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江西省丰城中学等五校2014-2015学年高二下学期期末联考数学(理)试


★启用前绝密(2015 年 6 月 26 日)

6

2016 届江西省

丰城中学 高安中学 高安二中

高二下学期期末联合考试

数学试题卷(理科) 宜春中学 樟树中学 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合

题目要求的. 1.设复数 z 为纯虚数,若 (3 ? i ) z ? a ? i ( i 为虚数单位),则实数 a 的值是( )
A .

1 3

B . ?

1 3
?1

C . 3

D. ?3

2.下列函数中,满足 f ? xy ? ? f ? x ? f ? y ? 的单调递增函数是( ) A. f ? x ? ? log 2 x B. f ? x ? ? ? x C. f ? x ? ? x
3

D. f ? x ? ? 2

x

3.下左图,是表示王珊早晨离开家以匀速边走边背诵英语的过程中,离家距离 y 与行走时间 x 之间函数关系的图像.若用黑点表示王珊家的位置,则王珊走的路线可能是( )

A
n

B

C

D

? 1 ? 1 n 4.如果 ? 3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 8 ,则 ? 0 x dx 的值是( ) 3 2 x ? ? 1 1 1 A. B. C. D. 1 8 4 2
5.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

第 5 题图

A. 7

B. 9

C. 10

D. 11

2
主视图 左视图

6.右图为一个几何体的三视图,其主、左视图均为等腰直角 三角形,俯视图的外轮廓是正方形(尺寸如图) ,则该几何 体的外接球的表面积为( A. 4? B. 8? ) C. 12? D. 16?

2

第 6 题图

7. 已知等差数列 ?a n ? , S n 是其前 n 项的和,若 S3 ? 2a3 ,则 A. 2015 B. 2016

2 S 2015 俯视图 ) 的值为( a2015

C. 1024 D. 1008 uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r y 8. ?ABC 中,若 BD ? 2 DC ,且 AD ? x AB ? y AC ,则 的值为( ) x 1 1 A. 3 B. 2 C. D. 2 3

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

D

C

A

B

9.将 5 名同学分入甲、乙、丙 3 个不同的小组,若甲组至少两人, 乙、丙组各至少一人,则不同分配方案的种数为( ) A.180 B.120 C.80 D.60 10.如右图,平行四边形的顶点 A 位于双曲线的中心,顶点 B 位于 该双曲线的右焦点, ?ABC 为 60 0 ,顶点 D 恰在该双曲线的左 支上,若 AB ? AC ? 0 ,则此双曲线的离心率是( ) A. 5 B.

5 ?1 2

C.

7? 3 2

D.

11.若实数 x 、 y 满足 sin x ? 3 cos x ? y ? 0, ? 最小值是( ) A. ?

2? ? ? x ? ,则目标函数 z ? x ? y 的 3 3
D. ?

5 2

第 10 题图

2? 3

B. ?2

C. ?

3 3 2

?
3

? 3

12.设函数 f ( x) ? x 2 ln x, g ( x) ?

x 2 ,若存在 x1 ? [e, e ] , x 2 ? [1, 2] ,使得 x e 3 2 ,则正实数 k 的取值范围是( ) e (k ? 2) g ( x 2 ) ? kf ( x1 ) 成立(其中 e 为自然对数的底数)
A .k ? 2 B .0 ? k ? 2 C. k ?

e3 ? e6 ? 8 2

D. 0 ? k ?

e3 ? e6 ? 8 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a, b, c ,已知 A ? 则角 C 的大小是 (弧度)
2

?
6

, a ? b cos C ,

14 实数 x 、 y 满足 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,则 y ? x 的概率为_________. 15.设 P 是抛物线 y ?

1 2 x ? 3 上横坐标非负的一个动点,过 P 引圆 x 2 ? y 2 ? 2 的两条切 4 线,切点分别为 T1 、 T2 , 当 T1T2 最小时,直线 T1T2 的方程是 .

2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ≤ 0 16.已知函数 f ( x) ? ? ,直线 y ? k 与函数 f ( x) 的图像相交于四个不同 ? ? 2 ? ln x , x ? 0 的点,交点的横坐标依次记为 a , b , c , d ,则 abcd 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 如图,从宾馆 A 到火车站 B 有 A ? C ? B 、 A ? D ? B 两条路线. 出租车司机准备开车 从宾馆送某旅客到火车站,若各路段发生堵车与否是相互独立的,且各路段发生堵车事件 的概率如图所示(例如 A ? C ? B 算作两个路段;路段 AC 发生堵车事件的概率为 段 CB 发生堵车事件的概率为

1 ,路 10

1 ). 8
A

⑴ 请你为该出租车司机选择一条由 A 到 B 的路线, 使得途中发生堵车事件的概率较小; ⑵ 若记路线 A ? C ? B 中遇到堵车路段的个数为 ? , 求 ? 的分布列及 E? .

1 10 1 12

C

1 8
B
1 5

D

第 17 题图 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 1?是首项为 2 、公比为 2 的等比数列, S n 是数列 ?a n ? 的前 n 项和. ⑴求 a n 及 S n ; ⑵记 bn ?

an ? 1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an ?1
P

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面是直角梯形, AD ∥ BC , AB ? AD , PA ? 底面 ABCD , PA ? AD ? 4 , AB ? 1 , BC ? 2 ,过 A 作 AM ? PC 交 PC 于 M . ⑴ 判断 AM 与平面 PCD 是否垂直,并说明理由; A ⑵ AM 与平面 PBC 所成的角是否大于 300 ?请说明理由.

M D

B

C
第 19 题图

20.(本小题满分 12 分) 椭圆 C 的中心在原点、焦点在 x 轴上,椭圆 C 的两个焦点及短轴的两个端点恰是一个面 积为 8 的正方形的四个顶点. ⑴ 求椭圆 C 的方程; ⑵ 设直线 y ? kx ? b 与椭圆 C 恒有两个横坐标不同的交点 A 、 B , ①写出满足上述要求的充要条件(用含 k 、 b 的式子表示) ; ②若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P ( x 0 ,0) ,求 x 0 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x , g ( x) ?

像都相切,且与函数 f ? x ? 的图像的切点的横坐标为 1 .

1 2 7 x ? mx ? ( m ? 0 ) ,直线 l 与函数 f ? x ? 、 g ? x ? 的图 2 2

(1)求直线 l 的方程及 m 的值; (2)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x) 是 g ( x) 的导函数) ,求函数 h( x) 的最大值; (3)当 0 ? b ? a 时,求证: f (a ? b) ? f (2a ) ?

b?a . 2a

四、选做题 请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分. (本题 10 分. 解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤.) 22.选修 4—1:几何证明选讲 如图, e O 和 e O? 相交于 A 、 B 两点,过 A 作两圆的切 线分别交两圆于 C ,D 两点,连结 DB 并延长交于 e O 点 E . 证明:⑴ AC ? BD ? AD ? AB ;⑵ AC =AE .

第 22 题图 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 ,直线 l : x ? 8 ,以原点 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系, ⑴ 求圆 C 与直线 l 的极坐标方程; ⑵ 已知 P 是 l 上一动点,线段 OP 交圆 C 于点 R , 又点 Q 在 OP 上且满足 OQ ? OP ? OR .当点 P 在 l 上 移动时,求点 Q 在直角坐标系下的轨迹方程.
2

y

P

Q

R

o
第 23 题图

x

24.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | .
2 ⑴ 求 f ? x ? 的值域; ⑵ 求不等式: f ( x) ? x ? 3 x ? 1 的解集.

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