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一元二次不等式恒成立问题


一元二次不等式及其解法

恒成立问题

判别式 △=b2- 4ac

△>0
y

△=0
y

△<0
y

y=ax2+bx+c (a>0)的图象

x1 O

x2

x
O x1 x O 没有实根 x

ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

有两相等实根 有两相异实根 b x = x = 1 2 ? x1, x2 (x1<x2) 2a

{x|x<x1,或 x>x2}

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

{x|x1< x <x2 }
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Φ

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表中的

x1 , x 2 承担几种角色

1、一元二次方程的两根。
2、二次函数的零点。 3、不等式解的端点。

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例 1.设函数 f(x)=mx2-mx-1. 若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围;

规范解答 解 (1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0; ? ?m<0, 若 m≠0,则? ?-4<m<0. 2 ? ?Δ=m +4m<0 所以-4<m≤0. 变式:f(x)〉0

若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-4<0 对于x∈R恒 成立,则实数m 的取值范围时 . (?2,2]
令 f ( x ) ? ( m ? 2) x 2 ? 2( m ? 2) x ? 4,

?(m ? 2) ? 0 m ? 2或? ? ? 2 ? m ≤ 2 ?? ? 0

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变式1:若函数

f ( x) ? 2x 2 ? 8x ? 6 ? m

的定义域为R,则m的取值范围是__________。
变式2.若不等式2 x ? 8 x ? 6 ? m ? 0的解集为空集, 则实数
2

m的取值范围是 ____ .

变式3: 若关于x的不等式: ax2 ? 2ax - 2 ? 0的解集为R,

求实数a的取值范围。
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例2:若关于x的一元二次不等式 2x2 ? 8x ? 6 ? m ? 0

的解集为R,则m的取值范围。
__m〈2________

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例5. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] m≤9 上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2

解:m≤-2x2+9x在区间[2,3]上恒成立,

记 g ( x) ? ?2 x2 ? 9 x, x ?[2,3],
gmin ( x) ? g(3) ? 9, ? m ≤ 9. (1)变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题,如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离,即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边,然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题.

则问题转化为 m≤g(x)min

例3. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] 上恒成立,则实数m的取值范围是_______. m≤9
2

解:构造函数 f ( x ) ? 2 x 问题等价于f(x)max≤0,

2

? 9 x ? m, x ? [2, 3],
y

2 9 f ( x ) ? 2( x ? ) ? m ? 81 , x ? [2,3], 4 8

? fmax ( x) ? f (3) ? m ? 9 ≤ 0,

o

2

? m ≤ 9.
(2)转换求函数的最值

.

.

3

x

例5. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] m≤9 上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2

解:构造函数 则

f ( x) ? 2 x2 ? 9 x ? m, x ?[2,3],
y

? f (2) ≤ 0 ? ? f (3) ≤ 0
o

? ?10 ? m ≤ 0 ? m ≤ 9. ?? ? ?9 ? m ≤ 0

2

.

.

3

x

(3)数形结合思想

【1】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-4<0 对于 m∈[-1,1]恒成立,则实数x 的取值范围是_______.

g (m) ? (m ? 2) x2 ? 2(m ? 2) x ? 4

? ( x ? 2x)m ? 2x ? 4x ? 4
2 2

? g (?1) ? 0 ?? ? g (1) ? 0

【 2】 若对于任意 a ? ( ?1,1] , 函数 f ( x) ? x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a
2

x ? 1或x ≥ 3 的值恒大于 0,则 x 的取值范围是________________________ .
? g(?1) ≥ 0 g(a) ? ( x ? 2)a ? x ? 4 x ? 4 ? ? ? g(1) ? 0
2

此题若把它看成关于x的二次函数,由于a, x都要

变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元,
则给解题带来转机.

(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最 批阅笔记 值,也可通过分离参数,再求最值. (1)与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最 (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地, 值,也可通过分离参数,再求最值. 知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数. (3)对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数 (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地, 的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方, 恒小于 0 就是相应的二 知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数. 次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方. (4)本题考生易错点:忽略对 m=0 的讨论.这是由思维定势所造 (3)对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数 成的. 的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方, 恒小于 0 就是相应的二
次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方.
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