例 2、 过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 作直线交抛物线于 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点, 求证: (1) AB ? x1 ? x2 ? p (2)

1 1 2 ? ? AF BF p

证明(1)如图设抛物线的准线为 l ,作

AA1 ? l A1 , BB1 ? l于B1,则 AF ? AA1 ? x1 ?
BF ? BB1 ? x2 ?

p , 2

Y A1

A(x,y) 1 1 X

p .两式相加即得: AB ? x1 ? x2 ? p 2

(2)当 AB⊥x 轴时,有

? AF ? BF ? p,

1 1 2 ? ? 成立; AF BF p

F B 1 B(x,y) 2 2 l

当 AB 与 x 轴不垂直时,设焦点弦 AB 的方程为:

p? p? ? ? y ? k ? x ? ? .代入抛物线方程: k 2 ? x ? ? ? 2 px .化简得: 2? 2? ? ?
k 2 x2 ? p ? k 2 ? 2? x ? p2 2 k ?0 4

2

?1?
k2 . 4

∵方程(1)之二根为 x1,x2,∴ x1 ? x2 ?

x1 ? x2 ? p 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? p p p p2 AF BF AA1 BB1 x ? x2 ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 2 2 2 4
? x1 ? x2 ? p x1 ? x2 ? p 2 ? ? . 2 p p p p ? x1 ? x2 ? p ? p ? ? x1 ? x2 ? ? 2 4 2 4
2

4

故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直,恒有 (3)切线——抛物线与函数有缘

1 1 2 ? ? 成立. AF BF p

有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺 的基本功. 例 3、证明:过抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 M(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0) 证明 对方程 y 2 ? 2 px 两边取导数: 2 y ? y? ? 2 p, y? ? ?

p .切线的斜率 y

k ? y?

x ? x0

?

p p .由点斜式方程: y ? y0 ? ? x ? x0 ? ? y0 y ? px ? px0 ? y02 y0 y0

?1?

2 ? y0 ? 2 px0,代入()即得:y0y=p(x+x0) 1

(4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意 想不到的收获. 例:1.一动圆的圆心在抛物线 y ? 8x 上,且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切,则此动圆必过定点
2





A.? 4,0?

B.? 2,0?

C.?0,2?

D.?0, ?2?

显然.本题是例 1 的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选 B. 2.抛物线 y ? 2 px 的通径长为 2p;
2

3.设抛物线 y ? 2 px 过焦点的弦两端分别为 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,那么: y1 y2 ? ? p2
2

以下再举一例 例 4、设抛物线 y ? 2 px 的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 A1B1,证明:以 A1B1 为直径的圆
2

必过一定点 分析:假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么 A1B1=AB=2p,而 A1B1 与 AB 的距离为 p,可 知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想:一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对 AB 的一般情 形给于证明. 证明:如图设焦点两端分别为 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

A 1

Y
1

A

M C B 1 B F X
5

那么: y1 y2 ? ? p2 ? CA ? CB1 ? y1 y2 ? p2 . 设抛物线的准线交 x 轴于 C,那么 CF ? p. 1

??A1 FB1中 CF ? CA1 ? CB1 .故?A1 FB1 ? 90? .这就说明:以 A1B1 为直径的圆必过该抛物线的焦
2

点. ● 通法 特法 妙法 (1)解析法——为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问 题等). 例 5、已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称 A、B,则|AB|等于( A.3 B.4 ) C.3 2 D.4 2

Y B M A O X
l? x + y = 0
的相异两点

分析:直线 AB 必与直线 x+y=0 垂直,且线段 AB 的中点必在直线 x+y=0 上,因得解法如下.

y 解 ∵点 A、 关于直线 x+y=0 对称, B ∴设直线 AB 的方程为: ? x ? m .
由?

? y ? x?m ? x2 ? x ? m ? 3 ? 0 2 ? y ? ?x ? 3

?1?

设方程(1)之两根为 x1,x2,则 x1 ? x2 ? ?1 . 设 AB 的中点为 M(x0,y0) ,则 x0 ?

x1 ? x2 1 1 ? 1 1? ? ? .代入 x+y=0:y0= .故有 M ? ? , ? . 2 2 2 ? 2 2?
2

从而 m ? y ? x ? 1 .直线 AB 的方程为: y ? x ? 1 .方程(1)成为: x ? x ? 2 ? 0 .解得: ,B(1,2).? AB ? 3 2 ,选 C. x ? ?2,1 ,从而 y ? ?1, 2 ,故得:A(-2,-1) (2)几何法——为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多 考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状,人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法,其 中最有成效的就是几何法. 例 6、抛物线 y ? 4x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的
2

部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积( A. 4 B. 3 3 C. 4 3

) D. 8

6

解 如图直线 AF 的斜率为 3 时∠AFX=60° . △AFK 为正三角形.设准线 l 交 x 轴于 M,则 FM ? p ? 2, 且∠KFM=60° ,∴ KF ? 4, S?AKF ?

Y K A

3 2 ? 4 ? 4 3 .选 C. 4

60° M O F(1,0) L:x=-1

X

注: (1)平面几何知识:边长为 a 的正三角形的 面积用公式 S? ?

= Y 2px
2

3 2 a 计算. 4

(2)本题如果用解析法,需先列方程组求点 A 的坐标, ,再计算正三角形的边长和面积.虽不 是很难,但决没有如上的几何法简单. (3)定义法——追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单. 例 7、双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别为 F1 和 F2 ;抛 a 2 b2

物线 C2 的线为 l ,焦点为 F2;C1 与 C2 的一个交点为 M ,则 A. ?1 C. ?

F1F2 MF1

?

MF1 MF2

等于(



B. 1

1 2

D.

1 2

分析:这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几何知识又一时用不上,那么就从 最原始的定义方面去寻找出路吧. 如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半 焦距 c,离心率为 e,作 MH ? l于H ,令
y

MF1 ? r1, MF2 ? r2 .∵点 M 在抛物线上,
r ? MH ? MF2 ? r2 , 故 ? ? 1 ?e, MH MF2 r2
| MF1 | 这就是说: 的实质是离心率 e. | MF2 |
其次,

H

r2
O a2 c

M(x,y)

MF1

MF1

r1
F 1 ( -c , 0)
l :x = -

r2
F 2 (c,0)
x

| F1 F2 | 与离心率 e 有什么关系?注意到: | MF1 |

7

F1F2 MF1

?

2c e ? 2a e ? r1 ? r2 ? ? 1? ? ? ? e ?1 ? ? ? e ? 1 . r1 r1 r1 ? e?
| F1F2 | | MF1 | ? ? ? e ? 1? ? e ? ?1.∴选 A.. | MF1 | | MF2 |

这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于 (4)三角法——本身也是一种解析

三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段,可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同 名同角的三角函数,然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的. 因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化计算. 例 8、如图,倾斜角为 a 的直线经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点。 (Ⅰ) 求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ)若 a 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明|FP|-|FP|cos2a 为定值,并 求此定值。 解(Ⅰ)焦点 F(2,0) ,准线 l ; x ? ?2 .

A
(Ⅱ)直线 AB: y ? tan ? ? x ? 2?

?1?.

M

x?

y2 2 代入(1) ,整理得: y tan ? ? 8 y ?16tan ? ? 0 8

? 2?

8 ? ? y1 ? y2 ? 设方程(2)之二根为 y1,y2,则 ? tan ? . ? y1 ? y2 ? ?16 ? y1 ? y2 4 ? ? ? 4cot ? ? y0 ? 设 AB 中点为 M ? x0 , y0 ? , 则 ? 2 tan ? ? x0 ? cot ? ? y0 ? 2 ? 4cot 2 ? ? 2 ?
2 AB 的垂直平分线方程是: y ? 4 cot ? ? ? cot ? x ? 4 cot ? ? 2 . 2 2 令 y=0,则 x ? 4 cot ? ? 6,有P 4 cot ? ? 6,0

?

?

?

? ?

2 2 2 故 FP ? OP ? OF ? 4 cot ? ? 6 ? 2 ? 4 cot ? ? 1 ? 4 cos ?

?

于是|FP|-|FP|cos2a= 4csc

2

? ?1 ? cos 2? ? ? 4csc2 ? ? 2sin 2 ? ? 8 ,故为定值.

(5)消去法——合理减负的常用方法.

8

避免解析几何中的繁杂运算,是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设 而不求,它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”. 例 9、 是否存在同时满足下列两条件的直线 l : (1) l 与抛物线 y 2 ? 8x 有两个不同的交点 A 和 B; (2)线段 AB 被直线 l1 :x+5y-5=0 垂直平分.若不存在,说明理由,若存在,求出直线 l 的方 程. 解 假定在抛物线 y 2 ? 8x 上存在这样的两点 A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ? .则有:

? y12 ? 8 x1 ?y ? y ? 8 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 8 ? x1 ? x2 ? ? k AB ? 1 2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? ? y2 ? 8 x2
? ∵线段 AB 被直线 l1 :x+5y-5=0 垂直平分,且 kl1 ? ? , k AB ? 5,即
8 ? y1 ? y2 ? . 5
设线段 AB 的中点为 M ? x0,y0 ?,则y0 ?

1 5

8 ?5 ? y1 ? y2 ?

y1 ? y2 4 ? .代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是: 2 5

AB 中点为 M ? 1, ? .故存在符合题设条件的直线,其方程为:

? 4? ? 5?

y?

4 ?5 ? x ?1 ,即: 5x ? 5y ? 2 1? 0 2 ? 5

(6)探索法——奔向数学方法的高深层次 有一些解析几何习题,初看起来好似“树高荫深,叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析,探索规 律,不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”. 例 10、如图,抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A,将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记 为 P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到 n-1 个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当 n→∞时,这些三角形的面积之和的极限 为 . 解∵ OA ? 1, 图中每个直角三角形的底边长均为 ?

1 n

设 OA 上第 k 个分点为 P ? ,? .代入y ? ? x ? 1 y ? 1 ? 0 : k
2

?k ?n

? ?

k2 . n2

第 k 个三角形的面积为: ak ?

1 1? k ? ? ?1 ? 2 ? . 2 n? n ?

9

12 ? 22 ? ? ? ? n ? 1? 1 ? ? Sn?1 ? ?? n ? 1? ? 2n ? n2 ?
故这些三角形的面积之和的极限 S ? lim
n??

2

? ? n ? 1?? 4n ? 1? . ?? 12n 2 ? ?
2

? n ? 1?? 4n ? 1? ?
12n

1 1? 1 ? 1 ?? lim ?1 ? ?? 4 ? ? ? n?? 12 n? 3 ? n ??

x2 y2 6 1 已知抛物线 D: =4x 的焦点与椭圆 Q: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F1 重合, y 且点 P( 2 , ) 2 a b
2

在椭圆 Q 上。 (Ⅰ)求椭圆 Q 的方程及其离心率; (Ⅱ)若倾斜角为 45° 的直线 l 过椭圆 Q 的左焦点 F2,且与椭圆相交于 A,B 两点,求△ABF1 的面积。 解: (Ⅰ)由题意知,抛物线 y ? 4 x 的焦点为(1,0)
2

∴椭圆 Q 的右焦点 F1 的坐标为(1,0) 。∴ a ? b ? 1
2 2



( 2)2 6 ? 又点 P( 2 , ) 在椭圆 Q 上, ∴ a2 2
由 ①② , 解 得

(

6 2 ) 2 3 2 ? 1即 2 ? 2 ? 1 2 b a 2b



a 2 ? 4, b 2 ? 3 ∴ 椭 圆 Q 的 方 程 为

x2 y2 ? ?1 ∴ 离 心 离 4 3

e?

c b2 1 ? 1? 2 ? a 2 a
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2(-1,0)∴直线 l 的方程为 y ? 0 ? tan45?( x ? 1),即y ? x ? 1 设

A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )









?y ? x ?1 ? 2 ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4



y









8 8 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0,? x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? 7 7
∴ | AB |? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

12 2 7

又点 F1 到直线 l 的距离 d ?

|1?1| 1 ? (?1) 2

? 2 ∴ S ?ABF1 ?

1 1 12 2 12 | AB | d ? ? ? 2? 2 2 7 7
?
4
的直线 l 与线段 OA 相交(不

2 如图所示, 抛物线 y2=4x 的顶点为 O, A 的坐标为(5, 倾斜角为 点 0),

经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最 大面积
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10

解法一

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由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,其中-5<m<0

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?y ? x ? m 由方程组 ? 2 , ? y ? 4x

y N

消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0

①∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N,∴方程①

o M

B

A

x

的判别式 Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0,解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为 (-5,0),设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·2=m2,∴|MN|=4 2(1 ? m) x l 的 距 离 为 d=
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点 A 到直线

∴S△=2(5+m) 1 ? m , 从 而 S△2=4(1 - m)(5+m)2=2(2 - 2 2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 2m)· (5+m)(5+m)≤2( ) =128 ∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等 3
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5? m

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故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 解法二
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由题意,可设 l 与 x 轴相交于 B(m,0), l 的方程为 x = y +m,其中 0<m<5

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由方程组 ?

?x ? y ? m ? y ? 4x
2

,消去 x,得 y 2-4 y -4m=0

①∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、 N,

∴方程①的判别式 Δ=(-4)2+16m=16(1+m)>0 必成立,设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 y 1+ y 2=4, y 1· 2=-4m,∴S△= y

1 1 5 1 (5 ? m) | y1 ? y2 |? (5 ? m) ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 =4 ( ? m) 2 2 2 2
3

(1 ? m)

5 1 ? 5 1 ? ? ( 2 ? 2 m) ? ( 2 ? 2 m) ? (1 ? m) ? 5 1 5 1 =4 ( ? m)( ? m)(1 ? m) ? 4 ? ? ? 8 2 ∴S△≤8 2 ,当且仅 2 2 2 2 3 ? ? ? ?
当( ?

5 2

1 m) ? (1 ? m) 即 m=1 时取等号 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 2
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特级教师 王新敞
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2 3 已知 O 为坐标原点, a ,0 )( a ? 0 )为 x 轴上一动点, P 作直线交抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 于 A、 P( 过

B 两点,设 S△AOB= t ? tan ?AOB ,试问: a 为何值时,t 取得最小值,并求出最小值。 解:交 AB 与 x 轴不重叠时,设 AB 的方程为 y ? k ( x ? e) 联立 ?

? y ? k ( x ? a) ? y ? 2 px
2

消 y 可得: k x ? 2(k a ? p) x ? k a ? 0
2 2 2 2 2

设 A ( x1 , y1 )

B ( x2 , y 2 )

则 x1 x2 ? a2 , y1 y 2 ? ?2Pa 交 AB 与 x

轴重叠时,上述结论仍然成立
SO AOB ? 1 1 OA ? OB sin ?AOB ? OA ? OB con ?AOB ? lin?AOB ∴ 2 2

11

t?

1 OA ? OB con ?AOB 2

又 ∴

OA ? OB ? con?AOB ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2
p2 1 1 1 1 t ? ( x1x2 ? y1 y2 ) ? (a 2 ? 2ap ) ? (a ? p)2 ? p 2 ≥ ? 当a ? p 时 2 2 2 2 2
取“=”,

综上 当

e ? p时 tmin ? ?
相关考题

p2 2

1、已知抛物线 x2 ? 4 y 的焦点为 F,A,B 是抛物线上的两动点,且 AF ? ? FB ( ? >0) ,过 A, B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M, (1)证明: FM ? AB 的值; (2)设 ?ABM 的面积为 S,写出 S ? f ?? ?的表达式,并求 S 的最小值.

2、已知抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,焦点为 F,准线为 l,直线 m 交抛物线于两点 A,B;
2

(1)过点 A 的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D,求证: AF ? DF ; (2)若直线 m 过焦点 F,分别过点 A,B 的两条切线相交于点 M,求证:AM⊥BM,且点 M 在直 线 l 上.

12

3、对每个正整数 n, An ?xn , yn ? 是抛物线 x2 ? 4 y 上的点,过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一点

Bn ?sn , tn ? , (1)试证: xn ? sn ? ?4 (n≥1)
(2)取 xn ? 2n ,并 Cn 为抛物线上分别以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交点,求证:

FC1 ? FC2 ? ? ? FCn ? 2n ? 2?n ?1 ? 1(n≥1)

13


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