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【全程复习方略】(山东专用)2014版高考数学 第八章 第八节 抛物线课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第八章 第八节 抛物线课时提 升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 2 2 2 1.(2013·海口模拟)若抛物线 y =2px(p>0)的焦点在圆 x +y +2x-3=0 上,则 p=( (A) )

1 2
2

(B)1

(C)2<

br />
(D)3

2.设抛物线 y =8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 2 3.(2013·贵阳模拟)一个正三角形的三个顶点都在抛物线 y =4x 上,其中一个顶点在原点,则这个三角形 的面积是( )

? A ? 48

3????????????? B? 24 3???????????????? C ?
2

16 3 16 3 ??????????????????? D ? 7 9

4.已知抛物线 y =2px(p>0)上的一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值为( a

)

?A?

1 9

? B?
)

1 4

? C?

1 3

? D?

1 2
2

5.(2013· 枣庄模拟)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和 l2 的距离 之和的最小值为(

?A?

11 5

? B? 3

?C? 2
2

?D?

37 16

6.(2013·哈尔滨模拟)直线 y=x-3 与抛物线 y =4x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作垂线, 垂足分别为 P,Q,则梯形 APQB 的面积为( ) (A)48 (B)56 (C)64 (D)72 7.(2013·西安模拟)若双曲线

1 2 x 2 y2 y ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,线段 F1F2 被抛物线 x ? 2 2b a b
)

的焦点分成 3∶2 的两段,则此双曲线的离心率为(

?A?

9 8

? B?

6 37 37

?C ?

5 3 3

?D?

5 21 21

8.(能力挑战题)已知 M 是 y ?

1 2 x 上一点,F 为抛物线的焦点.A 在 C:(x-1)2+(y-4)2=1 上,则|MA|+|MF|的 4

最小值为( ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)10 二、填空题 2 9.以抛物线 x =16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为_______. 10.抛物线 y ?

1 2 y2 x 2 x 的焦点与双曲线 ? ? 1 的上焦点重合,则 m=_______. 16 3 m
-1-

11.(能力挑战题)如图,抛物线 C1:y =4x 和圆 C2:(x-1) +y =1,直线 l 经过 C1 的焦点 F,依次交 C1,C2 于 A,B,C,D 四点,则 AB CD 的值是_______.

2

2

2

三、解答题 12.已知直线 y=-2 上有一个动点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足 OP⊥OQ(O 为坐 标原点),记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程. (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线,当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时,求直线 l2 的方程. 2 13.(2013·烟台模拟)已知抛物线 C:y =2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离 等于

5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

x 2 y2 ? 1 的焦点在 x 轴上,左右顶点分别为 A1,A,上顶点为 B, 14.(2013·武汉模拟)如图,椭圆 C: 2 ? a 2
抛物线 C1,C2 分别以 A,B 为焦点,其顶点均为坐标原点 O,C1 与 C2 相交于直线 y ? 2x 上一点 P.

-2-

(1)求椭圆 C 及抛物线 C1,C2 的方程. (2)若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交于不同两点 M,N,已知点 Q ? 2, 0 , 求 QM QN 的最小值.

?

?

答案解析 1.【解析】选 C.由已知(

p 2 2 ,0)在圆 x +y +2x-3=0 上, 2

所以有
2

p2 p ? 2 ? ? 3 ? 0, 4 2

即 p +4p-12=0,解得 p=2 或 p=-6(舍去). 2.【解析】选 B.∵点 P 到 y 轴的距离是 4,延长使得和准线相交于点 Q,则|PQ|等于点 P 到焦点的距离, 而|PQ|=6,所以点 P 到该抛物线焦点的距离为 6. 【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧 抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可 联想点到准线的距离;(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意. 3.【解析】选 A.如图,设 AB 所在的直线方程为 y ?

3 x, 3

-3-

? 3 x, ?y ? 由? 3 ? y 2 ? 4x, ?
得 B 点坐标为(12, 4 3 ),

?S

1 ? 2 ? ?12 ? 4 3 ? 48 3. 2 p 4.【解析】选 A.由已知得 1+ =5,∴p=8. 2
ABC

? 2S

ABD

∴y =16x,又 M(1,m)在 y =16x 上, 2 ∴m =16(m>0),∴m=4,∴M(1,4). 又双曲线

2

2

x2 1 a ? y 2 ? 1的左顶点 A ? a , 0 , 一条渐近线为 y ? x? x. a a a

?

?

又 k AM ?

a 4 a 1 ,? ? , 解得a ? . a a 9 1? a

5. 【解析】 选 C.如图, 设抛物线上点 P, 则 P 到 x=-1 的距离与|PF|相等, 故距离之和最小值为 F 到 4x-3y+6=0 的距离, d ?

4?0?6 4 ? ? ?3?
2 2

? 2.

6.【解析】选 A.由题不妨设 A 在第一象限,联立 y=x-3 和 y =4x 可得 A(9,6),B(1,-2),而准线方程是 x=-1,所以 AP=10,QB=2,PQ=8, 故 S 梯形 APQB=

2

1 (AP+QB)·PQ=48. 2

7.【解析】选 D.由已知得 F1(-c,0),F2(c,0), 抛物线 x ?

1 2 b 2 y, 即 y =2bx 的焦点 F( , 0), 2b 2
-4-

依题意

3 ? . FF2 2

FF 1

b ?c 3 即2 ? , 得:5b=2c? 25b2=4c2, b 2 c? 2
又 b =c -a ,∴25(c -a )=4c , 解得 c ?
2 2 2 2 2 2

5 21 a. 21 c 5 21 ? . a 21

故双曲线的离心率为

8.【思路点拨】利用抛物线的定义,数形结合求解. 【解析】选 B.由题意可知,焦点坐标为 F(0,1),准线方程为 l:y=-1.过点 M 作 MH⊥l 于点 H,由抛物线的 定义,得|MF|=|MH|.∴|MA|+|MF|=|MH|+|MA|,当 C,M,H,A 四点共线时,|MA|=|MC|-1,|MH|+|MC|有最小值, 于是,|MA|+|MF|的最小值为 4-(-1)-1=4. 2 9.【解析】抛物线 x =16y 的焦点为(0,4),准线方程为 y=-4,故圆的圆心为 2 2 (0,4),又圆与抛物线的准线相切,所以圆的半径 r=4-(-4)=8,所以圆的方程为 x +(y-4) =64. 2 2 答案:x +(y-4) =64 10.【解析】因为抛物线 y ?

1 2 y2 x 2 x 的标准方程为 x2=16y,焦点坐标为(0,4),又因为双曲线 ? ? 1的 16 3 m

上焦点坐标为 0, 3 ? m , 依题意有 4 ? 3 ? m, 解得 m=13. 答案:13 【误区警示】本题易出现 y ?

?

?

1 2 1 x 的焦点为(0, )的错误,原因是对抛物线的标准方程记忆不准确. 16 64

11.【解析】由于抛物线 C1 的焦点 F 也是圆 C2 的圆心(1,0), 则 AB ? AF ? 1 ? x A ,

CD ? DF ? 1 ? x D , ? AB CD ? x A x D ? p2 ? 1, 4

? AB CD ? AB CD ? 1.
答案:1 12.【解析】(1)设点 P 的坐标为(x,y),则点 Q 的坐标为(x,-2). ∵OP⊥OQ,∴当 x=0 时,P,O,Q 三点共线,不符合题意,故 x≠0.当 x≠0 时,得 kOP·kOQ=-1,即 化简得 x =2y, 2 ∴曲线 C 的方程为 x =2y(x≠0). (2)∵直线 l2 与曲线 C 相切,∴直线 l2 的斜率存在.
-52

y ?2 ? ?1 , x x

设直线 l2 的方程为 y=kx+b, 由?

? y ? kx ? b, ? x ? 2y,
2

得 x -2kx-2b=0.

2

∵直线 l2 与曲线 C 相切,

k2 ∴Δ =4k +8b=0,即 b ? ? . 2
2

点(0,2)到直线 l2 的距离 d ?

?2 ? b k2 ?1

?

1 k2 ? 4 2 k2 ?1

?

1 3 ( k2 ?1 ? ) 2 k2 ?1 k2 ?1 3 k2 ?1

1 ? ?2 2 ? 3.

当且仅当 k ? 1 ?
2

3 k2 ?1

, 即k ? ? 2 时,等号成立.此时 b=-1.

∴直线 l2 的方程为 2 x-y-1=0 或 2 x+y+1=0. 13.【解析】(1)将(1,-2)代入 y =2px,得(-2) =2p×1, 2 所以 p=2.故所求的抛物线 C 的方程为 y =4x,其准线方程为 x=-1. (2)存在.假设存在符合题意的直线 l, 其方程为 y=-2x+t. 由?
2 2

? y ? ?2x ? t, ? y ? 4x,
2

得 y +2y-2t=0.

2

∵直线 l 与抛物线 C 有公共点, ∴Δ =4+8t≥0,解得 t ? ? . 由直线 OA 与 l 的距离 d ? 解得 t=±1. ∵-1?[ ?

1 2

t 5 1 ,可得 ? , 5 5 5

1 1 , +∞),1∈[ ? , +∞). 2 2
2 2

∴符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. 14.【解析】(1)由题意 A(a,0),B(0, 2 ),设抛物线 C1 的方程为 y =4ax,抛物线 C2 的方程为 x = 4 2 y,由

? y 2 ? 4ax, ? ? 2 ? x ? 4 2y ? a ? 4, P(8, 8 2 ), ? ? ? y ? 2x,
-6-

∴椭圆 C:

x 2 y2 ? ? 1. 16 2
2

抛物线 C1:y =16x, 抛物线 C2:x =4 2 y.
2

(2)由(1)得直线 OP 的斜率为 2 , ∴直线 l 的斜率 k ? ?

2 , 2

设直线 l:y= ?

2 x+b, 2

? x 2 y2 ? ? 1, ? ? 16 2 由? 消去 y,得 2 ?y ? ? x ? b, ? ? 2
5x - 8 2 bx+8b -16=0.
2 2

∵动直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点, 2 2 ∴Δ =128b -20(8b -16)>0.

?? 10 ? b ? 10.
设 M(x1,y1),N(x2,y2),

8b2 ? 16 8 2b . ∴x1+x2= , x1x2= 5 5

2 2 x1 ? b)( ? x 2 ? b) 2 2 1 2b b2 ? 8 ? x1 x 2 ? . ? x1 ? x 2 ? ? b 2 ? 2 2 5 y1 y 2 ? (?

QM ? x1 ? 2, y1 , QN ? x 2 ? 2, y 2 , ? QM QN ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ? y1 y 2 ? x1x 2 ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? y1y 2 ? 9b 2 ? 16b ? 14 , 5

?

?

?

??

?

?

?

? 10 ? b ? 10,
∴当 b ? ?

8 9 8 2 16 8 14 38 ?? . 时, QM QN 取得最小值,其最小值为 ? (? ) ? ? (? ) ? 9 5 9 5 9 5 9

-7-


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