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必修2红对勾4-1-33


红对勾系列丛书

第四章 圆与方程

第四章 圆与方程

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4.1 第33课时

圆的方程 圆的一般方程

4.1 第33课时

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1.会用待定系数法求圆的一般方程.

/>2.会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化.
3.通过对含参数的二元二次方程的研究,探索二元 二次方程表示圆的充要条件. 4.通过本节学习,初步体会求动点轨迹的方法和方 程的思想.
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一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 圆 x2+ y2- 2x+ 6y+8= 0 的周长等于( A. 2π C. 2 2π
答案:C

)

B. 2π D.4π

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2.若圆 x2+ y2- 2x- 4y= 0 的圆心到直线 x 2 - y+ a= 0 的距离为 ,则 a 的值为 ( 2 A.- 2 或 2 C. 2 或 0
答案:C

)

1 3 B. 或 2 2 D.- 2 或 0

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3 .已知两定点 A( - 2,0) 、 B(1,0) ,如果动点 P 满足 |PA| = 2|PB| ,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于

(

)
A.π C.8π 答案:B B.4π D.9π

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4.若点 (a+ 1, a- 1)在圆 x2+ y2- 2ay- 4= 0 的内部 (不包括边界),则 a 的取值范围是( A. 1< a 1 C. a< 5
答案:D

)

B. 0< a< 1 D. a< 1

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5.圆的方程是 x2+y2+ kx+ 2y+k2= 0,当圆的面 积最大时,圆心的坐标是( )

A.(-1,1)
C.(-1,0)

B.(1,-1)
D.(0,-1)

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解析: 圆面积 最大,则半径最大.由 r = k2+ 4- 4k2 - 3k2+ 4 = ≤ 1,当且仅当 k= 0 时, 2 2 r 取最大值, 故此时圆的方程为 x2+ y2+ 2y= 0, 圆 心 (0,- 1).
答案:D

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6 .过坐标原点,且在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 2 和3的圆的方程为( )

A.x2+y2-2x-3y=0
B.x2+y2+2x-3y=0 C.x2+y2-2x+3y=0 D.x2+y2+2x+3y=0

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解析: 设圆的方程为 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F= 0(D2+ E2- 4F>0), 由题意知圆过 (0,0), (2,0)和(0,3)点. ?F= 0 ? 2 ∴?2 + 2D+ F= 0, ?32+ 3E+ F= 0 ? ?F= 0 ? ,解得?D=- 2. ? E=- 3 ?

∴方程为 x2+ y2- 2x- 3y= 0.
答案:A

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二、填空题(每小题5分,共15分) 7 .圆心为 (2 ,- 4) ,半径为 4 的圆的一般方程为

________.
解析: 圆心为 (2 ,- 4) ,半径为 4 的圆的标准方程 为(x-2)2+(y+4)2=16,展开得 x2+y2-4x+8y+4=0,即为一般式方程. 答案:x2+y2-4x+8y+4=0

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8.点A(1,0)在圆x2+y2-2ax+a2+3a-3=0上,

则a的值为________.

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解析: ∵ A 在圆上,∴ a 应满足的条件为
2 2 2 ? ?1 + 0 - 2a+ a + 3a- 3= 0 ? 2 2 ? ? - 2 a ? - 4 ? a + 3a- 3?> 0 ?



?a2+ a- 2= 0 ? 即? ? ?3a- 3< 0



?a= 1或 a=- 2 ? 解得? ? ?a< 1

,∴ a=- 2.

答案:-2

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9.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示圆:①关于直线 y = x对称;②关于直线 x+ y = 0对称;③其圆心在 x 轴 上,且过原点;④其圆心在y轴上,且过原点.

其中叙述正确的是__________.
答案:②

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三、解答题(共45分) 10 . ( 本小题 15 分 ) 已知△ ABC 三个顶点的坐标为

A(1,3),B(-1,-1),C(-3,5),求这个三角形外接圆
的方程.

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解:方法 1:设所求圆的方程为 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F= 0(D2+ E2- 4F> 0) ∵此圆过 A、 B、 C 三点, ?12+ 32+ D+ 3E+ F= 0 ? 2 2 ∴??- 1? +?- 1? - D- E+ F= 0 ??- 3?2+ 52- 3D+ 5E+ F= 0 ?



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?D= 4 ? 解得?E=- 4 ? F=- 2 ?



∴圆的方程为 x2+ y2+ 4x- 4y- 2= 0.

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方法 2:设圆的方程为 (x- a)2+ (y- b)2= r2, ?? 1- a?2+? 3- b?2= r2 ① ? 2 2 2 ? - 1 - a ? + ? - 1 - b ? = r ② 则? ??- 3- a?2+? 5- b?2= r2 ③ ?

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?a+ 2b- 2= 0 ? ②-①、③-①得? ? ?2a- b+ 6= 0



解得 a=-2, b= 2. ∴ r2= 10. ∴圆的方程为 (x+ 2)2+(y- 2)2= 10.

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1 方法 3: AB 的中垂线方程为 y- 1=- (x- 0), 2 1 BC 的中垂线方程为 y- 2= (x+ 2), 联立解得圆心 3 坐标为 (- 2,2). 设圆的半径为 r, 则 r2= (1+ 2)2+ (3- 2)2= 10, ∴圆的方程为 (x+ 2)2+(y- 2)2= 10.

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- 1- 3 方法 4:由于 kAB= = 2, - 1- 1 5- 3 1 kAC= =- , 2 - 3-1 ∴ kAB· kAC=- 1, ∴ AB⊥ AC, ∴△ ABC 是以 A 为直角的直角三角形,

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∴外接圆圆心为 BC 的中点,即(- 2,2), 1 半径 r= |BC|= 10, 2 ∴圆的方程为 (x+ 2)2+(y- 2)2= 10.

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11.(本小题15分)如图1所示,经过圆x2+y2=4上 任一点P作x轴的垂线,垂足为Q,求线段PQ中点M的

轨迹方程.

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图1

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解:设 PQ 中点 M 的坐标为(x, y), ∵ PQ⊥ x 轴且 Q 为垂足, ∴ Q(x,0),可设 P(x, b). ∵ M 为 PQ 中点, b+ 0 ∴ y= ,∴ b= 2y. 2 ∴ P(x,2y)在圆 x2+ y2= 4 上, ∴ x2+(2y)2= 4, 即 x2+ 4y2= 4 为线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.
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12.(本小题15分)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0. 问:是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB

为直径的圆过原点?若存在,写出直线方程;若不存
在,说明理由.

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解:假设存在这样的直线 l: y=x+ m 满足题 设的要求,设 A(x1,y1),B(x2,y2).由于以 AB 为 直径的圆过原点, ∴ OA⊥ OB? x1x2+ y1y2= 0? x1x2+ (x1+ m)(x2 + m)= 0? 2x1x2+ m(x1+x2)+ m2=0. ①

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将直线 l: y= x+ m 代入圆 C: x2+ y2- 2x+ 4y- 4= 0,
2 m 得: x2+(m+ 1)x+ + 2m- 2=0. 2

?x1+ x2=-? m+ 1?, ? ? m2 x1x2= + 2m- 2 ? 2 ?



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2 m 其中 Δ=(m+ 1)2- 4( +2m- 2)> 0, 2

∴- 3 2- 3< m<3 2- 3. 将②代入①,得 m2+ 3m- 4= 0, 解得 m=- 4 或 m= 1,适合 Δ>0. ∴存在符合题意的直线 l,其方程为 y= x- 4 或 y= x+ 1.

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