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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 2.2向量的减法课件 新人教A版必修4


第二章

平面向量

2.2 向量的减法

1.问题导航 (1)两个向量共线时,如何作出其差向量? → → → (2)点 O,A, B 为平面中的任意三点,则AB= OB-OA对吗? (3)在向量运算中 a+b=c+d,是否有 a-c= d-b 成立?

2.例题导读 P79例4.通过本例学习,学

会作已知向量的和或差.

试一试:教材P81习题2-2 A组T4你会吗?
P80例5.通过本例学习,学会利用向量加减法的几何意义求向 量的和或差的模.

向量的减法

相等 相反

-a

(-b)

相反向量

量a的终点 b的终点

向 向量

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任意两个向量的差向量不可能与这两个向量共线.( (2)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量. ( )√ )√ (3)相反向量是共线向量.( )×

解析:(1)错误.当两个向量共线时,其差向量就与这两个向 量中的任一向量共线,所以该说法错误. (2)正确.因为两个向量的差仍然是一个向量,所以向量a与 向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量. (3)正确.根据相反向量的定义知,该说法正确.

2.下列等式中,正确的个数是( a;⑤a+(-a)=0. A.1 C.3 B.2 D.4

)C

①a+b=b+a;②a-b=b-a;③0-a=-a;④-(-a)=

解析:由向量的加法及几何意义,可得:①a+b=b+a,正 确;由向量的减法及其几何意义,得a-b=-(b-a),即② 错误;0-a=-a,③正确;根据相反向量的定义及性质得- (-a)=a,④正确;而a+(-a)=0≠0,⑤错误.

→ → → → AD 3.OC-OA+CD = ________.

→ → → → → → → → → 解析:OC-OA+CD = (OC- OA)+CD =AC+CD =AD .

2 4.若a与b反向,且|a|=|b|=1,则|a-b|=________.
解析:因为a与b反向,所以|a-b|=|a|+|b|=2.

1.相反向量满足的两个条件
(1)两个向量的方向相反. (2)两个向量的长度相等.

2.相反向量的意义
(1)在相反向量的基础上,可以通过向量加法定义向量减法. (2)为向量的“移项”提供依据.利用(-a)+a=0在向量等式

的两端加上某个向量的相反向量,实现向量的“移项”.

3.对向量减法的三点说明 (1)减法的几何意义 a- b 的几何意义是:当向量 a, b 的起点相同时,从向量 b 的 终点指向向量 a 的终点的向量. (2)与向量加法的关系 a-b=a+(-b),减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. (3)向量减法运算法则 把减向量与被减向量的起点重合,则差向量是从减向量的终点 指向被减向量的终点.

已知向量作差向量
如图,已知向量 a、 b、 c 不共线,求作向量 a+b- c.

(链接教材 P79 例 4)

→ → [解 ] 法一:如图①,在平面内任取一点 O,作OA=a,OB= → → b,OC= c,连接 BC,则CB= b- c.过点 A 作 AD 綊 BC,连接

→ → → → OD,则AD = b- c,所以OD=OA+AD = a+ b- c. → → 法二:如图②,在平面内任取一点 O,作OA= a,AB= b,连 → → → 接 OB,则OB= a+ b,再作OC= c,连接 CB,则CB=a+b- c.

→ → 法三:如图③,在平面内任取一点 O,作OA= a,AB= b,连 → → → → 接 OB,则OB= a+b,再作CB= c,连接OC,则OC= a+ b- c.

方法归纳 求两向量的差向量关键是把两向量平移到首首相接的位置, 然 后利用向量减法的三角形法则来运算. 平移作两向量的差的步骤

此步骤可以简记为“作平移,共起点,两尾连,指被减”.

1. (1)如图,已知向量 a, b, c,求作向量 a- b- c.

→ → → (2)如图所示, O 为△ ABC 内一点,OA= a,OB= b,OC= c, 求作向量 b+ c- a.

→ → → → 解: (1)作向量OA= a, OB= b, 则向量 a-b=BA, 再作向量BC → = c,则向量CA= a- b- c.

→ → → → (2)以OB,OC为邻边作? OBDC,连接 OD,AD,则OD= OB+ → → → → OC= b+ c,AD = OD-OA= b+ c- a.

向量的减法运算
化简下列各式: → → → → (1)(AB+MB)+ (-OB-MO); → → → (2)AB-AD - DC; → → → → (3)(AB-CD )- (AC-BD ). (链接教材 P81 习题 2- 2A 组 T5)

[解 ]

→ → → → → → → (1)法一: 原式=AB+MB+BO +OM= (AB+ BO )+(OM

→ → → → +MB)=AO + OB=AB. → → → → 法二:原式=AB+MB+BO +OM → → → → → → → → → =AB+ (MB+ BO )+OM=AB+MO+OM= AB+0=AB . → → → (2)法一:原式=DB-DC=CB. → → → → → → 法二:原式=AB - (AD +DC)=AB -AC =CB.

→ → → → (3)法一:原式=AB +DC+CA+BD → → → → → → = (AB +BD)+ (DC+CA)=AD + DA=0. → → → → 法二: (AB -CD)- (AC -BD) → → → → → → → → =AB - CD-AC +BD=(AB -AC )-CD+ BD → → → → → =CB- CD+BD=DB+BD= 0.

方法归纳 (1)

(2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相接且相加;②起点相同且相减.做题时,注意观察是 否有这两种形式的向量出现.同时注意向量加法、减法法则的 逆向运用.

→ → → → 2. (1)在平行四边形 ABCD 中, 设AB =a, AD =b, AC= c, BD = d,则下列等式中不正确的是( B ) A. a+ b= c C. b- a= d (2)化简下列各式: → → → → ①OP- OQ+PM-QM; → → → → → → ② (AB+CD )+ (BC+DE)- (EF-EA). B.a-b= d D. c-a= b

解:(1)根据向量加法的平行四边形法则知, → → → → → → → AB+AD = AC, AD -AB=BD , 即 a+b= c, b-a= d.c-a=AC → → → -AB= BC=AD = b,故选 B. → → → → → → → → → (2)①OP- OQ+PM-QM=QP+ PM-QM=QM-QM= 0. → → → → → → → → → → ② (AB+ CD )+ (BC+ DE)- (EF -EA)= (AB+BC)+ (CD +DE ) → → → → → → → → - (EF-EA)=AC+ CE-AF=AE-AF= FE.

用已知向量表示其他向量
→ → → 设 O 是△ ABC 内一点,且OA=a,OB= b,OC= c,若 以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为 D,再 以 OC,OD 为邻边作平行四边形,其第四个顶点为 H.试用 a, → → → b, c 表示DC,OH,BH.
[解] 由题意可知四边形 OADB 为平行四边形, → → → 所以OD=OA+OB=a+b.

→ → → 所以DC=OC-OD= c-(a+ b). 又四边形 ODHC 为平行四边形, → → → 所以OH=OC+OD= c+a+ b. → → → 所以BH=OH-OB= a+ b+ c- b= a+ c.

→ 若题中的条件不变,如何用向量 a,b,c 表示出向量AH?

→ → → → → 解:由例题解析可得OH=OC+OD=c+a+b,则AH=OH- → OA=c+a+b-a=b+c.

方法归纳 用已知向量表示其他向量的三个关注点 (1)搞清楚图形中的相等向量、 相反向量、 共线向量以及构成三 角形三向量之间的关系, 确定已知向量与被表示向量的转化渠 道. (2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合 律、交换律来分析解决问题. (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则. 例如四边形 → → → → ABCD 中,AB+ BC+CD +DA= 0.

3.(1)如图, O 为平行四边形 ABCD 内一 → → → → 点,OA= a,OB=b,OC= c,则OD= a -b+c . ________ (2)如图所示,在五边形 ABCDE 中,若四边 → → 形 ACDE 是平行四边形,且AB= a,AC= b, → → → AE= c,试用向量 a,b,c 表示向量BD ,BC, → → → BE,CD 及 CE.

→ → → → → → → → → 解: (1)因为BA= CD , BA=OA- OB, CD = OD-OC, 所以OD → → → → → → → → -OC= OA-OB,OD=OA- OB+OC,所以OD= a-b+ c. 故填 a-b+ c. (2)因为四边形 ACDE 是平行四边形, → → → → → 所以CD =AE= c,BC= AC-AB= b- a, → → → → → → BE=AE- AB= c- a,CE=AE-AC= c- b, → → → 所以BD =BC+CD = b- a+ c.

易错警示

向量加减法的几何意义应用中的 误区

已知 D,E,F 分别是△ ABC 的边 AB,BC,CA 的中点, 则( A ) → → → A.AD + BE+CF= 0 → → → B.BD -CF+DF= 0 → → → C.AD + CE-CF= 0 → → → D.BD - BE-FC= 0

[解析 ] 点,

因为 D,E,F 分别是△ ABC 的边 AB,BC,CA 的中

→ → → → → → → → 所以AD =DB,CF=ED , FC=DE,FE=DB, → → → → → → 所以AD +BE+CF=DB+ BE+ED = 0,故 A 成立. → → → → → → → → → BD -CF+ DF=BD +DF-CF= BF+FC=BC≠ 0,故 B 不成 立, → → → → → → → → AD +CE- CF=AD +FE=AD + DB=AB≠ 0,故 C 不成立. → → → → → → → BD -BE- FC=ED -DE=ED + ED ≠ 0,故 D 不成立.

[错因与防范 ]

(1)解答本题的过程中,若忽视利用几何图形的

性质和相等向量的定义,则不能推出相等向量,从而导致推导 变形无法进行; 或因应用向量减法的几何意义时字母顺序出错 而导致错误. (2)解答以几何图形为背景的向量加减运算问题, 首先应重视向 量知识与平面几何知识的结合,利用平面几何中线线平行、线 段相等可以推出向量共线,向量相等等结论,为向量式的变形 提供依据.其次,要记准向量减法的几何意义,根据向量减法 的几何意义作两个向量的差的基本步骤:作平移,共起点,两 尾连,指被减.

4.(1)如图所示,O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 的 → → → 交点,设AB= a,DA= b,OC= c,则 b+ c-a 等于 ( A )

→ A.OA → C.OD

→ B.OB → D.OA+ b

(2)如图,在△ABC 中,若 D 是边 BC 的中点,E 是边 AB 上 → → → 0 . 一点,则BE-DC+ ED = ________

解析:(1)法一:因为四边形 ABCD 是平行四边形, → → 所以DA=CB, → → → → → 所以 b+ c=DA+OC=CB+ OC=OB, → → → → → 所以 b+ c- a=OB-AB=OB+ BA=OA.

→ → 法二:因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以AB=DC, → → → → → → → 所以 c- a=OC-AB=OC- DC=OC+CD = OD. → → → 因为DA=b,所以AD =-DA=- b, → → → → 所以OD=OA+AD =OA- b. → → 所以 c- a=OA- b,即 b+c-a=OA. → → → → → → → → → → → (2)BE-DC+ ED =BE+CD +ED = BE+ED +CD =BD +CD , → → → → → 因为BD +CD = 0,所以BE-DC+ED = 0.

→ → → 1.若BA= a,BC= b,则CA等于( D ) A. 0 C. b- a
→ → → 解析:CA=BA-BC= a-b.故选 D.

B.a+b D. a- b

→ → → 2.如图,在四边形 ABCD 中,设AB= a,AD = b,BC= c,则 → DC= ( A )

A. a- b+ c C. a+ b+ c
→ → → → 解析:DC=DA+AB+BC=a-b+c.

B.b-(a+ c) D. b- a+ c

3.已知 a、b 为非零向量,则下列命题中真命题的序号是 ①②④ . ________ ①若|a|+ |b|= |a+b|,则 a 与 b 方向相同; ②若|a|+ |b|= |a-b|,则 a 与 b 方向相反; ③若|a|+ |b|= |a-b|,则 a 与 b 有相等的模; ④若||a|- |b||=|a- b|,则 a 与 b 方向相同.
解析:当 a、 b 方向相同时有 |a|+|b|= |a+b|, ||a|- |b||= |a-b|, 当 a、 b 方向相反时有 ||a|-|b||= |a+ b|,|a|+ |b|= |a-b|, 因此①②④为真命题.


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