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2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题8


第8章
一、选择题

第8节

→ → 1.若 M、N 为两个定点且|MN|=6,动点 P 满足PM·PN=0,则 P 点的轨迹是( A.圆 C.双曲线 [答案] A B.椭圆 D.抛物线

)

[解析] 以 MN 的中点为原点,直线 MN 为 x 轴建立直角坐标系.并设 M(-3,0),N(3,0), → → P(x,y),则PM·PN=(- 3-x,-y)·(3 -x,-y)=(x2-9)+y2=0,即 x2+y2=9. 2.(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上,画有一个圆(圆心为 O)和一个定点 F(F 在圆外).在圆 上任取一点 M,将纸片折叠使点 M 与点 F 重合,得到折痕 CD.设直线 CD 与直线 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹为( A.双曲线 C.圆 [答案] A [解析] 由 OP 交⊙O 于 M 可知|PO|-|PF|=|PO|-|PM|=|OM|<|OF|(F 在圆外), 点的 ∴P 轨迹为双曲线,故选 A. 3.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围的图 形的面积等于( A.π C.8π [答案] B [解析] 设 P(x,y),由知有:(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2] ,整理得 x2-4x+y2=0,配方得 (x-2)2+y2=4,可知圆的面积为 4π. 4.已知点 F1(-1,0),F2(1,0),动点 A 到 F1 的距离是 2 3,线段 AF2 的垂直平分线交 A F1 于点 P,则点 P 的轨迹方程是( x2 y2 A. 9 + 4 =1 x2 y2 C. 3 + 2 =1 [答案] C ) x2 y2 B .12+ 8 =1 x2 y2 D.12+10=1 ) B.4π D.9π ) B.椭圆 D.抛物线

[解析] 依题意得,|PA|=|PF2|, 又|PA|+|PF1|=|AF1|=2 3, 故|PF1|+|PF2|=2 3,点 P 的轨迹为椭圆, x2 y2 方程为 3 + 2 =1. 5.平面 α 的斜线 AB 交 α 于点 B,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 α 于点 C,则动点 C 的轨迹是( A.一条直线 C.一个椭圆 [答案] A [解析] 过定点 A 且与 AB 垂直的直线 l 都在过定 点 A 且与 AB 垂直的平面 β 内,直线 l 与 α 的交点 C 也是平面 α、β 的公共点.点 C 的轨迹是平面 α、β 的交线. ) B.一个圆 D.双曲线的一支

6.已知 log2x、log2y、2 成等差数列,则在平面直角坐标系中,点 M(x,y)的轨迹为(

)

[答案] A [解析] 由 log2x,log2y,2 成等差数列得

2log2y=log2x+2 ∴y2=4x(x>0,y>0),故选 A.

x2 y2 7.过椭圆 9 + 4 =1 内一点 R(1,0)作动弦 MN,则弦 MN 中点 P 的轨迹是( A.圆 C.双曲线 [答案] B B.椭圆 D.抛物线

)

[解析] 设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),则 4x12+9y12=36,4x22+9y22=36, 相减得 4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0, y1-y2 y = 代入可知轨迹为椭圆. 将 x1+x2=2x,y1+y2=2y, x1-x2 x-1 8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( )

A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 [答案] A [解析] 设 P1、P2 为 P 的轨迹上两点,则 AP1⊥BD1,AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2=A, ∴直线 AP1 与 AP2 确定一个平面 α,与面 BCC1B1 交于直线 P1P2,且知 BD1⊥平面 α, ∴P1P2⊥BD1, 又∵BD1 在平 面 BCC1B1 内的射影为 BC1,∴P1P2⊥BC1,而在面 BCC1B1 内只有 B1C 与 BC1 垂直,∴P 点的轨迹为 B1C.

9.设 x1、x2∈R,常数 a>0,定义运算“*”,x1]x*a))的轨迹是( A.圆 C.双曲线的一部分 B.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

)

[答案] D [解析] ∵x1]x*a)= ?x+a?2-?x-a?2=2 ax, 则 P(x,2 ax).

?x1=x 设 P(x1,y1),即? ,消去 x 得, ?y1=2 ax
y12=4ax1(x1≥0,y1≥0), 故点 P 的轨迹为抛物线的一部分.故选 D. 10.(201 1·广东佛山、山东诸城)如图,有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半 轴的长分别为 a1 和 a2,半焦距分别为 c1 和 c2,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.则下 列结论不正确的是( )

A.a1-c1=a2-c2 C.a1c2>a2c1 [答案] C

B.a1+c1>a2+c2 D.a1c2<a2c1

[解析] 设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为 O1,O2,公共左顶点为 A,如图,则 a1-c1=|AO1| -|FO1|=|AF|,a2-c2=|AO2|-|FO2|=|AF|,故 A 对;又 a1>a2,c1>c2,∴a1+c1>a2 c1 c2 +c2,故 B 对;由图知 e1>e2,即a1>a2,∴a1c2<a2c1,故 D 对,C 错. 二、填空题 x2 y2 11.F1、F2 为椭圆 4 + 3 =1 的左、右焦点,A 为椭圆上任一点,过焦点 F1 向∠F1AF2 的外 角平分线作垂线,垂足为 D,则点 D 的轨迹方程是________. [答案] x2+y2=4 1 1 [解析] 延长 F1D 与 F2A 交于 B,连结 DO,可知|DO|=2|F2B|=2(|AF1|+|AF2|)=2,∴动 点 D 的轨迹方程为 x2+y2=4. y2 12.(2010·哈师大附中)已知曲线 C1 的方程为 x2- 8 =1(x≥0,y≥0),圆 C2 的方程为(x-3)2 +y2=1,斜率为 k(k>0)的直线 l 与圆 C2 相切,切点为 A,直线 l 与双曲线 C1 相交于点 B, |AB|= 3,则直线 AB 的斜率为________. [答案] 3 3

[解析] 设 B(a,b),则由题意可得

?a2-b2=1 ?a=1 ? ? 8 ? ,解得? , ? ?b=0 ??a-3?2+b2=3+1 ?
|3k-k| =1, 则直线 AB 的方程为 y=k(x-1),故 1+k2 3 3 ∴k= 3 ,或 k=- 3 (舍去). 13.(2010·浙江杭州质检)已知 A,B 是圆 O:x2+y2=16 上两点,且|AB|=6,若以 AB 为直 径的圆 M 恰好经过点 C(1,-1),则圆心 M 的轨迹方程是________. [答案] (x-1)2+(y+1)2=9(位于圆 x2+y2=16 内的) [解析] ∵以 AB 为直径的圆过点 C,∴AC⊥BC, 1 ∵M 是 AB 中点,∴|CM|=2|AB|=3,

故点 M 在以 C(1,-1)为圆心,3 为半径的圆上,方程为(x-1)2 +(y+1)2=9,∵M 为弦 AB 的中点,∴M 在⊙O 内,故点 M 轨迹为圆(x-1)2+(y+1)2=9 位于圆 x2+y2=16 内的部分. 14. (2010·青岛一中)如图, 两条过原点 O 的直线 l1, 分别与 x 轴、 轴成 30°的角, P(x1, l2 y 点 y1)在直线 l1 上运动,点 Q(x2,y2)在直线 l2 上运动,且线段 PQ 的长度为 2.则动点 M(x1, x2)的轨迹 C 的方程为________.

[答案]

x2 3 +y2=1

[解析] 由已知得直线 l1⊥l2, 3 l1:y= 3 x,l2:y=- 3x, 3 ∵点 P(x1,y1)在直线 l1 上运动,点 Q(x2,y2)在直线 l2 上运动,∴y1= 3 x1,y2=- 3x2, 由|PQ|=2 得,(x12+y12)+(x22+y22)=4, 4 x12 即3x12+4x22=4? 3 +x22=1, x2 ∴动点 M(x1,x2)的轨迹 C 的方程为 3 +y2=1. 三、解答题 15.(2010·广州市质检)已知动点 P 到定点 F( 2,0)的距离与点 P 到定直线 l:x=2 2的距离 2 之比为 2 . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; → → (2)设 M、N 是直线 l 上的两个点,点 E 与点 F 关于原点 O 对称,若EM·FN=0,求|MN|的最 小值. [解析] (1)设点 P(x,y) , 依题意有, ?x- 2?2+y2 2 =2 , |x-2 2|

x2 y2 x2 y2 整理得 4 + 2 =1,所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 4 + 2 =1. (2)∵点 E 与点 F 关于原点 O 对称, ∴点 E 的坐标为(- 2,0). ∵M、N 是直线 l 上的两个点, ∴可设 M(2 2,y1),N(2 2,y2)(不妨设 y1>y2). → → ∵EM·FN=0, ∴(3 2,y1)·( 2,y2)=0, 6 ∴6+y1y2=0,即 y2=-y1. 由于 y1>y2,∴y1>0,y2<0. 6 ∴|MN|=y1-y2=y1+y1≥2 6 y1·y1=2 6.

当且仅当 y1= 6,y2=- 6时,等号成立. 故|MN|的最小值为 2 6. [点评] 直译法是求轨迹的基本方法,对于符合圆锥曲线定义的轨迹问题,也常用定义法 求 解,请再做下题: x2 y2 3 (2010·陕西宝鸡市质检)已知椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,直线 l:y=x+2 与 以原点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)若 AC、BD 为椭圆 C1 的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点 F2,求四边形 ABCD 的面积的 最小值. 3 c2 a2-b2 1 [解析] (1)∵e= 3 ,∴e2= a2= a2 =3, ∴2a2=3b2. ∵直线 l:x-y+2=0 与圆 x2+y2=b2 相切, ∴b= 2,b2=2,∴a2=3. x2 y2 ∴椭圆 C1 的方程是 3 + 2 =1. (2)∵|MP|=|MF2|,∴动点 M 到定直线 l1:x=-1 的距离等于它到定点 F2(1,0)的距离, ∴动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线. ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 y2=4x. (3)当直线 AC 的斜率存在且不为零时,设直线 AC 的斜率为 k,A(x1,y1),C(x2,y2),则直 线 AC 的方程为 y=k(x-1). x2 y2 6k2 联立 3 + 2 =1 及 y=k(x-1)得, (2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0, 所以 x1+x2= , x1x2 2+3k2 = 3k2-6 . 2+3k2

|AC|= ?1+k2??x1-x2?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]= 48?k2+1? . 2+3k2

48?1+k2? 1 1 由于直线 BD 的斜率为-k,用-k 代换上式中的 k 可得|BD|= . 2k2+3 24?1+k2?2 1 , 因为 AC⊥BD,所以四边形 ABCD 的面积为 S=2|AC|·|BD|= ?2+3k2??2k2+3?

?2+3k2?+?2k2+3? 5?k2+1? 96 由于(2+3k2)(2k2+3)≤[ ]2=[ ]2,所以 S≥25,当 2+3k2 2 2 =2k2+3,即 k=±1 时取等号.易知,当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时,四边形 ABCD 的面积 S=4. 96 综上可得,四边形 ABCD 面积的最小值为25. 16.(2010·浙江金华十校联考)已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 1 → → B、C 两点.当直线 l 的斜率是2时,AC=4AB. (1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 1 1 [解析] (1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是2时,l 的方程为 y=2(x+4),即 x= 2y-4.
?x2=2py ? 由? 得 2y2-(8+p)y+8=0, ? ?x=2y-4

① ?y1y2=4 ? ∴? , 8+p ② ?y1+y2= 2 ? → → 又∵AC=4AB, ∴y2=4y1 ③ 由①,②,③及 p>0 得:y1=1,y2=4,p=2, 则抛物线 G 的方程为:x2=4y. (2)设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x0,y0),
? ?x2=4y 由? 得 x2-4kx-16k=0④ ?y=k?x+4? ?

xC+xB ∴x0= 2 =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k. 1 ∴线段 BC 的中垂线方程为 y-2k2-4k=-k(x-2k), ∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1) 2, 对于方程 ④,由 Δ=16k2+64k>0 得:k>0 或 k<-4. ∴b∈(2,+∞). [点评] 解析几何与向量,导数结合是可能的新命题方向,其本质仍是解析几何问题,请再 练习下题:

(2010·湖南师大附中)如图, 抛物线的顶点 O 在坐标原点, 焦点在 y 轴的负半轴上, 过点 M(0, → → -2)作直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,且满足OA+OB=(-4,-12).

(1)求直线 l 和抛物线的方程; (2)当抛物线上动点 P 在点 A 和 B 之间运动时,求△ABP 面积的最大值. [解析] (1)据 题意可设直线 l 的方程为 y=kx-2, 抛物线的方程为 x2=-2py(p>0).
?y=kx-2 ? 联立? 得,x2+2pkx-4p=0. ? ?x2=-2py

设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4. → → 所以OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4). → → 因为OA+OB=(-4,-12),
?-2pk=-4 ?p=1 ? ? ,解得? . 所以? ? ? ?-2pk2-4=-12 ?k=2

故直线 l 的方程为 y=2x-2,抛物线的方程为 x2=-2y. (2)根据题意,当抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,△ABP 的面积最大. 设点 P(x0,y0),因为 y′=-x,则-x0=2,解得 x0=-2, 1 又 y0=-2x02=-2,所以 P(-2,-2). 此时,点 P 到直线 l 的距离 |2|?-2?-?-2?-2| 4 5 d= = 5 . 22+?-1?2
?y=2x-2 ? 由? ,得 x2+4x-4=0.则 x1+x2=-4,x1·x2=-4, ? ?x2=-2y

所以|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1·x2 = 1+22· ?-4?2-4?-4?=4 10.

1 1 4 5 故△ABP 面积的最大值为2|AB|·d=2|4 10| 5 =8 2. 5 → → → 17.(2010·辽宁省实验中学)如图,在 Rt△DEF 中,∠DEF=90°,|EF|=2,|EF+ED|=2 ,椭 x2 y2 圆 C:a2+b2=1 以 E、F 为焦点且过点 D,点 O 为坐标原点.

(1)求椭圆 C 的标准方程; → 1→ (2)若点 K 满足OK=3ED,问是否存在不平行于 EF 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N → → 且|MK|=|NK|,若存在,求出直线 l 的斜率的取值范围,若不存在,说明理由. x2 y2 [解析] (1)由已知 E(-1,0),F(1,0),设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), b2 令 xD=-c 可得 yD= a , 3 5 → → → → → → ∵|EF+ED|=2,EF ⊥ED,|EF|=2,∴|ED|=2.

?c=1 ? ?a=2 ∴?b2 3 ,解得? ?b= 3 ? a =2 ?
x2 y2 ∴椭圆 C 的方程是 4 + 3 =1. → 1→ ? 1? (2)∵OK=3ED,∴K 0,2 ,当 l⊥EF 时,不符合题意,

?

?

故可设直线 l 的方程为:y=kx+m(k≠0)

?y=kx+m ? 由?x2 y2 消去 y 得, ? 4 + 3 =1 ?
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0 ∵M、N 存在,∴Δ>0 即 64k2m2-4(3+4k2)·(4m2-12)>0, ∴4k2+3>m2(※)

设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 H(x0,y0) x1+x2 4km ∴x0= 2 =- , 3+4k2 3m , y0=kx0+m = 3+4k2 → → ∵|MK|=|NK|,∴|MK|=|NK|, 3m 1 1 - y0-2 3+4k2 2 3+4k2 1 1 |MK|=|NK|?MN⊥KH? x0 =-k ? 4km =-k?m=- 2 - 3+4k2

? 3+4k2?2 代入(※)式得 4k2+3> - 2 ? ?
∴4k2+3<4, 1 1 又 k≠0,∴-2<k<2且 k≠0

? 1 ? ? 1? ∴l 的斜率的取值范围是 -2,0 ∪ 0,2 . ? ? ? ?


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