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浙江省温州市2015届高三第二次适应性测试(二模)数学(文)试卷


2015 年温州市高三第二次适应性测试 数学(文科)试题
分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh

2015.4

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页。满

/>
其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1、S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的

1 Sh 3 台体的体积公式: V ? 1 h( S ? S S ? S ) 1 1 2 2 3
锥体的体积公式: V ? 高 球的表面积公式: S ? 4? R 2

球的体积公式: V ?

4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求。 1.下列函数中既是奇函数又是增函数的是( A. y ? ? ▲ ) D. y ? 2 ▲ )
x

2 x

B. y ? 2 x

C. y ? log 2 x

2.要得到函数 y ? sin x 的图像,只需将函数 y ? cos x 的图象( A.向右平移

?
2

个单位

B.向左平移

?
2

个单位

C.向右平移 ? 个单位

D.向左平移 ? 个单位 ▲ )

3.命题“任意的 x ? R ,都有 x 2 ? 0 成立”的否定是( A.任意的 x ? R ,都有 x 2 ? 0 成立 C.存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 0 成立
2

B.任意的 x ? R ,都有 x 2 ? 0 成立 D.存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 0 成立
2

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 4.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? y ? 2 x 的最小值等于( ▲ ) ? y?0 ?
A. 1 B. 2 C. ?1 D. ?2 ▲ )

5.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的体积是( A. (18? ? 20) cm C. (18? ? 28) cm
3

B. (24? ? 20) cm

3

3

3 D. (24? ? 28) cm

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com (第 5 题图)

6.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线与圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相交, 2 a b
▲ ) D. (1, 2)

则该双曲线的离心率的取值范围是( A. ( 3, ??) 7.已知 f ( x) ? ? A.3 个 B. (1, 3)

C. (2, ??)

?2 x

( x ? 0) ,则方程 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是( ▲ ) ?| log 2 x | ( x ? 0)
B.4 个 C.5 个 D .6 个

8.在 V ABC 中, BC ? 5 , G , O 分别为 V ABC 的重心和外心,且 OG ? BC ? 5 ,则 V ABC 的 形状是( ▲ ) B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能

uuu r uuu r

A.锐角三角形

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分. 9. 集合 A ? ?0,| x |? , B ? ?1,0, ?1? , 若 A ? B ,则 A I B ? ▲ ;A U B ? ▲ ; CB A ? ▲ .

10.设两直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m 与 l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 ,若 l1 // l2 ,则 m ?

▲ ;若

l1 ? l2 ,则 m ? ▲ .
11. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 S 3 ? 2, S 9 ? 12 , 则数列 {an } 的公差 d ? ▲ . 12.已知 ABCDEF 为正六边形,若向量 AB ? ( 3 ,?1) ,则 DC ? DE ? ▲ (用坐标表示) . 13.若椭圆 C : ▲ . 14.若实数 x, y 满足 x 2 ? x ? y 2 ? y ? 0 ,则 x ? ▲ ; EC ? FE ▲ ;S12 ?

?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (0, 3 ) ,且椭圆的长轴长是焦距的两倍,则 a ? a 2 b2

y 的范围是 ▲ .
D1

C1 A1 C D F A

B1

15.如图所示的一块长方体木料中,已知 AB ? BC ? 2, AA1 ? 1 ,设

B

F 为线段 AD 上一点,则该长方体中经过点 A1 , F , C 的截面面积的最小值为 ▲ .
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题 15 分)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 sin x .
2

(第 15 题图)

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求函数 y ? f ( x) 在 [ ?

? 3?

, ] 上的值域. 4 8

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

17. (本题 15 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ?1 ? 2an ? 3(n ? N ) .
?

(I)设 bn ? an ? 3(n ? N ) ,求证 ?bn ? 是等比数列;
?

(II)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .

18. (本小题 15 分) 如图所示, 在三棱锥 D ? ABC 中,AB ? BC ? CD ? 1, AC ? 3 , 平面 ACD ⊥平面 ABC , ?BCD ? 90o . (I)求证: CD ? 平面 ABC ; (II)求直线 BD 与平面 ACD 所成角的正弦值.

(第 18 题图)

19 . (本小题 15 分)如图所示,抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 与直线 AB : y ?
2

1 x ? b 相切于点 2

A.

(I)求 p, b 满足的关系式,并用 p 表示点 A 的坐标;

(II)设 F 是抛物线的焦点,若以 F 为直角顶角的 RtV AFB 的面积等于 25 ,求 抛物线 C 的标准方程.

(第 19 题图)

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20. (本小题 14 分)已知函数 f ? x ? ? x 2 ? ? a ? 4 ? x ? 3 ? a . (I)若 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 上不单调,求 a 的取值范围; 存在 x0 ? ? 0, 2? ,使得 f ? x0 ? ? t ,求 t 的取值范围. (II)若对于任意的 a ? (0, 4) ,

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2015 年温州市高三第二次适应性测试 数学(文科)试题参考答案
项符合题目要求. 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 D 5 D 6 C 7 C 8 B 2015.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分. 9. ?0,1?; ? 1,0,?1?; ?? 1? 12. 2 3; (2 3 ,?2) 10. ? 7;?

13 3

11.

2 ,20 9
15.

13.2

14. [?2,0]

6 5 5

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分)解: (I) f ( x) ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) …………………3 分

? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 4
分 故函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ; ( II )设 t ? 2 x ? 分 又函数 y ? sin t 在 [? 分 则当 t ? ? 分 故 y ? f ( x) 在 [?

?

……………………………5 ……………………………7 分

?
4

,当 x ? [?

? 3?
4 8 ,

]时?

?
4

?t ??

…………………………9

? ?

, ] 上为增函数,在 [ , ? ] 上为减函数,……………………11 4 2 2

?

?
4

时 sin t 有最小值 ?

2 ? ;当 t ? 时 sin t 有最大值 1 , …………………13 2 2
……………………………15 ………………3 分 ………………………5

? 3?

, ] 上的值域为 [?2, 2 ? 1] 4 8

分 17. (本题满分 15 分)解: (I)由已知得 an ?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 则 bn ?1 ? 3bn , 分 又 b1 ? 4 ,则 ?bn ?是以 4 为首项、2 为公比的等比数列 分 (II)由(I)得 bn ? 4 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 , 分

………………………7

………………………9

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则 an ? 2 n ?1 ? 3 分

………………………10

S n ? 2 2 ? 3 ? 23 ? 3 ? L L ? 2n ?1 ? 3
?
分 18. (本题满分 15 分)解: (I)过 B 做 BH ⊥ AC 于 H ……2 分 Q 平面 ACD ⊥平面 ABC ,平面 ACD I 平面 ABC ? AC

4(1 ? 2 n ) ? 3n ? 2 n ? 2 ? 3n ? 4 1? 2

………………………15

? BH ⊥平面 ACD ……4 分 ? BH ⊥ CD BH I BC ? B 又 Q CD ⊥ BC ? CD ? 平面 ABC ……7 分 (II)解法 1: Q BH ⊥平面 ACD 连结 DH 则 ?BDH 为求直线 BD 与平面 ACD 所成角……11 分

Q AB ? BC ? 1, AC ? 3
Q BH ? 1 2
又 Q BD ?

? ?ABC ? 120o

又 Q BH ? AC

2

? sin ?BDH ?

BH 2 ……15 分 ? BD 4 2 . 4

? 直线 BD 与平面 ACD 所成角的正弦值等于

解法 2:设直线 BD 与平面 ACD 所成角为 ? , B 到平面 ACD 的距离为 d

Q AB ? BC ? 1, AC ? 3
? S ?ABC ?


? ?ABC ? 120o

3 1 3 1 , …………………9 S ?ACD ? AC ? CD ? AC ? BC ? sin ?ACB ? 4 2 2 2

Q VD ? ABC ? VB ? ACD
?d ? 1 ……12 分 2

Q CD ? 平 面 ABC

?

1 1 S ?ACD ? d ? S ?ABC ? CD 3 3

又 Q BD ?

2

? sin ? ?

d 2 ……15 分 ? BD 4

? y 2 ? 2 px ? 2 19. (本题满分 15 分)解: (I)联立方程组 ? 消元得: y ? 4 py ? 4bp ? 0 ① …2 1 y ? x ? b ? ? 2
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Q 相切

?V? 16 p 2 ? 16bp ? 0
2 2

得: b ? p ② ……4 分 解得 x A ? 2 p

将②代入①式得: y ? 4 py ? 4 p ? 0

yA ? 2 p

? A(2 p, 2 p)
(II) Q F (

……………………………………………………6 分

p , 0) 2

? k AF ?

2p 2p ? p 2

?

4 3

……………………………………7 分

Q AF ? BF

? k BF ? ?

1 3 ?? k AF 4

3 p 3 3p ………………………………9 分 ? 直线 BF 的方程为 y ? ? ( x ? ) ? ? x ? 4 2 4 8

3 3p p ? ? y ?? x? x?? ? ? ? ? 4 8 2 由? ?? ? y ? 1 x? p ? y ? 3p ? ? ? 4 ? 2
? | AF |? (2 p ? ? S ?ABF ?

即 B(?

p 3p , ) ……………………………11 分 2 4

p 2 5p ) ? 4 p2 ? 2 2

| BF |? (?

p p 2 9 2 5 ? ) ? p ? p ……13 分 2 2 16 4

1 25 2 | AF || BF |? p ? 25 2 16

解得 p ? 4

? 抛物线 C 的标准方程为 y 2 ? 8 x
20. (本题满分 14 分) (I)解: 0 ? ? (II)解法 1: (i)当 0 ?

………………………………………………15 分

a?4 ? 1 ? 2 ? a ? 4 …………………………4 分 2

4?a ? 1 时,即 2 ? a ? 4 时, 2

? 4?a ? f? ? ? f ? x ? ? f ? 2? ? 2 ?
2

2 ? 4 ? a ? ? a ? 4a ? 4 ? a ? 2 ? ? ? f ? 2? ? a ?1 ? a ?1 , f ? ? 4 4 ? 2 ?

2 ? 4 ? a ? ?a ? 8a ? 8 ? ? a ? 4 ? ? 8 f ? 2? ? f ? ? ? ?0 ? 4 4 ? 2 ? 2

所以 | f ? x ? |max ? a ? 1 …………………………………………………………………8 分 (ii)当 1 ?

4?a ? 2 时,即 0 ? a ? 2 时, 2

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2 ? 4 ? a ? ? a ? 4a ? 4 ? a ? 2 ? ? ? f ? 0? ? 3 ? a ? 3 ? a , f ? ? 4 4 ? 2 ?

2

? 4?a ? 8?a f ? 0? ? f ? ? 0 , | f ? x ? |max ? 3 ? a ,……………………………12 分 ?? 4 ? 2 ?
2

综上, | f ? x ? |max ? ?

?a ? 1, 2 ? a ? 4 , ?3 ? a , 0 ? a ? 2

故 | f ? x ? |max ? 1 ,所以 t ? 1 ……………………………………………………………14 分 解法 2: | f ? x ? |? ? x ? 1? ? ? a ? 2 ?? x ? 1?
2

? ? x ? 1? ? ? a ? 2 ?? x ? 1? ……………………………………………………8 分
2

? 1 ? a ? 2 ……………………………………………………………………12 分
等号当且仅当 x ? 0 或 2 时成立, 又 1? a ? 2

?

?

min

? 1 ,所以 t ? 1 ………………………………………14 分

解法 3: | f ? x ? |? ? ?? x ? 1? ? ? a ? 2 ? ? ? ? x ? 1? ? x ? 1 x ? a ? 3 ………………………8 分

Q x0 ? 1 ? 1 , x0 ? a ? 3 ? max ? a ? 1 , 3 ? a ? …………………………………12 分
且上述两个不等式的等号均为 x ? 0 或 2 时取到,故

?a ? 1, 2 ? a ? 4 | f ? x ? |max ? ? ?3 ? a , 0 ? a ? 2
故 | f ? x ? |max ? 1 ,所以 t ? 1 …………………………………………………………14 分

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