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2016届二轮 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用 专题训练(全国通用)


曲线与方程、圆锥曲线的综合应用
一、选择题
1.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T5)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为,E 的右焦点与抛 物线 C:y2=8x 的焦点重合,点 A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 A.3 B.6 C.9 D.12 = ( )

?c ? 2 x2 y2 ? 【解析】选 B.设椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,依题意得 ? c 1 ,解得 a=4,由 a b ? ? ?a 2
b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,因为抛物线 C:y2=8x 的准线为 x=-2,将 x=-2 16 12
=6.

代入到

x2 y2 ? ? 1 ,解得 A(-2,3),B(-2,-3),故 16 12

x2 y 2 2. (2015·重庆高考理科·T10)设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,右顶 a b
点为 A,过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线 交于点 D,若 D 到直线 BC 的距离小于 a ? a ? b 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
2 2

( A



? ?1,0? ? (0,1)

B

? ??, ?1? ? (1, ??)

C.

??

2, 0 ? (0, 2)

?

D. ??, ? 2 ? ( 2, ??) 【解题指南】 解答本题首先根据条件求出交点 D 的坐标, 然后利用距离小于 a ? a ? b 求
2 2

?

?

解渐近线斜率的取值范围. 【解析】选 A.由题意知 F (c,0), A(a,0) ,其中 c ? a ? b
2 2

?x ? c b2 b2 ? 联立 ? x 2 y 2 ,可解得 B(c, ), C (c, ? ) a a ? 2 ? 2 ?1 b ?a

k AC

b2 b2 ? c?a c?a ? a ?? , k AB ? a ? c?a a c?a a

第 1 页 共 7 页

所以 AC 的垂线 BD 的斜率为 k BD ?

b2 a a ? ( x ? c) ,直线方程为 y ? c?a a c?a

AB 的垂线 CD 的斜率为 kCD ? ?

b2 a a ?? ( x ? c) ,直线方程为 y ? c?a a c?a

? b2 a y? ? ( x ? c) ? b 2 (a ? c) ? a c?a D ( c ? , 0) 联立 ? ,解得 2 2 a b a ?y ? ? ? ( x ? c) ? a c?a ?
D (c ? b 2 (a ? c) b 2 (a ? c) ? a ? a 2 ? b2 ? a ? c , 0) 到直线 BC : 的距离 x ? c 2 2 a a
b b ? 1 ,又双曲线的渐近线为 y ? ? x ,所以该双曲线的渐近线斜率 a a

解得 b ? a ,所以 0 ?

的取值范围是 ? ?1,0? ? (0,1) .

二、填空题
3.(2015·山东高考理科·T15)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的渐 a 2 b2

近线与抛物线 C2:x2=2py(p>0) 交于点 O,A,B, 若△ OAB 的垂心为 C2 的焦点 ,则 C1 的离心率 为 .

【解题指南】本题是双曲线与抛物线性质的综合应用,应从焦点和垂心出发构造 a,b,c 和 p 的 关系,进而求出离心率 e. 【解析】由对称性知△ OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形 ,注意到双曲线的渐近线方程为

b p b b b x ,抛物线的焦点 F (0, ) ,设点 A(m, m), B (?m, m) ,则 m 2 ? 2 p ? m ,由 a 2 a a a b p m? 2 ? b ? ?1 , 消 去 m 得 ?OAB 的 垂 心 为 F , 得 kO A ?k B ?F ?1 , a ?m a y??

b2 5 c2 9 c 3 b 2 pb p 2 pb ? ? ? ? 2p, ,即 2 ? ,所以 2 ? ,故 e ? ? . a a 2 b a 2 a 4 a 4
答案:

3 2

4.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T14)一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正 半轴上,则该圆的标准方程为
第 2 页 共 7 页

.

【解题指南】设出圆的方程为(x-a)2+y2=r2,然后由两点间距离公式求解. 【解析】设圆心为 (a,0), 则圆的方程为 (x-a)2+y2=r2, 依题意得

a 2 ? 2 2 ? ( 4 ? a ) 2 ,解得

3 , 2 25 3 2 25 2 r2 ? ,所以圆的方程为 ( x ? ) ? y ? . 4 2 4 3 2 25 2 答案: ( x ? ) ? y ? 2 4 a?
[

三、解答题
5.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T20)(12 分)已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0),直线 l 不过原点 O 且 不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (2)若 l 过点( ,m),延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由. 【解题指南】 (1)将直线 y=kx+b(k≠0,b≠0)与椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0)联立,结合根与系数的关系 及中点坐标公式证明.(2)由四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分 求解证明. 【解析】(1)设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2 得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故 xM ?

x1 ? x2 ? kb ? 2 , 2 k ?9

yM ? k M ? b ?

9b . k ?9
2

于是直线 OM 的斜率 kOM ?

yM 9 ?? xM k

即 kOM·k=-9,所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的积是定值. (2)四边形 OAPB 能为平行四边形. 因为直线 l 过点( ,m),所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k>0,k≠3. 由(1)得 OM 的方程为 y=-x. 设点 P 的横坐标为 xp.

9 ? k 2m2 ? km ?y ? ? x 2 由? ,得 x p ? ,即 x p ? . k 2 9k ? 81 3 k2 ? 9 ?9 x 2 ? y 2 ? m 2 ?
第 3 页 共 7 页

将点 (

k (k ? 3) m m(3 ? k ) , m ) 的坐标代入 l 的方程得 b ? ,因此 xM ? 3 3 3(k 2 ? 9)

四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相评分,即 xP ? ?xM . 于是

?km ? k? ? ?

? ??

k (k ? ?)m ? k? ? ?

,解得 k? ? ? ? ? , k? ? ? ? ? .

因为 ki>0,ki≠3,i=1,2,所以当 l 的斜率为 4-

或 4+

时,四边形 OAPB 为平行四边形.

6.(2015· 新课标全国卷Ⅰ理科· T20)(12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 与直线 y=kx+a(a>0) 交于 M,N 两点, (1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程. (2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 【解析】(1)由题设可得 M(2 或 M(-2 ,a),N(2 ,a). ,a),N(-2 ,a),

又 y′=,故 y= 在 x=2

处的导数值为

,曲线 C 在点(2

,a)处的切线方程为 y-a=

(x-2

),



x-y-a=0.

y= 在 x=-2

处的导数值为 -

, 曲线 C 在点 (-2

,a) 处的切线方程为 y-a=-

(x+2

), 即

x+y+a=0. (2)存在符合题意的点 P,证明如下: 设 P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x2-4kx-4a=0. 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而 k? ? k? ?

y? ? b y? ? b ?kx? x? ? (a ? b)( x? ? x? ) k ( a ? b ) ? ? ? . a x? x? x? x?

当 b=-a 时,有 k1+k2=0, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点 P(0,-a)符合题意. 7.

第 4 页 共 7 页

(2015·重庆高考理科·T21)如题(21)图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点 a 2 b2

分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线交椭圆于 P, Q 两点,且 PQ ? PF1.

(1)若 PF1 ? 2 ? 2, PF2 ? 2 ? 2, 求椭圆的标准方程; (2)若 PF 1 ? PQ , 求椭圆的离心率 e . 【解题指南】 (1)直接根据椭圆的定义即可求出椭圆的长轴长即焦距,从而可求出椭圆的方 程, (2)根据椭圆的定义即可求解. 【解析】 (1)由椭圆的定义, 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4, 故 a ? 2. 设椭圆的半焦距为 c ,由已知 PF 1 ? PF 2, 因此 2c ? F1 F2 ?
2 2

PF1 ? PF2

2

2

?

?2 ? 2 ? ? ?2 ? 2 ?
2

2

? 2 3, 即 c ? 3,

从而 b ? a ? c ? 1 故所求椭圆的标准方程为

x2 ? y ? 1. 4

(2)如答(21)图,设点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上,且 PF 1 ? PF 2, 则

2 x0 2 y0 2 a 2 b 2 2 2 2 ? ? 1, x ? y ? c , 求得 x ? ? a ? 2 b , y ? ? . 0 0 0 0 a 2 b2 c c

由 PF 1 ? PQ ? PF 2 , 得 x0 ? 0 ,从而

第 5 页 共 7 页

b 2 ?a 2 ? PF1 ? ? a ? 2b 2 ? c ? ? 2 ?c ? c

2

4

? 2(a 2 ? b 2 ) ? 2a a 2 ? 2b 2 ? a ? a 2 ? 2b 2

?

?.
2

由椭圆的定义, PF 1 ? PF 2 ? 2a, QF 1 ? QF 2 ? 2a. 从而由

PF1 ? PQ ? PF2 ? QF2 , 有 QF1 ? 4a ? 2 PF1 , 因此
(2 ? 2) PF1 ? 4a, 即 (2 ? 2)(a ? a 2 ? 2b2 ) ? 4a,
于是 (2 ? 2)(1 ? 2e2 ? 1) ? 4, 解得

1? ? 4 ? e? ?1 ? ? ? 2? ? ? 2 ? 2 ?1 ?

2

? ? ? 6 ? 3. ? ?
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a 2 b2

8. (2015·重庆高考文科·T21)如题(21)图,椭圆

点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线交椭圆于 P, Q 两点,且 PQ ? PF1.

(1)若 PF1 ? 2 ? 2, PF2 ? 2 ? 2, 求椭圆的标准方程; (2)若 PQ ? ? PF1 , 且

3 4 ? ? ? , 试确定椭圆离心率 e 的取值范围. 4 3

【解题指南】 (1)直接根据椭圆的定义即可求出椭圆的长轴长即焦距,从而可求出椭圆的方 程, (2)将离心率整理成关于 ? 的函数,然后根据函数的单调性进行根求解. 【解析】 (1)由椭圆的定义, 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4, 故 a ? 2. 设椭圆的半焦距为 c ,由已知 PF 1 ? PF 2, 因此 2c ? F1 F2 ?
2 2

PF1 ? PF2

2

2

?

?2 ? 2 ? ? ?2 ? 2 ?
2

2

? 2 3, 即 c ? 3,

从而 b ? a ? c ? 1 故所求椭圆的标准方程为

x2 ? y ? 1. 4

第 6 页 共 7 页

(2)如答(21)图,由 PF1 ? PQ, PQ ? ? PF 1 ,得

QF1 ?

PF1 ? PQ ? 1 ? ? 2 PF1 .

2

2

由椭圆的定义, PF 1 ? PF 2 ? 2a, QF 1 ? QF 2 ? 2a. 从而有

PF1 ? PQ ? QF1 ? 4a,
于是 1 ? ? ? 1 ? ? 2 PF 1 ? 4a, 解得 PF1 ?

?

?

4a 1? ? ? 1? ? 2

,故

PF2 ? 2a ? PF1 ?
由勾股定理得

2a(? ? 1 ? ? 2 ? 1) 1? ? ? 1? ? 2

.

PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? (2c) 2 ? 4c 2 ,

2

2

2

? ? ? 2a(? ? 1 ? ? 2 ? 1) ? 4a 从而 ? ? ? 4c 2 ? ?? 2 2 ? ? ? 1? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? 1? ? ?
两边除以 4 a ,得
2

2

2

?1 ? ? ?

4 1? ? 2

?

2

? ? ? 1 ? ? 2 ?1 ? ?? ? ? e2 . ? 1? ? ? 1? ? 2 ? ? ?

2

若记 t ? 1 ? ? ? 1 ? ? 2 , 则上式变成

4 ? (t ? 2)2 ?1 1 ? 1 e ? ? 8? ? ? ? . 2 t ?t 4? 2
2

2



3 4 1 1 1 ? ? ? , 并注意到 1 ? ? ? 1 ? ? 2 关于 ? 的单调性,得 3 ? t ? 4,即 ? ? . 4 3 4 t 3

进而

1 5 2 5 ? e2 ? ,即 ?e? . 2 9 2 3

第 7 页 共 7 页



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