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2014年北京市朝阳区数学一模(文)-答案


李老师精品辅导系列——2014 朝阳一模(文)

读书百遍,其义自现

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案(文史类)
2014.3 一、选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 D 5 B 6 A 7 C 8 B

二、填空题 题号 答案 9 10 16 11 12 13 14 二; ?3, 4,9?

x ? ?2

2 3 ; 30?

1 ;3? 2 2

? ? 2, 2 ? ? ?

三、解答题 15. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 所以, f (0) ? ? 3 . 由? 得?

π 3

π π π ? 2kπ ≤ 2 x ? ≤ ? 2kπ , k ? Z , 2 3 2 π 5π ? kπ ≤ x ≤ ? kπ , k ? Z 12 12
? ? π 5π ? , kπ ? ? , k ? Z . 12 12 ?
……………………8 分

所以 f ( x) 的单调递增区间是 ? kπ ? (Ⅱ)因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

π , 2

π π 2π ≤ 2x ? ≤ 3 3 3 . π π ? ? ,即 x ? 0 时, f ( x) 取得最小值 ? 3 ; 3 3
……………………13 分

所以,当 2 x ? 当 2x ?

π π 5π ? 即x? 时, f ( x) 取得最大值 2 . 3 2 12

16. 解: (I)由题意可知,逻辑思维能力优秀的学生共有 (2 ? a) 人. 设事件 A :从 20 位学生中随机抽取一位,逻辑思维能力优秀的学生, 则 P( A) ?

2?a 1 ? . 20 5

解得 a ? 2 .
第 1 页 共 5 页

李老师精品辅导系列——2014 朝阳一模(文) 读书百遍,其义自现 所以 b ? 4 . ……………………………………………………5 分 (Ⅱ)由题意可知,运动协调能力为优秀的学生共有 6 位,分别记为

M1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 .其中 M 5 和 M 6 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.
从中任意抽取 2 位,可表示为 M1M 2 , M1M 3 , M1M 4 , M1M 5 , M1M 6 , M 2 M 3 , M 2 M 4 ,

M 2 M 5 , M 2 M 6 , M 3 M 4 , M 3 M 5 , M 3 M 6 , M 4 M 5 , M 4 M 6 , M 5 M 6 ,共 15 种可能.
设事件 B :从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 2 位,其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生. 事件 B 包括 M1 M 5, M1 M 6 , M 2 M 5 , M 2 M 6 , M 3 M 5 , M 3 M 6 , M 4 M 5 , M 4 M 6 , M 5 M 6 ,共 9 种可能.所以

P( B) ?

9 3 ? . 15 5 3 . ……………………………13 分 5

所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为

17. 解:(Ⅰ)依题意, 因为四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 底面 ABCD , 所以 BB1 ? 底面 A1 B1C1 D1 . 又 A1C1 ? 底面 A1 B1C1 D1 , 所以 BB1 ? A1C1 . 因为 A1 B1C1 D1 为菱形, 所以 A1C1 ? B1D1 .而 BB1 ? B1 D1 ? B1 , 所以 A1C1 ? 平面 B1 BDD1 . ………………4 分 (Ⅱ)连接 AC ,交 BD 于点 E ,连接 C1 E . 依题意, AA1 ∥ CC1 , 且 AA1 ? CC1 , AA1 ? AC , 所以 A1 ACC1 为矩形. 所以 OC1 ∥ AE . 又 OC1 ? A D E B A1 D1 O B1 M C C1

1 1 A1C1 , AE ? AC , A1C1 ? AC , 2 2

所以 OC1 = AE ,所以 AOC1E 为平行四边形, 则 AO ∥ C1 E . 又 AO ? 平面 BC1 D , C1 E ? 平面 BC1 D , 所以 AO ∥平面 BC 1 D . ……………………………………………………………9 分

(Ⅲ)在 ?BC1 D 内,满足 OM ? B1 D1 的点 M 的轨迹是线段 C1 E ,包括端点. 分析如下:连接 OE ,则 BD ? OE .
第 2 页 共 5 页

李老师精品辅导系列——2014 朝阳一模(文) 由于 BD ∥ B1 D1 ,故欲使 OM ? B1 D1 ,只需 OM ? BD ,从而需 ME ? BD . 又在 ?BC1 D 中, C1 D ? C1 B ,又 E 为 BD 中点,所以 BD ? C1 E . 故 M 点一定在线段 C1 E 上. 当 OM ? C1 E 时, OM 取最小值. 在直角三角形 OC1 E 中, OE ? 1 , OC1 ? 所以 OM min ?

读书百遍,其义自现

3 7 , C1 E ? , 2 2
…………………………………………………………………14 分

OC1 ? OE 21 ? . C1 E 7

18.解:(I) f ?( x) ? 又 f (e) ? 1 ,

1 1 ,则函数 f ( x) 在 x ? e 处的切线的斜率为 k ? . x e

所以函数 f ( x) 在 x ? e 处的切线方程为 y ? 1 ? (Ⅱ) F ( x) ? ln x ? ax ? 1 , F ?( x) ?

1 1 ( x ? e) ,即 y ? x e e

………………4 分

1 1 ? ax ?a ? , ( x ? 0 ). x x

①当 a ≤ 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增; ②当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ?

1 1 ;令 F ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . a a

综上所述,当 a ≤ 0 时,函数 F ( x) 的增区间是 (0, ??) ; 当 a ? 0 时,函数 F ( x) 的增区间是 (0, ) ,减区间是 ( , ??) . ………………9 分

1 a

1 a

(Ⅲ)依题意,函数 F ( x) 没有零点,即 F ( x) ? ln x ? ax ? 1 ? 0 无解. 由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时,函数 F ( x) 在区间 (0, ) 上为增函数,区间 ( , ??) 上为减函数, 由于 F (1) ? ?a ? 1 ? 0 ,只需 F ( ) ? ln 解得 a ? e?2 . 所以实数 a 的取值范围为 (

1 a

1 a

1 a

1 1 ? a ? ? 1 ? ? ln a ? 2 ? 0 , a a

1 , ??) . …………………………………………………13 分 e2

? a 2 ? b 2 =3, ? 19. 解: (Ⅰ)由题意得 ? 1 解得 a =2 , b ? 1. 3 ? 2 ? 2 ? 1, 4b ?a

x2 ? y2 ? 1 . 所以椭圆 C 的方程是 4

……………………………………4 分

第 3 页 共 5 页

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? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 (Ⅱ)由 ? x 2 得 (1 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ? 4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 4 , , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

?2k . 1 ? 4k 2
4k 2 ?k , ), 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
?k 1 4k 2 ? ? ( x ? ). 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2

所以线段 AB 的中点坐标为 (

所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

于是,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 Q ( 所以 PQ ? 1 ?

3k 2 , 0) ,又点 P(1,0) , 1 ? 4k 2

3k 2 1? k 2 ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

又 AB ?

4 (1 ? k 2 )(1 ? 3k 2 ) 8k 2 2 4k 2 ? 4 (1 ? k 2 )[( ) ? 4 ? ] ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

4 (1 ? k 2 )(1 ? 3k 2 ) 2 | AB | 1 ? 3k 2 2 1 ? 4 k ? ?4 ? 4 3? 于是, . 2 2 1? k | PQ | 1? k 1? k 2 1 ? 4k 2
因为 k ? 0 ,所以 1 ? 3 ? 所以

2 ?3. 1? k 2
………………………………14 分

| AB | 的取值范围为 (4, 4 3) . | PQ |

20. 解:记 {an } 的 a1 ? b1 ? a , {an } 公差为 d , {bn } 公比为 q ,由 d ? 0 ,得 q ? 1 (Ⅰ) b3 ? b1q ? 0 , a2 ?
2

a1 ? a3 b1 ? b3 2 , b2 ? b1b3 , b2 ? ? b1b3 , ? 2 2

当 b2 ? ? b1b3 时,显然 a2 ? b2 ; 当 b2 ? b1b3 时,由平均值不等式

b1 ? b3 ≥ b1b3 ,当且仅当 b1 ? b3 时取等号,而 b1 ? b3 ,所以 2

b1 ? b3 ? b1b3 即 a2 ? b2 . 2
综上所述, a2 ? b2 . ………………………………………………………5 分
3 3

( Ⅱ )( ⅰ ) 因 为 a2 ? b2 , a4 ? b4 , 所 以 a ? d ? aq, a ? 3d ? aq , 得 q ? 1 ? 3(q ? 1), 所 以
第 4 页 共 5 页

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q ? q ? 1 ? 3, q ? 1 或 q ? ?2 .因为 q ? 1 ,所以 q ? ?2 , d ? a(q ? 1) ? ?3a .
2

令 ak ? b10 ,即 a1 ? (k ? 1)d ? b1q , a ? 3(k ? 1)a ? a(?2) , k ? 172 ,所以 b10 是 {an } 中的一项.
9

9

(ⅱ)假设 bm ? ak ,则 a1 ? (k ? 1)d ? b1q

m ?1

, a ? 3(k ? 1)a ? a(?2) m?1 , 4 ? 3k ? (?2)

m ?1

当 m ? 1, 或 m ? 2n , ( n ? N? )时, k ? N? . 正整数 m 的集合是 m m = 1 或 m = 2n, n ? N

?

?

?.

…………………………13 分

第 5 页 共 5 页



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