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2014--2015学年高三数学上学期期末统考试题(文)


学习改变命运,思考成就未来!

2014--2015 学年高三数学上学期期末统考试题(文)
姓名: 分数:
满分 150 分,考试用时 120 分钟。 命题人:范传科

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。 1、设复数 z 满足

z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? ( ) A、 2 ? i B、 1 ? 2 i C、 ?1 ? 2 i 2、集合 A ? {x | x 2 ? 2x ? 0} , B ? {x | y ? lg(1 ? x)} ,则 A

D、 ?1 ? 2 i

A、 {x | 0 ? x ? 1}

B、 {x |1 ? x ? 2}

B 等于 ( ) C、 {x |1 ? x ? 2} D、 {x | 0 ? x ? 1}
)

3、已知向量 a , b 满足 | a |? 1, | b |? 2 , a ? b ? 1 ,则 a 与 b 的夹角为 ( A、

? 3

B、

3? 4

C、

? 4

D、

? 6


4、函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是 (

?y ? x ? 5、已知 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值与最小值的比值为( ?x ? 2 ?
A、



1 2

B、2

C、

3 2
)

D、

4 3

6、右边程序执行后输出的结果是 S ? ( A、1275 B、1250 C、1225 D、1326

i=1 S=0 WHILE i<=50 S=S+i i=i+1 WEND PRINT S END

7、已知 x 、 y 取值如下表:

x y
A、 1.30 8、已知方程 B、 1.45

0 1.3 C、 1.65

1 1.8

4 5.6 D、 1.80

5 6.1

6 7.4

8 9.3 )

? ? 0.95x ? a ,则 a ? ( 从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( 2 ? k 2k ? 1 ?1 ? ?1 ? A、 ? , 2 ? B、 (1, ??) C、 (1, 2) D、 ? ,1? ?2 ? ?2 ?
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1

学习改变命运,思考成就未来!

9、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为(



4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

A、 12 3

B、6

C、 27 3

D、 36 3

10、如下图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n (n ? 1, n ? N ? ) 个点,相应 的图案中总的点数记为 an ,则

9 9 9 ? ? ? a2 a3 a3a4 a4 a5

?

9 ?( a2012 a2013



A、

2010 2011

B、

2011 2012

C、

2012 2013

D、

2013 2012

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。
(一)必做题(11-13 题) 11、若 a , b , c 成等比数列,则函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴交点的个数为_______.

12、如图,一不规则区域内,有一边长为 1 米的正方形,向区域 内随机地撒 1000 颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的 黄豆数为 375 颗,以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形 的面积为 平方米.(用分数作答)

13 、已知函数 y ? f ( x) ( x ? R ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ?[ ? 1 , 1 ] 时, f ( x) ? x 2 ,则 y ? f ( x) 与

g ( x) ? log5 x 的图象的交点个数为

.

(二)选做题(14 和 15 题,考生只能从中选做一题,若两题都做,则只能计算 14 题的得分) 14、 (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的参数方程为: ? 为 ? ? 2 2 sin ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为 15、(几何证明选讲选做题)如图所示,过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于

? x ? 2t ( t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程 ? y ? 1 ? 4t
T

P

A, B 两点,己知弦 AB ? 6 ,点 P 到 O 的切线长 PT ? 4, 则 PA ?

O
B
第 15题图

A

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学习改变命运,思考成就未来!

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16、 (12 分)已知向量 m ? ( 2cos2 x , 3 ) , n ? (1, sin 2x ) ,函数 f ( x) ? m ? n (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C) ? 3 , c ? 1 ,

ab ? 2 3 ,且 a ? b ,求 a , b 的值.

17、 (13 分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅 球测试,成绩在 7.95 米及以上的为合格。把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图的一部分 (如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 ,第 6 小组的频数是 7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由; (3)若参加此次测试的学生中,有 9 人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出 2 人参 加“毕业运动会” ,已知 a 、 b 的成绩均为优秀,求两人至少有 1 人入选的概率.

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学习改变命运,思考成就未来!

18、 (13分)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC ? 90 , AB ? 4 , BC ? 4 , BB1 ? 3 , M、N分别是 B1C1 和 AC 的中点; (1)求异面直线 AB1 与 C1 N 所成的角的余弦; (2)求三棱锥 M ? C1CN 的体积.

x2 y 2 19、 (14 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点 A 为抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,上顶点为 B , a b 3 离心率为 ; (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 (0, 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点, 2 4 2 若线段 PQ 的中点横坐标是 ? ,求直线 l 的方程。 5

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学习改变命运,思考成就未来!

g ( x) ? ln x (1)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图像在 x ? x0 处的切线平行,求 x0 的值; (2) 求当曲线 y ? f ( x)与y ? g ( x) 有公共切线时, 实数 m 的取值范围; 并求此时函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?1 ? 在区间 ? , 1 ? 上的最值(用 m 表示) 。 ?3 ?

20、 (14 分)已知 f ( x) ? 3x2 ? x ? m , ( x ? R) ,

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5

学习改变命运,思考成就未来!

21、 (14分)已知数列 ? an ? 是各项均不为0的等差数列,公差为d, Sn 为其前n项和,且满足

an 2 ? S2n?1 , n ? N* .数列 ? bn ? 满足 bn ?

1 , n ? N* , Tn 为数列 ? bn ? 的前n项和. an ? an ?1

(1)求数列 ? an ? 的通项公式 an 和数列 ? bn ? 的前n项和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围;
n

(3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不 存在,请说明理由.

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6

学习改变命运,思考成就未来!

2013 届广东高考数学(文科)模拟试题(一)参考答案 一、选择题:
1-10: DDCAB ABCDB

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。
11、0 ; 12、

8 ; 13、4 ; 3

14、相交 ;

15、 2 ;

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16、 (12 分)已知向量 m ? ( 2cos2 x , 3 ) , n ? (1, sin 2x ) ,函数 f ( x) ? m ? n
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C) ? 3 , c ? 1 , ab ? 2 3 ,且 a ? b ,求 a , b 的值. 解: (1) f ( x) ? m ? n ? (2cos2 x , 3) ? (1, sin 2x ) ? 2cos2 x ? 3sin 2x ??2 分

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 2? ∴函数 f ( x ) 的最小周期 T ? ??
(2) f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?

???4 分 ???5 分

?
6

2

) ?1 ? 3

? sin( 2C ? ? ) ? 1
6

? C 是三角形内角,∴ 2C ?
∴ cosC ?

? ? ? ? 即: C ? 6 2 6

???7 分 ???9 分

b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2

2 2 即: a ? b ? 7 .

2 将 ab ? 2 3 代入可得: a ?

12 ? 7 ,解之得: a 2 ? 3或4 2 a
???11 分 ???12 分

∴a ?

3或2 ,? b ? 2或 3

? a ? b ,∴ a ? 2 , b ? 3 .

17、 (13 分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球 测试, 成绩在 7.95 米及以上的为合格. 把所得数据进行整理后, 分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如 图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 ,第 6 小组的频数是 7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数; (2)若由直方图来估计这组数据的中位数,指出它在第几组内,并说明理由; (3)若参加此次测试的学生中,有 9 人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出 2 人参加 “毕业运动会” ,已知 a 、 b 的成绩均为优秀,求两人至少有 1 人入选的概率. 解: (1)第 6 小组的频率为: 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,??1 分 ∴此次测试总人数为

7 ? 50 (人). 0.14

??2 分

∴第 4、 5 、6 组成绩均合格,人数为 (0.28+ 0.30+ 0.14)× 50= 36(人).???4 分 (2)直方图中中位数两侧的面积相等,即频率相等, ??6 分 而前三组的频率和为 0.28,前四组的频率和为 0.56, ∴中位数位于第 4 组内. ??8 分
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学习改变命运,思考成就未来!

(3)设成绩优秀的 9 人分别为 a, b, c, d , e, f , g , h, k , 则从中任意选出 2 人所有可能的情况为:

ab, ac, ad , ae, af , ag , ah, ak ; bc, bd , be, bf , bg , bh, bk ; cd , ce, cf , cg , ch, ck ; ??10 分 de, df , dg , dh, dk ; ef , eg , eh, ek ; fg , fh, fk ; gh, gk ; hk ,共 36 种 其中 a 、 b 至少有 1 人入选的情况有 15 种, ??12 分 15 5 ? . ????13 分 ∴ a 、 b 两人至少有 1 人入选的概率为 P ? 36 12
18、 (13分)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC ? 90 , AB ? 4 , BC ? 4 , BB1 ? 3 ,M、 N分别是 B1C1 和 AC 的中点. (1)求异面直线 AB1 与 C1 N 所成的角的余弦; (2)求三棱锥 M ? C1CN 的体积.

解: (1)过A作AQ∥ C1 N 交 AC 1 1 于Q,连结 B1Q , ? ∠B1AQ为异面直线AB1与C1N所成的角(或其补角) .??2分 根据四边形 AA1C1C 为矩形,N是中点,可知Q为 AC 1 1 中点 计算 AB1 ? 5, B1Q ? 2 2 , AQ ? 17 由已知条件和余弦定理 可得 cos ?B1 AQ ? ??3分

B1

M C1 H Q

A1

17 5

??5分
B C

? 异面直线AB1与C1N所成的角的余弦为 17 ?6分 5 A (2) 方法一: 过 M 作 MH ? A1C1 于H, 面 A1 B1C1 ? 面 AA1C1C 于 A1C1 ? MH ? 面 AA1C1C ??9分
由条件易得: MH ?

N

2

??11分

VM ? NCC1

1 1 1 1 ? ? NC ? C1C ? MH ? ? ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 2 3 2 3 2
方法二:取BC的中点P,连结MP、NP,则MP∥ BB1 ? MP ? 平面ABC, ??9分 又 NP ? 平面ABC ,? MP ? NP 又∵ NP // AB , ∴ NP ? BC ∴ NP ? 平面 BCC1 B1 ??11分

??13分
A1

B1 M C1

B

P C N

1 PN ? AB ? 2 , 2

A

1 1 1 1 VM ? NCC1 ? V N ?C1CM ? ? MC1 ? C1C ? NP ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ??13分 3 2 3 2 x2 y 2 2 18、 (14 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点 A 为抛物线 y ? 8x 的焦点,上顶点为 B ,离 a b 3 心率为 ; (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 (0, 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点,若 2 4 2 线段 PQ 的中点横坐标是 ? ,求直线 l 的方程 5
快乐的学习,快乐的考试! 8

学习改变命运,思考成就未来!

解: (1)抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 A(2, 0) ,依题意可知 a ? 2 因为离心率 e ?
2 2 2

????2 分 y

c 3 ,所以 c ? 3 ? a 2

????3 分 故b ? a ?c ?1 ????5 分 所以椭圆 C 的方程为: ????6 分 (2)设直线 l : y ? kx ? 2 由? Q P

x ? y2 ? 1 4

2

M x

? ? y ? kx ? 2

2 2 ? ?x ? 4 y ? 4 消去 y 可得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8 2kx ? 4 ? 0 因为直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,



??8 分

所以 ? ? 128k 2 ?16(4k 2 ? 1) ? 0 解得 | k |? 又

1 2

????9 分 ??10 分

?8 2k 4 ,x x 1 ? 2 2 2 4k ? 1 4k ? 1 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , PQ 中点 M ( x0 , y0 ) x1 ? x 2 ?
4 2 5 x ? x2 ?4 2k 4 2 ? 2 ?? 所以 x0 ? 1 2 4k ? 1 5 1 解得 k ? 1 或 k ? 4 1 因为 | k |? ,所以 k ? 1 2 因此所求直线 l : y ? x ? 2
因为线段 PQ 的中点横坐标是 ? 19、 (14 分)已知 f ( x) ? 3x2 ? x ? m , ( x ? R) ,

??12 分 ??13 分

????14 分

g ( x) ? ln x

(1)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图像在 x ? x0 处的切线平行,求 x0 的值; (2) 求当曲线 y ? f ( x)与y ? g ( x) 有公共切线时, 实数 m 的取值范围; 并求此时函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x)

?1 ? 。 , 1 上的最值(用 m 表示) ?3 ? ? 1 / / 解: (1)∵ f ( x) ? 6 x ? 1, g ( x ) ? ??2 分 x 1 2 由题意知 6 x0 ? 1 ? ,即 6x0 ? x0 ?1 ? 0 ??3 分 x0 1 1 解得, x0 ? 或 x0 ? ? ??4 分 2 3 1 ∵ x0 ? 0 ,∴ x0 ? ??5 分 2
在区间 ?
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学习改变命运,思考成就未来!

(2)若曲线 y ? f ( x)与y ? g ( x) 相切 且在交点处有公共切线

1 , ??6 分 2 1 1 3 1 1 ∴ f ( ) ? g ( ) ,∴ ? ? m ? ln 2 2 4 2 2 1 m ? ? ? ln 2 , ??8 分 4 1 m ? ? ? ln 2 时,f ? x ? 与 g ( x) 有 由数形结合可知, 4
由(1)得切点横坐标为 公共切线 又 F '( x) ? 6 x ? 1 ?
2

0 m x

??9 分 ??10 分

1 6 x ? x ? 1 (3x ? 1)(2 x ? 1) ? ? x x x ?1 ? 则 F '( x) 与 F ( x) 在区间 ? , 1 ? 的变化如下表: ?3 ?

x
F '( x) F ( x)

1 1 [ , ) 3 2
- ↘

1 2
0 极小值

1 ( ,1] 2
+ ↗ ??12 分

1 又 F ( ) ? m+ ln 3 3 ?1? F (1) ? 2 ? m ? F ? ? ?3? 1 1 1 ?1 ? l2 ) ∴当 x ? ? , 1 ? 时, F ( x) min ? F ( ) ? m ? ? ln 2 , ( m ?? ? n 2 4 4 ?3 ? 1 l2 ) ( m ?? ? n ??14 分 F ( x)max ? F (1) ? m ? 2 , 4
20、 (14分)已知数列 ? an ? 是各项均不为0的等差数列,公差为d, Sn 为其前n项和,且满足

an 2 ? S2n?1 , n ? N* .数列 ? bn ? 满足 bn ?

1 , n ? N* , Tn 为数列 ? bn ? 的前n项和. an ? an ?1

(1)求数列 ? an ? 的通项公式 an 和数列 ? bn ? 的前n项和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围;
n

(3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不 存在,请说明理由. 2 解: (1)在 an ? S 2 n ?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,
2 ? ?a1 ? S1 , 得? 2 ? ?a 2 ? S 3 , 2 ? ?a1 ? a1 , 即? 2 ? ?(a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d ,

??1分
??2分

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1 又

2 an ? 2n ? 1 时, Sn ? n 2 满足 an ? S2 n ?1 ,? an ? 2n ? 1

快乐的学习,快乐的考试!

10

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bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

??3分 ??4分

?Tn ?

1 1 1 1 (1 ? ? ? ? 2 3 3 5

?

1 1 n ? )? . 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
n

(2) ①当 n 为偶数时, 要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立, 即需不等式 ? ? 恒成立. ??5分

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 n n

8 ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n ? 此时 ? 需满足 ? ? 25 2n ?
n

??6分

②当 n 为奇数时, 要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立, 即需不等式 ? ? 恒成立. ??7分

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 n n

8 8 2n ? 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n ? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 . ??8分 综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 . ??9分 1 m n , Tn ? (3) T1 ? , Tm ? , 3 2m ? 1 2n ? 1
若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 即 由
m2 n ? . 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3
3 ?2m 2 ? 4m ? 1 m2 n ? ? 0 , ??12分 ,可得 ? n m2 4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3

m 2 1 n ) ? ( ) ,??10分 2m ? 1 3 2n ? 1

即 ?2m 2 ? 4m ? 1 ? 0 ,

? 1? 6 ? m ? 1? 6 . ??13分 2 2 又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .

Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列. 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时,数列 ?
n 1 1 ? ? m2 1 [另解] 因为 6n ? 3 3 6 ,故 2 ? ,即 2m 2 ? 4m ? 1 ? 0 , 6? 4m ? 4m ? 1 6 n

?14分

? 1? 6 ? m ? 1? 6 , (以下同上 ) . 2 2

快乐的学习,快乐的考试!

11


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