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西交大苏州附中2013-2014高二数学期中复习(1)


西交大苏州附中 2013-2014 学年度第一学期期中复习卷(1)
高 二 数 学
姓名

一、填空题: 1.设 α、β、γ 为两两不重合的平面,l、m、n 为两两不重合的直线.给出下列四个命题: ①若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;②若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 α∥β,l?α,则 l∥β;④若 α∩β=l,β∩γ

=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数是________. 2.若直线 mx ? (1 ? m) y ? 3 与直线 (m ? 1) x ? (2m ? 3) y ? 2 ? 0 垂直,则 m 的值是________. 4 3. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 π, 半径为 18cm 的扇形, 则圆锥母线与底面所成角的余弦值为_____. 3 4.斜率为
3 ,且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12 的直线方程为 4



5.若点 P(m, 0) 到点 A(?3, 2) 及 B(2, 8) 的距离之和最小,则 m 的值为 6.在下列三个正方体中,能得出 AB⊥CD 的是________.

7.已知两平行直线 l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0, l2 : 6 x ? 8 y ?15 ? 0 ,求与 l1 和 l2 的距离都相等的直线 l 的方程是 _______________. 8.若直线 l 的斜率 k 的变化范围是[-1, 3],则它的倾斜角的变化范围是__________________. 9.若直线 y ? x ? b 与曲线 x ?

4 ? y 2 恰有一个公共点,则有 b 的取值范围是

10.直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心,半径为 5的圆的方程为__________________. 11.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,四面体 ACB1D1 的体积为________. 12.过点 P(1, 2) 总可作两条直线与圆 x2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? k 2 ?15 ? 0 相切,则 k 的取值范围是 1 2 13. 若直线 ax+2by-2=0(a>0, b>0)始终平分圆 x2+y2-4x-2y-8=0 的周长, 则a+b的最小值为_____. 14. 设圆 O : x 2 ? y 2 ? 3 , 直线 l : x ? 3 y ? 6 ? 0, , 点 P( x0 , y0 ) ? l 若在圆 O 上存在点 Q,使得 ?OPQ ? 600 , 则 x0 的取值范围是 理科:1、若椭圆 x2+my2=1 的离心率为 3 ,则 m=________________. 2

2、在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 6 的椭圆方程为

x2 y2 3、如图,已知 F1,F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,过 F1 的直线与 a b ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? 椭圆相交于 A, B 两点.若 AB ? AF2 ? 0, AB ? AF2 ,则椭圆的离心率为__________.

-1-

A1 二、解答题: 15.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 F 为 A1D 的中点. (1)求证:A1B∥平面 AFC; (2)求证:平面 A1B1CD ? 平面 AFC. B A C
(第 15 题)

D1 F C1

B1

D

16.分别求满足下列条件的直线方程: 1 (1)倾斜角是直线 y=- 3x+1 的倾斜角的 ,经过点( 3,-1); 4 (2)过点 P(1, 2) ,且点 M (2,3) 和点 N (4, ?5) 到该直线距离相等 (3)过点 A(2,1) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相切

x2 y2 (理科) 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 的二个焦点 F1(-c, 0), F2(c, 0), M 是椭圆上一点, 且 F1 M ? F2 M ? 0 . a b
(1)求离心率 e 的取值范围; (2)当离心率 e 最小时,点 N(0,3)到椭圆上一点的最远距离为 5 2 ,求此椭圆的方程.

-2-

17.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=AC=AA1=3a,BC=2a,D 是 BC 的中点,E 为 AB 的中 点,F 是 C1C 上一点,且 CF=2a. (1)求证:C1E∥平面 ADF;(2)试在 BB1 上找一点 G,使得 CG⊥平面 ADF; (3)求三棱锥 D—AB1F 的体积.

18.已知 ?ABC 中 A(3,1)、B(-1,2),若∠ ACB 的平分线所在直线方程为 y=x+1 (1)求 AC 所在直线方程(2)求 ?ABC 的外接圆的方程

19.已知圆 M 的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的 切线 PA, PB ,切点为 A, B . (1)若 ?APB ? 60? ,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为 (2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点,当 CD ? 2 时,求直线 CD 的方程; (3)求证:经过 A, P , M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标. (理科)如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C : 圆的离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (3 2, 2) ,椭 a 2 b2

2 2 , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点. 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A 、 B . ① 若直线 MA 过坐标原点 O , 试求 ?MAF2 外接圆的方程; ② 若 ?AMB 的平分线与 y 轴平行,试探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是, 请给予证明;若不是, 请说 明理由.
-3-

20.已知圆 x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为 C,直线 l:y=x+m. (1)若 m=4,求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值; (2)若直线 l 是圆心 C 下方的切线,当 a 在(0,4]上变化时,求 m 的取值范围.

-4-

西交大苏州附中 2013-2014 学年度第一学期期中复习(1)答案
1. 2 6、① 2. a=-1 7、 12 x ? 16 y ? 5 ? 0 3. 2 3 4. y ?

3 x?3 4

5、 ?2

π 3π 8、 [0, ]∪ [ ,π) 3 4 10、(x+1)2+(y-2)2=5 13. 3+2 2 3、 6 — 3 A1 B1 F C1 D1
6 14、 [0, ] 5

9. b ?2 ? b ≤ 2或b ? ?2 2 12、 k ? ( ?

?

?

1 11、 3

8 8 3, ?3) ? (2, 3) 3 3
2、 x2 y2 + =1 18 9

1 理科:1、 或 4 4

15、证明: (1)连接 BD 交 AC 于点 O, 连接 FO,则点 O 是 BD 的中点. ∵ 点 F 为 A1D 的中点,∴ A1B∥ FO. 又 A1B ? 平面 AFC, FO ? 平面 AFC, ∴ A1B∥ 平面 AFC. (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,连接 B1D. ∵ AC⊥ BD,AC⊥ BB1,∴ AC⊥ 平面 B1BD,AC⊥ B1D. 又∵ CD⊥ 平面 A1ADD1, AF ? 平面 A1ADD1,∴ CD⊥ AF. 又∵ AF⊥ A1D,∴ AF⊥ 平面 A1B1CD. ∵ AC⊥ B1D,∴ B1D⊥ 平面 AFC. 而 B1D ? 平面 A1B1CD,∴ 平面 A1B1CD ? 平面 AFC. B C
(第 15 题)

A

D

16、解: (1)∵ 直线的方程为 y=- 3x+1, ∴ k=- 3,倾斜角 α=120° , 由题知所求直线的倾斜角为 30° ,即斜率为 ∵ 直线经过点( 3,-1), 即 3x-3y-6=0. (2) 4 x ? y ? 6 ? 0 和 3x ? 2 y ? 7 ? 0 (3) x ? 2 和 3x ? 4 y ? 10 ? 0
0 2b ? PF1 ? PF2 ≤( (理科)解: (1) F 1M ? F 2 M ? 0 ? ?F 1MF 2 ? 90 ∴
2

3 . 3 3 (x- 3), 3

∴ 所求直线方程为 y+1=

????? ?????

PF1 ? PF2 2 ) ? a2 2

又∵ 0< e <1,∵

2 ≤ e ≤1. 2

-5-

(2)当离心率 e 取最小值

x2 y2 2 时,椭圆方程可表示为 2 ? 2 ? 1 。 2 2b b

设点 H(x,y)是椭圆上的一点,则|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=- (y+3)2+2b2+18(-b≤y≤b)。若 0<b<3, 则 0>-b>-3,当 y=-b 时,|HN|2 有最大值 b2+6b+9。由题意知:b2+6b+9=50,b= 5 2 ? 3 或 b=- 5 2 ? 3 , 这与 0<b<3 矛盾。若 b≥3,则-b≤-3,当 y=-3 时,|HN|2 有最大值 2b2+18。由题意知:2b2+18=50,b2=16,

x2 y2 ? ? 1. ∴ 所求椭圆方程为 32 16
17、(1)证明:∵ AB=AC,D 为 BC 中点,又 E 为 AB 的中点,连结 CE 交 AD 于 O,连结 FO, CO CF 2 易知 = = ,故 FO∥ C1E.(2 分) CE CC1 3 又 FO?平面 AFD,C1E?平面 AFD,(4 分) 故 C1E∥ 平面 AFD.(5 分) (2)解:在平面 C1CBB1 内,过 C 作 CG⊥ DF,交 B1B 于 G, 在 Rt△ FCD 和 Rt△ CBG 中, FC=CB,∠ CFD=∠ BCG, 故 Rt△ FCD≌ Rt△ CBG.(6 分) 而 AD⊥ BC,CC1⊥ AD 且 CC1∩CB=C, 故 AD⊥ 平面 C1CBB1.(8 分) 而 CG?平面 C1CBB1,故 AD⊥ CG. 又 CG⊥ DF,AD∩FD=D, 故 CG⊥ 平面 ADF.此时 BG=CD=a.(10 分) (3)解:∵ AD⊥ 平面 BCC1B1, 1 ∴ VD—AB1F=VA-B1DF= · S△ B1DF· AD(12 分) 3 5 2a3 1 1 = × B1F· FD· AD= .(14 分) 3 2 3 18.解:设点 A 关于直线 y=x+1 对称的点 A′(x0,y0), y -1 ? ?x -3=-1 则? y +1 x +3 ? ? 2 = 2 +1
0 0 0 0

? ?x0=0 ,解得? ,即 A′(0,4). ?y0=4 ?

∴ 直线 A′B 的方程为 2x-y+4=0.
?2x-y+4=0 ?x=-3 ? ? 由? 得? ,得 C(-3,-2). ?y=x+1 ? ? ?y=-2

∴ 直线 AC 的方程为 x-2y-1=0. (2) x ? y ?
2 2

2 7 31 x? y? ?0 3 3 3
2 2

19、解析: (1)设 P(2m, m) ,由题可知 MP ? 2 ,所以 (2m) ? (m ? 2) ? 4 ,解之得: m ? 0, m ? 所求点 P 的坐标为 P(0, 0) 或 P ( , ) .

4 故 5

8 4 5 5

-6-

(2)设直线 CD 的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2) ,易知 k 存在,由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为

2 ,所 2



2 ?2k ? 1 , ? 2 1? k 2
1 , 7

解得, k ? ?1 或 k ? ?

故所求直线 CD 的方程为: x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 . (3)设 P(2m, m) , MP 的中点 Q ( m,

m ? 1) ,因为 PA 是圆 M 的切线 2

所以经过 A, P , M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: ( x ? m) ? ( y ?
2

m m ? 1) 2 ? m2 ? ( ? 1)2 2 2

化简得: x2 ? y 2 ? 2 y ? m( x ? y ? 2) ? 0 ,此式是关于 m 的恒等式, 故?

? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0,

解得 ?

? x ? 0 ? x ? 1, 或? ? y ? 2 ? y ? 1.

所以经过 A, P , M 三点的圆必过定点 (0, 2) 或 (1,1) .

(理科)解: (1)由 e ?

x2 y 2 2 2 c2 a 2 ? b2 8 2 2 , 2 ? ,得 ,故椭圆方程为 ? ? ? 1 …………3 分 a ? 9 b a a2 9 9b 2 b 2 3
18 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 ? 4 ,所以椭圆的方程为 ? ? 1 ………5 分 2 9b b 36 4
1 ,所以 MA 的中垂线方程为 y ? ?3 x , 3

又椭圆过点 M (3 2, 2) ,则

(2)①记 ?MF1 F2 的外接圆的圆心为 T .因为 kOM ?

又由 M (3 2, 2) , F2 4 2, 0 ,得 MF1 的中点为 ? ?

?

?

?7 2 2? , ? ,而 kMF2 ? ?1 , 2 ? ? 2 ?

所以 MF2 的中垂线方程为 y ? x ? 3 2 ,由 ?
2

?3 2 9 2 ? ? ? y ? ?3 x ,得 T ? ? 4 ,? 4 ? ? …………………8 分 ? ?y ? x ?3 2 ? ?
2

? 3 2? ? 9 2? 5 5 所以圆 T 的半径为 ? 4 2 ? , ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 2 ?

? 3 2? ? 9 2 ? 125 10 故 ?MAF2 的外接圆的方程为 ? x ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ……………… 分 4 4 ? ? ? ?
-7-

2

2

(说明:该圆的一般式方程为 x 2 ?

3 2 9 2 x ? y2 ? y ? 20 ? 0 ) 2 2

(3)设直线 MA 的斜率为 k , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题直线 MA 与 MB 的斜率互为相反数,

? y ? kx ? 2 ? 3 2k ? 直线 MB 的斜率为 ? k .联立直线 MA 与椭圆方程: ? x 2 y 2 , ?1 ? ? ? 36 4
整理得 9k ? 1 x ? 18 2k ?1 ? 3k ? x ? 162k ? 108k ? 18 ? 0 ,得 x ? 1
2 2 2

?

?

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

?3 2 ,

所以 x ? 2

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

? 3 2 ,整理得 x2 ? x1 ?

36 2k 108 2k 2 , x ? x ? ? 6 2 ………13 分 2 1 9k 2 ? 1 9k 2 ? 1

又 y2 ? y1 ? ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? ? k ? x2 ? x1 ? ? 6 2k

?

?

=

?108k 12 2k ,所以 k AB ? 12 2k ? 2 2 9k ? 1 9k ? 1
3

12 2k y2 ? y1 9k 2 ? 1 1 ? ? ? 为定值………………16 分 x2 ? x1 36 2k 3 9k 2 ? 1

20、解:(1)∵ x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0, ∴ (x+a)2+(y-a)2=4a, ∴ 圆心为 C(-a,a),半径为 r=2 a, 设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t,圆心 C 到直线 l 的距离为 d, m=4 时,直线 l:x-y+4=0, 圆心 C 到直线 l 的距离 d= |-a-a+4| = 2|a-2|, 2

t2=(2 a)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8 =-2(a-3)2+10, 又 0<a≤4, ∴ 当 a=3 时,直线 l 被圆 C 所截得弦长的值最大,其最大值为 2 10. (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d= |-a-a+m| 2 = |2a-m|, 2 2

|m-2a| ∵ 直线 l 是圆 C 的切线,∴ d=r,即 =2 a, 2 ∴ m=2a± 2 2a, ∵ 直线 l 在圆 C 的下方,
-8-

∴ m=2a-2 2a=( 2a-1)2-1, ∵ a∈ (0,4],∴ m∈ [-1,8-4 2].

-9-


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