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高中数学必修2第二章 章末检测(B版)


第二章

平面几何初步(B)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如图直线 l1,l2,l3 的倾斜角分别为 α1,α2,α3,则有(

)

A.α1<α2<α3 B.α1<α3<α2 C.α3&l

t;α2<α1 D.α2<α1<α3 2.直线 x+2y-5=0 与 2x+4y+a=0 之间的距离为 5,则 a 等于( ) A.0 B.-20 C.0 或-20 D.0 或-10 3.若直线 l1:ax+3y+1=0 与 l2:2x+(a+1)y+1=0 互相平行,则 a 的值是( ) A.-3 B.2 C.-3 或 2 D.3 或-2 4.下列说法正确的是( ) A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 B.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 x y C.不经过原点的直线都可以用方程 + =1 表示 a b D.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)= (x-x1)(y2-y1)表示 5. 过点 M(2,1)的直线与 x 轴, y 轴分别交于 P, Q 两点, 且|MP|=|MQ|, 则 l 的方程是( ) A.x-2y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x+y-5=0 D.x+2y-4=0 6.点 A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标是( ) A.(-3,4,-10) B.(-3,2,-4) 3 1 1 ? C.? D.(6,-5,11) ?2,-2,2? 7.若过点(1,2)总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2-15=0 相切,则实数 k 的取 值范围是( ) A.k>2 B.-3<k<2 C.k<-3 或 k>2 D.以上都不对 8.如果 AC<0 且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.直线 l:ax-y+b=0,圆 M:x2+y2-2ax+2by=0,则 l 与 M 在同一坐标系中的图 形可能是( )

10.将直线 2x-y+λ=0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x2+y2+2x-4y=0 相切,则实数 λ 的值为( ) A.-3 或 7 B.-2 或 8 C.0 或 10 D.1 或 11 11. 若圆 x2+y2=4 和圆 x2+y2+4x-4y+4=0 关于直线 l 对称, 则直线 l 的方程为( ) A.x+y=0 B.x+y-2=0 C.x-y-2=0 D.x-y+2=0 12.直线 y=x+b 与曲线 x= 1-y2有且只有一个公共点,则 b 的取值范围是( ) A.|b|= 2 B.-1<b<1 或 b=- 2 C.-1<b≤1 D.-1<b≤1 或 b=- 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.点 M(1,2,-3)关于原点的对称点是________. 14.原点 O 在直线 l 上的射影为点 H(-2,1),则直线 l 的方程为________. 15.经过点(-5,2)且横、纵截距相等的直线方程是__________________. 16.两圆 x2+y2+4y=0,x2+y2+2(a-1)x+2y+a2=0 在交点处的切线互相垂直,那么 实数 a 的值为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知三条直线 l1:x-2y=0,l2:y+1=0,l3:2x+y-1=0 两两相交,先画 出图形,再求过这三个交点的圆的方程.

18.(12 分)在三棱柱 ABO-A′B′O′中,∠AOB=90° ,侧棱 OO′⊥面 OAB,OA= OB=OO′=2.若 C 为线段 O′A 的中点,在线段 BB′上求一点 E,使|EC|最小.

19.(12 分)如图,已知△ABC 中 A(-8,2),AB 边上中线 CE 所在直线的方程为 x+2y- 5=0,AC 边上的中线 BD 所在直线的方程为 2x-5y+8=0,求直线 BC 的方程.

20.(12 分)已知动直线 l:(m+3)x-(m+2)y+m=0 与圆 C:(x-3)2+(y-4)2=9. (1)求证:无论 m 为何值,直线 l 与圆 C 总相交. (2)m 为何值时,直线 l 被圆 C 所截得的弦长最小?请求出该最小值.

21.(12 分)矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为 x-3y -6=0,点 T(-1,1)在 AD 边所在直线上. (1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程.

22.(12 分)已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求此切线的方程. (2)从圆 C 外一点 P(x1, y1)向该圆引一条切线, 切点为 M, O 为坐标原点, 且有|PM|=|PO|, 求使得|PM|取得最小值的点 P 的坐标.

第二章

平面解析几何初步(B)

答案

1.B 2.C 3.A 4.D [斜率有可能不存在,截距也有可能不存在.] 5.D [由题意可知 M 为线段 PQ 的中点,Q(0,2),P(4,0),可求得直线 l 的方程 x+ 2y-4=0.] 6.A [设点 A 关于点(0,1,-3)的对称点为 A′(x,y,z),则(0,1,-3)为线段 AA′ x+3 y-2 4+z 的中点,即 =0, =1, =-3,∴x=-3,y=4,z=-10. 2 2 2 ∴A′(-3,4,-10).] 7.C [由题意知点在圆外,故 12+22+k+2× 2+k2-15>0,解得 k<-3 或 k>2.] A C 8.C [将原直线方程化为斜截式为 y=- x- ,由 AC<0 且 BC<0,可知 AB>0,直 B B

线斜率为负,截距为正,故不过第三象限.] 9.B [由直线的斜率 a 与在 y 轴上的截距 b 的符号,可判定圆心位置,又圆过原点, 所以只有 B 符合.] 10.A [直线 2x-y+λ=0 沿 x 轴向左平移 1 个单位得 2x-y+λ+2=0, |-2+λ| 圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心为 C(-1,2), r= 5, d= = 5, λ=-3, 或 λ=7. ] 5 11.D [l 为两圆圆心连线的垂直平分线,(0,0)与(-2,2)的中点为(-1,1),kl=1, ∴y-1=x+1,即 x-y+2=0.] 12.D [如图,由数形结合知,选 D.]

13.(-1,-2,3) 14.2x-y+5=0 解析 所求直线应过点(-2,1)且斜率为 2,故可求直线为 2x-y+5=0. 2 15.y=- x 或 x+y+3=0 5 解析 不能忽略直线过原点的情况. (1)直线过原点时,设方程为 y=kx,从 2 而求得 k=- . 5 x y (2)直线不过原点时,设方程为 + =1, a a 求得 a=-3. 16.-2 解析 两圆心与交点构成一直角三角形,由勾股定理和半径范围可知 a=-2. 17.解

l2 平行于 x 轴,l1 与 l3 互相垂直.三交点 A,B,C 构成直角三角形,经过 A,B,C 三 点的圆就是以 AB 为直径的圆. ? ? ?x-2y=0, ?x=-2, 解方程组? 得? ?y+1=0 ?y=-1. ? ? 所以点 A 的坐标是(-2,-1). ? ? ?2x+y-1=0, ?x=1, 解方程组? 得? ?y+1=0 ?y=-1. ? ? 所以点 B 的坐标是(1,-1). 1 ? 线段 AB 的中点坐标是? ?-2,-1?, 又|AB|= ?-2-1?2+?-1+1?2=3. 1?2 2 9 所求圆的标准方程是? ?x+2? +(y+1) =4. 18.解

如图所示, 以三棱原点,以 OA、OB、OO′所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz. 由 OA=OB=OO′=2,得 A(2,0,0)、B(0,2,0)、O(0,0,0), A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、O′(0,0,2). 由 C 为线段 O′A 的中点得 C 点坐标为(1,0,1),设 E 点坐标为(0,2,z), ∴|EC|= ?0-1?2+?2-0?2+?z-1?2 = ?z-1?2+5. 故当 z=1 时,|EC|取得最小值为 5. 此时 E(0,2,1)为线段 BB′的中点. 19.解 设 B(x0,y0), x0-8 y0+2? 则 AB 中点 E 的坐标为? ? 2 , 2 ?, 2x -5y0+8=0 ? ? 0 由条件可得:?x0-8 , y0+2 +2· -5=0 ? 2 ? 2
? ? ?2x0-5y0+8=0 ?x0=6 得? ,解得? ,即 B(6,4),同理可求得 C 点的坐标为(5,0).故所 ?x0+2y0-14=0 ?y0=4 ? ? y-0 x-5 求直线 BC 的方程为 = ,即 4x-y-20=0. 4-0 6-5 ? ? ?x-y+1=0, ?x=2, 20. (1)证明 直线 l 变形为 m(x-y+1)+(3x-2y)=0. 令? 解得? ? ? ?3x-2y=0, ?y=3.

如图所示,故动直线 l 恒过定点 A(2,3). 而|AC|= ?2-3?2+?3-4?2= 2<3(半径). ∴点 A 在圆内,故无论 m 取何值,直线 l 与圆 C 总相交. (2)解 由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小, 即当 AC 垂直直线 l 时,弦长最小. m+3 4-3 此时 kl· kAC=-1,即 · =-1, m+2 3-2 5 解得 m=- . 2 ∴最小值为 2 32-? 2?2=2 7. 5 故 m 为- 时,直线 l 被圆 C 所截得的弦长最小,且最小值为 2 7. 2 21.解 (1)∵AB 所在直线的方程为 x-3y-6=0,且 AD 与 AB 垂直,∴直线 AD 的 斜率为-3. 又∵点 T(-1,1)在直线 AD 上,∴AD 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1),即 3x+y +2=0.

? ? ?x-3y-6=0, ?x=0, (2)由? 得? ?3x+y+2=0 ?y=-2, ? ? ∴点 A 的坐标为(0,-2), ∵矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M(2,0), ∴M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心, 又|AM|= ?2-0?2+?0+2?2=2 2, ∴矩形 ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+y2=8. 22.解 (1)将圆 C 整理得(x+1)2+(y-2)2=2. ①当切线在两坐标轴上的截距为零时, 设切线方程为 y=kx, |-k-2| ∴圆心到切线的距离为 2 = 2, k +1 即 k2-4k-2=0,解得 k=2± 6. ∴y=(2± 6)x; ②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为 x+y-a=0, |-1+2-a| ∴圆心到切线的距离为 = 2, 2 即|a-1|=2,解得 a=3 或-1. ∴x+y+1=0 或 x+y-3=0.综上所述,所求切线方程为 y=(2± 6)x 或 x+y+1=0 或 x+y-3=0. (2)∵|PO|=|PM|, 2 2 2 ∴x2 1+y1=(x1+1) +(y1-2) -2,即 2x1-4y1+3=0,即点 P 在直线 l:2x-4y+3=0 上. 当|PM|取最小值时,即|OP|取得最小值, 此时直线 OP⊥l, ∴直线 OP 的方程为:2x+y=0, 3 x=- , ? 10 2x + y = 0 , ? 解得方程组? 得 3 ?2x-4y+3=0 ? y= , 5 3 3? ∴P 点坐标为? ?-10,5?.

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