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2016届高三数学复习 第四章 第四节 三角恒等变换


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第四节

三角恒等变换

A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 sin 20°cos 20° 1.(2015·安徽淮北一模) =( cos 50° A.2 B. 2 2 C. 2 ) D. 1 2

1 sin 40° sin 20°c

os 20° 2 解析 = cos 50° cos 50° 1 sin 40° 2 1 = = ,故选 D. sin 40° 2 答案 D 2 . (2015· 甘 肃 模 拟 ) 定 义 行 列 式 运 算 : ?

?a1 a2? ? = a1a4 - a2a3. 若 将 函 数 f(x) = ?a3 a4?

?-sin x cos x? ? ?的图象向左平移 m(m>0)个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则 - 3 ? ?1
m 的最小值是(
A. π 6 ) B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6

解析

f(x)=?

?-sin x cos - 3 ?1

x?

? π? ?= 3sin x-cos x=2sin?x- 6 ?向左平移 m(m>0)个单 ? ? ?

π π 位后,所得图象对应的函数 f(x)=2sin(x- +m)为奇函数,所以 m 的最小值是 ,故 6 6 选 A. 答案 A 1 1 tan α 3 . (2014·山东实验中学月考 ) 若 sin(α + β ) = , sin(α - β ) = ,则 的值为 2 3 tan β ( ) A.5 B.-1 C.6 D. 1 6

解析 令 sin α cos β =m,cos α sin β =n,则
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1 m+n= , ? ? 2 5 1 解得 m= ,n= . ? 12 12 1 ? ?m-n=3, tan α m ∴ = =5,故选 A. tan β n 答案 A 4.(2014·开封二模)若点 P(cosθ ,sinθ )在直线 x+2y=0 上.则 cos 2θ +sin 2θ = ( ) 1 B.- 2 C. 1 5 D. 1 2

1 A.- 5

解析 若点 P(cos θ ,sin θ )在直线 x+2y=0 上,则 cos θ +2sin θ =0,即 tan θ 1 cos θ -sin θ +2sin θ cos θ 1-tan θ +2tan θ =- .故 cos 2θ +sin 2θ = = =- 2 2 2 2 sin θ +cos θ tan θ +1 1 ,故选 A. 5 答案 A 5.(2013·郑州 4 月适应性测试)设 α ,β 都是锐角,且 cos α = 则 cos β =( A. C. 2 5 25 2 5 2 5 或 25 5 ) B. D. 2 5 5 5 2 5 或 5 25 5 2 5 时,sin α = . 5 5 5 3 ,sin(α +β )= , 5 5
2 2 2

解析 因为 α ,β 都是锐角,当 cos α = 因为 cos α = 5 1 < ,所以 α >60°. 5 2

3 3 又 sin(α +β )= < ,所以 α +β <60°或 α +β >120°. 5 2 显然 α +β <60°不可能,所以 α +β 为钝角. 3 4 又 sin(α +β )= ,因此 cos(α +β )=- , 5 5 cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α 4 5 3 2 5 -4 5+6 5 2 5 =- × + × = = ,故选 A. 5 5 5 5 25 25 答案 A 二、填空题
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?π ? 12 ? π? 6 . (2014· 山 东 滨 州 5 月 ) 已 知 cos ? -α ? = , α ∈ ?0, ? , 则 4? ?4 ? 13 ?
________.

cos 2α ?π sin? +α ?4

? ? ?



?π ? 12 解析 法一 由 cos? -α ?= , 4 ? ? 13
12 2 得 sin α +cos α = , 13 288 两边平方,得 1+2sin α cos α = , 169 119 ∴2sin α cos α = , 169

? π? 又 α ∈?0, ?,∴cos α >sin α , 4? ?
∴cos α -sin α >0, ∴cos α -sin α = (cos α -sin α ) 5 2 = 1-2sin α cos α = , 13 2 2 cos 2α cos α -sin α ∴ = π 2 2 sin( +α ) sin α + cos α 4 2 2 10 = 2(cos α -sin α )= . 13
2

?π ? 法二 sin? +α ? ?4 ? ?π ?π ?? =sin? -? -α ?? 4 2 ? ?? ? ?π ? 12 =cos? -α ?= . ?4 ? 13
π π ? π? ∵α ∈?0, ?,∴0< -α < , 4? 4 4 ?

?π ? ∴sin? -α ?= ?4 ?

1-cos ?
2

?π -α ?4

?= 5 , ? 13 ?

?π ? ∴cos 2α =sin? -2α ? ?2 ? ?π ? ?π ? 120 =2sin? -α ?cos? -α ?= , 4 4 ? ? ? ? 169
∴ cos 2α ?π sin? +α ?4 10 13 10 = . 13 ?

? ?

答案

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sin 50° 7.(2013·甘肃兰州一模) =________. 1+sin 10° 解析 1 = . 2 答案 1 2 一年创新演练 8.已知函数 y=sin(π x+φ )-2cos(π x+φ )(0<φ <π )的图象关于直线 x=1 对称,则 sin 2φ =________. 解析 因为 y=sin(π x+φ )-2cos(π x+φ )的图象关于直线 x=1 对称,所以 sin 50° 1-cos 100° 1-cos(90°+10°) 1+sin 10° = = = 1+sin 10° 2(1+sin 10°) 2(1+sin 10°) 2(1+sin 10°)
2

2

f(1+x)=f(1-x),所以得到 tan φ =- ,则 sin φ =
4 sin 2φ =- . 5 4 答案 - 5 B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题 sin 4α 9.(2015·昆明一中一模)化简 ? ?π 2?π 4sin ? +α ?tan? -α ?4 ? ?4 A.sin 2α B.cos 2α C.sin α

1 2

5 2 5 ,cos φ =- ,所以 5 5

? ? ?

的结果为(

)

D.cos α

? ?π ? 2?π 解析 4sin ? +α ?tan? -α ? ?4 ? ?4 ? ? ?π ? 2?π =4cos ? -α ?·tan? -α ? ?4 ? ?4 ? ?π ? ?π ? =4cos? -α ?sin? -α ? ?4 ? ?4 ? ?π ? =2sin? -2α ?=2cos 2α , ?2 ?
∴ sin 4α π ? ?π 2? 4sin ? +α ?tan? -α ?4 ? ?4 sin 4α = 2cos 2α ?

? ?



2sin 2α cos 2α =sin 2α . 2cos 2α

答案 A 二、解答题
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10 .(2015·广东茂名模拟 ) 已知函数 f(x) =sin 2xcos φ +cos 2xsin φ (x∈R , 0< φ < 3 ?π ? π ),f? ?= . ?4? 2 (1)求 f(x)的解析式; π? ?α π ? 5 ?π ? ? (2)若 f? - ?= ,α ∈? ,π ?,求 sin?α + ?的值. 2 3 2 4? ? ? 13 ? ? ? 解 3 ?π ? (1)由 f? ?= ,可得到 4 ? ? 2

π π 3 sin cos φ +cos sin φ = , 2 2 2 所以 cos φ = 3 π ,又∵0<φ <π ,∴φ = . 2 6

π? π π ? 所以 f(x)=sin 2xcos +cos 2xsin =sin?2x+ ?. 6? 6 6 ?

?α π ? 5 (2)由 f? - ?= 可得 ? 2 3 ? 13 ? ?α π ? π ? 5 sin?2? - ?+ ?= , ? ? 2 3 ? 6 ? 13
π? 5 ? 即 sin?α - ?= , 2 ? 13 ? 5 ?π ? 所以 cos α =- ,又 α ∈? ,π ?, 13 ?2 ? 所以 sin α = 1-cos α =
2

2 ? 5 ? 12 1-? ? = . ?13? 13

π? π π 12 2 5 2 7 2 ? sin?α + ?=sin α cos +cos α sin = × - × = . 4? 4 4 13 2 13 2 26 ? 11.(2014·浙江协作体三模)已知函数 f(x)=2cos - 3sin x. 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; π? 1 ? (2)若 α 为第二象限角,且 f?α - ?= , 3? 3 ? 求 解 cos 2α 的值. 1+cos 2α -sin 2α (1)因为 f(x)=1+cos x- 3sin x
2

x

? π? =1+2cos?x+ ?, 3? ?
所以函数 f(x)的最小正周期为 2π ,值域为[-1,3]. π? 1 ? (2)因为 f?α - ?= , 3? 3 ? 1 1 所以 1+2cos α = ,即 cos α =- . 3 3
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又因为 α 为第二象限角, 2 2 所以 sin α = . 3 cos 2α 所以 1+cos 2α -sin 2α = = cos α -sin α 2cos α -2sin α cos α
2 2 2

(cos α +sin α )(cos α -sin α ) 2cos α (cos α -sin α )

1 2 2 - + 3 3 cos α +sin α = = 2cos α ? 1? 2×?- ? ? 3? = 1-2 2 . 2

?π ? 1 12.(2014·深圳一模)已知 tan? +α ?= . 4 ? ? 2
(1)求 tan α 的值; sin 2α -cos α (2)求 的值. 1+cos 2α π tan +tan α 4 π ? ? (1)tan? +α ?= π ?4 ? 1-tan tan α 4 1+tan α . 1-tan α
2





1+tan α 1 ?π ? 1 由 tan? +α ?= ,有 = . 1-tan α 2 ?4 ? 2 1 解得 tan α =- . 3 1 (2)由(1)知 tan α =- , 3 1 得 sin α =- cos α . 3 1 2 1 2 2 2 ∴sin α = cos α ,1-cos α = cos α . 9 9 9 2 ∴cos α = . 10 4 2 于是 cos 2α =2cos α -1= , 5 2 2 3 sin 2α =2sin α cos α =- cos α =- . 3 5

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3 9 - - 2 5 10 sin 2α -cos α 5 ∴ = =- . 1+cos 2α 4 6 1+ 5 1 13 π 13.(2014·成都诊断题)已知 cos α = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < .求: 7 14 2 (1)tan 2α 的值; (2)β 的值. 解 1 π (1)由 cos α = ,0<α < , 7 2
2

得 sin α = 1-cos α =

2 ?1? 4 3. 1-? ? = 7 ?7?

sin α 4 3 7 ∴tan α = = × =4 3. cos α 7 1 2tan α 2×4 3 8 3 于是 tan 2α = = =- . 2 1-tan α 1-(4 3)2 47 π π (2)由 0<β <α < ,得 0<α -β < . 2 2 13 又∵cos(α -β )= , 14 ∴sin(α -β )= 1-cos (α -β )=
2

2 ?13? 3 3. 1-? ? = 14 ?14?

由 β =α -(α -β ),得 cos β =cos[α -(α -β )] =cos α ·cos(α -β )+sin α sin(α -β ) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π ∴β = . 3 14.(2013·东北三校联考)已知 sin(2α +β )=3sin β ,设 tan α =x,tan β =y,记 y =f(x). (1)求 f(x)的解析表达式; (2)若 α 是三角形的最小内角,试求函数 f(x)的值域. 解 (1)由 sin(2α +β )=3sin β ,

得 sin[(α +β )+α ]=3sin[(α +β )-α ], sin(α +β )cos α +cos(α +β )sin α =3sin(α +β )cos α -3cos(α +β )sin α ,
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∴sin(α +β )cos α =2cos(α +β )sin α . ∴tan(α +β )=2tan α . tan α +tan β 于是 =2tan α , 1-tan α tan β 即

x+y =2x. 1-xy x x

∴y= 2,即 f(x)= 2. 1+2x 1+2x (2)∵α 是三角形的最小内角, π ∴0<α ≤ ,即 0<x≤ 3. 3 ∴ f(x) = 1 1 ≤ 2 1 1 = ·2x 2 2 ( 当且仅当 x = 时取等号 ) ,故函数 f(x) 的值域为 4 2

x
2? ? ?0, ?. 4? ?

+2x

x

一年创新演练 15.已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 b=1,c= (1)求角 C 的取值范围; 3 . 2

? π? (2)求 4sin C·cos?C+ ?的最小值. 6? ?
解 3 2 1 3 (1)由正弦定理,得 = ,即 sin C= sin B. sin B sin C 2 3 , 2

由 0<sin B≤1,得 0<sin C≤ 又 b>c,故 C 为锐角, π 所以 0<C≤ . 3

? π? (2)4sin Ccos?C+ ? 6? ?
=4sin C? 1 ? 3 ? cos C- sin C? 2 ?2 ?
2

=2 3sin Ccos C-2sin C = 3sin 2C-(1-cos 2C) π? ? =2sin?2C+ ?-1, 6? ? π π π 5π 由 0<C≤ ,得 <2C+ ≤ , 3 6 6 6

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π? 1 ? 故 sin?2C+ ?≥ , 6? 2 ?

? π? 所以 4sin Ccos?C+ ?≥0 6? ? ?当C=π 时取到等号?, ? ? 3 ? ? ? π? 所以 4sin Ccos?C+ ?的最小值为 0. 6? ?

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