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2017年全国高中数学联赛模拟试题05


2017 年全国高中数学联赛模拟试题 05 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.

x2 ? 2 x ? 3 ( x ? R) 的值域是 1.函数 y ? 2 x ? 4x ? 5
2.函数 y ? tan(2013x) ? tan(2014 x) ? tan(2015 x

) 在 [0, ? ] 中的零点个数为
* 3.设 P 2k ?2 是 P 1, P 2 是平面上的两点, P 2 k ?1 是 P 2 k 关于 P 1 的对称点, P 2 k ?1 关于 P 2 的对称点, k ? N ,

若 | PP 1 2 |? 1 ,则 | P 2013 P 2014 |? 4.设动点 P(t ,0), Q(1, t) ,其中参数 t ?[0,1] ,则线段 PQ 扫过的平面区域的面积是 5.从正十二边形的顶点中取出 4 个顶点,它们两两不相邻的概率是 6.一个球外接于四面体 ABCD ,另一半径为 1 的球与平面 ABC 相切,且两球内切于点 D ,已知 AD ? 3 ,

4 1 ,则四面体 ABCD 的体积为 cos ?BAC ? ,cos ?BAD ? cos ?CAD ? 5 2

7.设AB是抛物线y 2 =2 px的一条焦点弦,且AB与x轴不垂直,P是y轴上异于O的一点 y +y 满足O,P,A,B四点共圆,点A,B,P的纵坐标分别为y1 ,y2 ,y0 ,则 1 2 =____ y0
( s) 8. 用 ? 表示非空整数集 S 中所有元素的和,设 A ? ?a1 , a2 ,?a11? 是正整数集,
且 a1 ? a2 ? ? a11 ,若对每个正整数 n ? 1500 ,存在 A 的子集 S,使得 ? ( S ) ? n , 则满足上述要求的 a10 的最小值为 .

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. (本小题满分 16 分)已知 x, y, z 是正实数,求证:

z?y x?z y?x ? ? ?0 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x

10. (本小题满分 20 分)设 x1 , x2 ,?, xn ,? 是不同的正实数. 证明: x1 , x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数 n (? 2) ,都有
2 2 xn ? x12 x1 n?1 xn ? ? 2 x2 k ?1 xk xk ?1 x2 ? x12

x2 y2 ? ? 1 交于 A, B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F 、倾 16 11 斜角为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程.
11. (本小题满分 20 分)已知直线 y ? x 与椭圆 C:

2017 年全国高中数学联赛模拟试题 05 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分)如图, ?ABC 的外心为 O , E 是 AC 的中点,直线 OE 交 AB 于 D ,点 M , N 分别 是 ?BCD 的外心与内心,若 AB ? 2 BC ,证明: ?DMN 为直角三角形.
C F E N M A D H B P

O 二、 (本小题满分 40 分) 对给定的自然数 m 与 n , m < n ,任意一个由 n 个连续整数组成的集合都含有两个不同的数,它们的乘 积能被 mn 整除.

三、 (本小题满分 50 分) 求证:数列 an =3n cos ? n arccos

? ?

1? (n ? N * ) 的每一项都是整数,但都不是 3 的倍数 ? 3?

四、 (本小题满分 50 分) 圆周上有 n 个点,用弦两两连结起来,其中任何 3 条弦都不在圆内共点,求由此形成的互不重叠的圆内 区域的个数.

2017 年全国高中数学联赛模拟试题 05 第一试参考解答 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.

x2 ? 2 x ? 3 ( x ? R) 的值域是 x2 ? 4 x ? 5 x2 ? 2 x ? 3 ? ( y ? 1) x 2 ? (4 y ? 2) x ? 5 y ? 3 ? 0 (1) y ? 1 时,该方程有解(2) y ? 1 时,因为 x ? R ,所 解:由 y ? 2 x ? 4x ? 5 以 ? ? (4 y ? 2)2 ? 4( y ?1)(5 y ? 3) ? 0 ? y 2 ? 4 y ? 2 ? 0 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 所 以 , 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2
1.函数 y ? 且 y ? 1 综合(1)(2) 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 ,故答案为 [2 ? 2, 2 ? 2]

x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 2)2 ? 2( x ? 2) ? 3 ,令 x ? 2 ? tan ? ,则 ? x2 ? 4 x ? 5 ( x ? 2)2 ? 1 tan 2 ? ? 2 tan ? ? 3 y? ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 3cos 2 ? ? 2 ? sin 2? ? cos 2? tan 2 ? ? 1 ? ? 2 ? 2 sin(2? ? ) ,故该函数的值域为 [2 ? 2, 2 ? 2] 4 2 x ? 2 x ? 3 x 2 ? 4 x ? 5 ? 2( x ? 1) 2( x ? 1) 法三: y ? 2 (1) x ? ?1 时, y ? 1 ? ? 1? 2 2 x ? 4x ? 5 x ? 4x ? 5 ( x ? 1) ? 2( x ? 1) ? 2 2 2 2 |?| x ? 1| ? ?2 2 (2) x ? ?1 时, y ? 1 ? ,因为 | ( x ? 1) ? 2 x ?1 | x ? 1| ( x ? 1) ? ?2 x ?1 2 2 2 ? ?2 2 或 x ? 1 ? ? 2 2 所以 ( x ? 1) ? ?2 ? 2?2 2 所以 x ? 1 ? x ?1 x ?1 x ?1 2 2 2 2 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 所以, 或 ( x ? 1) ? 且 ? ? ?0 2 2 x ?1 2 ? 2 2 ( x ? 1) ? 2 ? 2 2 ?2 ( x ? 1) ? ?2 x ?1 x ?1 2 2 即 ? 2 ?1 ? ? 2 ?1 且 ? 0 所以, 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 且 y ? 1 2 2 ( x ? 1) ? ?2 ( x ? 1) ? ?2 x ?1 x ?1 综合(1)(2) 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 ,故答案为 [2 ? 2, 2 ? 2]
法二: y ?

2( x 2 ? 2 x ? 1) 法 四 : 求 导 y' ? 2 , 该 函 数 在 区 间 (? ?, ?1 ? 2 及 ] [?1 ? 2, ??) 上 单 调 递 增 , 在 区 间 ( x ? 4 x ? 5)2

[?1 ? 2, ?1 ? 2] 上单调递减,计算即得答案为 [2 ? 2, 2 ? 2] 2.函数 y ? tan(2013x) ? tan(2014 x) ? tan(2015 x) 在 [0, ? ] 中的零点个数为 解: y ? tan(2013x) ? tan(2014 x) ? tan(2015 x) sin 2013x sin 2015 x sin 2014 x sin 4028 x sin 2014 x ? ? ? ? ? cos 2013x cos 2015 x cos 2014 x cos 2013x cos 2015 x cos 2014 x sin 2014 x(2cos 2 2014 x ? cos 2013x cos 2015x) ? 由于 cos 2013x cos 2014 x cos 2015x 2cos2 2014 x ? cos 2013x cos 2015x ? cos 4028x ? 1 ? cos 2013x cos 2015x ? 1 ? sin 2013x sin 2015 x ? 0 ? 所以, sin 2014 x ? 0 在 [0, ? ] 上的零点个数即是因为 y ? sin 2014 x 的最小正周期为 ,故 [0, ? ] 之间函数 1007 y ? sin 2014x 的图象有 1007 个周期,每个周期有两个零点,考虑到两个端点为闭区间,故答案为 2015 * 3.设 P 2k ?2 是 P 1 2 |? 1 ,则 1, P 2 是平面上的两点, P 2 k ?1 是 P 2 k 关于 P 1 的对称点, P 2 k ?1 关于 P 2 的对称点, k ? N ,若 | PP | P2013 P2014 |? 解:设 P n 点对应的复数为 zn 由题意: z2 k ?1 ? z2 k ? 2 z1 , z2 k ?1 ? z2 k ?2 ? 2 z2

所以, z2k ?2 ? z2k ? 2( z2 ? z1 ) ? z2k ? z2 ? 2(k ?1)( z2 ? z1 )

z2k ?1 ? 2z1 ? [ z2 ? 2(k ?1)( z2 ? z1 )] ? ?(2k ?1) z2 ? 2kz1 所以, z2k ?2 ? z2k ?1 ? z2 ? 2k ( z2 ? z1 ) ? (2k ?1) z2 ? 2kz1 ? 4k ( z2 ? z1 ) 所以, | P 2 k ?1P 2 k ?2 |?| z2 k ?2 ? z2 k ?1 |?| 4k ( z2 ? z1 ) |? 4k ,所以, | P 2013 P 2014 |? 4024 4.设动点 P(t ,0), Q(1, t ) ,其中参数 t ?[0,1] ,则线段 PQ 扫过的平面区域的面积是 解 : 直线 PQ 的方程为 tx ? ( t ?1) y ? t2 ? 0 , t ? 0 时 , 直线方程为 y ? 0 , t ? 1 时 , 直线方程为 x ? 1 , 故不妨设 t 1? x 0 ? t ? 1 ,直线方程为 y ? ( x ? t ) ? (2 ? x) ? [ ? (1 ? t )] ,对每个 0 ? x ? 1 ,当 t ? (0, x] 变化时 1? t 1? t 0 ? y ? 2 ? x ? 2 1 ? x ,所以 ,线段 PQ 扫过的平面区域是函数 y ? 2 ? x ? 2 1 ? x 及直线 x ? 0, x ? 1, y ? 0
围成的封闭图形,由积分的几何意义
3 1 1 2 4 1 2 1 (2 ? x ? 2 1 ? x ) dx ? [2 x ? x ? (1 ? x ) ] 0 ? ,故答案为 ?0 6 2 3 6 1

5.从正十二边形的顶点中取出 4 个顶点,它们两两不相邻的概率是
4 解:将这十二个点依次标为 A 1, A 2 ,?, A 12 ,从十二个点中取 4 个点的方法数为 C12 ,取出的四个点两两不相邻的
4 包含以下两类,(1)如果不取 A12 点,则从 A1 , A2 ,? A 11 这 11 个点中取 4 个点,两两不相邻,则方法数为 C8 (相当于

把 4 个点插到 7 个点中(2)如果取 A12 点,由于不能取 A 3 ,? A 10 这 9 个点中取三个点,两两不相邻, 1, A 11 ,故从 A2 , A
3 C84 ? C7 7 ? 4 C12 33 6.一个球外接于四面体 ABCD ,另一半径为 1 的球与平面 ABC 相切,且两球内切于点 D ,已知 AD ? 3 , 4 1 ,则四面体 ABCD 的体积为 cos ?BAC ? ,cos ?BAD ? cos ?CAD ? 5 2

3 方法数为 C7 (相当于把三个点插到 6 个点中)故所求概率为

则k1 =

2 p ? y2 -y0 ? y1 -y0 2 p ? y1 -y0 ? = , k2 = ,因为A, P , O, B四点共圆, 2 2 y1 y1 y22 2p 所以,?APB ? ?AOB, tan ?APB ? tan ?AOB

7.设AB是抛物线y 2 =2 px的一条焦点弦,且AB与x轴不垂直,P是y轴上异于O的一点 y +y 满足O,P,A,B四点共圆,点A,B,P的纵坐标分别为y1 ,y2 ,y0 ,则 1 2 =____ y0 p 解:设直线l AB :ky =x - ,与抛物线方程联立得:y 2 -2 pky-p 2 =0,由于y1 ,y2是 2 方程的两根,且y1 ? y2 ,则有y1 y2 =-p 2 ,设直线PA, PB的斜率为k1 ,k2 ,

2 p ? y1 -y0 ? 2 p ? y2 -y0 ? 2 p ? y2 -y1 ? ? k1 -k2 y12 y2 2 ? y1 y2 -y0 ? y1 +y2 ? ? ? tan ?APB ? = = 4 2 2 p ? y1 -y0 ? 2 p ? y2 -y0 ? 1+k1k2 p +4 p ? y1 -y0 ?? y2 -y0 ? 1+ ? 2 2 y1 y2

令y0 =0 ? tan ?AOB=
?

2 p ? y2 -y1 ? y1 y2 p +4 p y1 y2
?
4 2

=

2 ? y2 -y1 ? 3p
?

2 p ? y2 -y1 ? ? ? y1 y2 -y0 ? y1 +y2 ? ? ? p +4 p
4 2

? y1 -y0 ?? y2 -y0 ?

2 ? y2 -y1 ? 3p

p +4 ? y1 -y0 ?? y2 -y0 ?
2

y1 y2 -y0 ? y1 +y2 ?

=

1 3 y1 +y2 =4 y0

? 3 y1 y2 -3 y0 ? y1 +y2 ? =p 2 +4 ? y1 -y0 ?? y2 -y0 ? ,而-p 2 =y1 y2 ? y0 ? y1 +y2 ? =4 y0 2 ?

( s) 8. 用 ? 表示非空整数集 S 中所有元素的和,设 A ? ?a1 , a2 ,?a11? 是正整数集,且 a1 ? a2 ? ? a11 ,若对
每个正整数 n ? 1500 , 存在 A 的子集 S,使得 ? ( S ) ? n ,则满足上述要求的 a10 的最小值为 8.解:令 Sk ? a1 ? a2 ? ? ? ak (1 ? k ? 11) 若 ak ? sk ?1 ? 1, 则不存在 S ? A ,使 ? (S ) ? Sk ?1 ? 1 所以 Sk ? Sk ?1 ? ak ? 2Sk ?1 ? 1 (1) 又由题设得 于是由 (1) 及归纳法易得 Sk ? 2k ?1(1 ? k ? 11) S1 ? a1 ? 1 , 若 S10 ? 750 ,则 a11 ? 750 (否则 750 无法用 ? ( S ) 表示出) , S11 ? S10 ? a11 ? 1500, 所以 S10 ? 750. 又 S8 ? 28 ?1 ? 255, 于是 2a10 ? a9 ? a10 ? S10 ? S8 ? 495 ,所以 a10 ? 248. 另一方面,令 A ? ?1,2,4,8,16,32,64,128,247,248,750?
7 6 0



当 n ? 255 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 时,可找到 S ? ?1, 2, 4,?,128? ,使 ? (S ) ? n. 当 n ? 255 ? 247 ? 502 时,存在 S ? ?1,2,4,?,128,247? ,使 ? (S ) ? n. 当 n ? 502 ? 248 ? 750 时,存在 S ? ?1,2,4,?,128,247, 248? ,使 ? (S ) ? n. 当 n ? 750 ? 750 时,存在 S ? A ,使 ? (S ) ? n. 于是, a10 的最小值为 248。 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.已知 x, y, z 是正实数,求证: 证明:由于

z?y x?z y?x ? ? ?0 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x

1 1 1 1 1 1 ? ? ) ? [( x ? 2 y) ? ( y ? 2 z ) ? ( z ? 2 x)]( ? ? )?9 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x x ? 2 y y ? 2z z ? 2x 1 1 1 ? ? )?3 所以, ( x ? y ? z )( x ? 2 y y ? 2z z ? 2x ( z ? y ) ? ( x ? 2 y ) ( x ? z ) ? ( y ? 2 z ) ( y ? x) ? ( z ? 2 x) ? ? ?3 所以, x ? 2y y ? 2z z ? 2x z?y x?z y?x ? ? ?0 即 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x 1 1 1 法二:令 x ? 2 y ? c, y ? 2 z ? a, z ? 2 x ? b ? x ? (4b ? c ? 2a), y ? (4c ? a ? 2b), z ? (4a ? b ? 2c) 9 9 9 z?y x?z y ? x 1 a ? b ? 2c b ? c ? 2a a ? c ? 2b ? ? ? ( ? ? ) 所以, x ? 2 y y ? 2z z ? 2x 3 c a b (3x ? 3 y ? 3z )(

1 a c a b b c 1 a c a b b c ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 6] ? [2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 6] ? 0 3 c a b a c b 3 c a b a c b z?y ? 0 ,证明过程略 法三、不妨设 x ? y ? z ? 1 ,可将不等式化为 ? 1 ? ( z ? y) 10. (本小题满分 20 分)设 x1 , x2 ,?, xn ,? 是不同的正实数.

证明: x1 , x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数 n (? 2) ,都有 10.必要性:若 x1 , x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列,设 xk ? ar k ?1 ,则

2 2 xn ? x12 x1 n?1 xn ? ? 2 x2 k ?1 xk xk ?1 x2 ? x12

2 x1 n?1 xn r 2( n?1) ? ? x2 k ?1 xk xk ?1 r

?r
k ?1

n ?1

1
2 k ?1

? 1 ? r 2 ? ? ? r 2( n ?2) ?

r

2( n ?1) 2

?1 x ? x = . r ?1 x ?x
2 n 2 2 2 1 2 1

充分性:当 n=2 时,两边都等于 1.当 n=3 时,有

2 2 2 ? x3 x3 ? x12 x1 ? x3 , ? ? ? ? 2 x2 ? x1 x2 x2 x3 ? x2 ? x12

2 化简得 x1 x3 ? x2 ,所以, x1 , x2 , x3 成等比数列 . 假设 x1 , x2 ,? , xn?1 成等比数列( n ? 4 ) ,记 xk ? ar k ?1 ,

k ? 1, 2,?, n ? 1 , xn ? aun ,则

2 2 ?1 1 un ?1 1 1 ? un ? ? 3 ? ? ? 2 n ?5 ? n ? 2 ? ? 2 , r ?r r r r un ? r ? 1

2 2 4 2 n ?6 2 2 2 n?4 2 ? ) ? r n ?3un ? , un ? (r n?1 ? r n?3 )un ? r 2n?4 ? 0 , ?un (1 ? r ? r ? ? ? r ? (r ? 1) ? (un ? 1)r ? un ? r n?1 ?? un ? r n?3 ? ? 0 ,因为 un ? 0 ,所以 un ? r n?1 ,即 xn ? ar n?1 ,从而 x1, x2 ,?, xn 成等比数列.

由数学归纳法知, x1 , x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列.

x2 y2 ? ? 1 交于 A, B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F 、倾 16 11 斜角为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程. 解 (1)直线 MN 的倾斜角为 ? ,记 ?MFO ? ? ,则 ? ? ? ? ? , 2ab2 2ab2 ? | MN |? 2 ? .而 AB 与 MN 所成的角为 ? ? ,则四边形 MANB 面积 2 2 2 2 2 4 a ? c cos ? a ? c cos ? 1 ? sin ? ? cos ? S MANB ? | AB | ? | MN | sin( ? ? ) ? 2 | OA | ?ab 2 ? 2 .…………5 分 2 2 2 4 a ? c cos ? ? 4 33 4 33 ? 4 66 ? 而 a 2 ? 16, b 2 ? 11 , c 2 ? 5 ,A 点坐标为 ? ? 9 , 9 ? ,且 | OA |? 9 , ? ?
11. (本小题满分 20 分)已知直线 y ? x 与椭圆 C:

352 33 sin ? ? cos? 352 33 sin ? ? cos? , ? ? ? 9 9 16 ? 5 cos2 ? 16 ? 5 cos2 ? 4 33 4 33 其中 0 ? ? ? arctan 或 arctan ? ? ? ? .……………10 分 4 33 ? 9 5 4 33 ? 9 5 ? ? sin ? ? cos ? 4 33 ,? ? ( 2 )记 f (? ) ? ,而 f (? ) 只可能在 ? ? ?arct an 2 ? 时才可能取到最大值.对 16 ? 5 cos ? 4 33 ? 9 5 ? ? 2 (cos? ? sin ? )(16 ? 5 cos ? ) ? (sin? ? cos? )(10cos? sin ? ) f (? ) 求导数得到: f ?(? ) ? . (16 ? 5 cos2 ? ) 2 2 令 f ?(? ) ? 0 ,则有 (1 ? tan? )(16 tan ? ? 11 ) ? (tan? ? 1)(10 tan? ) ? 0 . ……15 分
从而, S MANB ?

16 tan3 ? ? 6 tan2 ? ? 21tan? ? 11 ? 0 .所以 (2 tan? ? 1)(8 tan2 ? ? tan? ? 11) ? 0 . 1 2 而 8 tan ? ? tan? ? 11 ? 0 无实根,则 tan ? ? ? . 2 ? ? 1 4 33 ,? ? 经检验 tan ? ? ? ,符合 ? ? ?arct an . 2 4 33 ? 9 5 ? ? ?
化简得到 故所求直线 l 的方程为: y ? ?

1 5 x? . 2 2

……………………20 分

2017 年全国高中数学联赛模拟试题 05 加试参考答案 一、 (本小题满分 40 分) 如图, ?ABC 的外心为 O , E 是 AC 的中点,直线 OE 交 AB 于 D ,点 M , N 分别是 ?BCD 的外心与内心, 若 AB ? 2 BC ,证明: ?DMN 为直角三角形.

? 证: 由于点 O, M 皆在 BC 的中垂线上, 设直线 OM 交 BC 于 P , 交? M 于 F , 则 P 是 BC 的中点,F 是 BC C 的中点; 因 N 是 ?BCD 的内心,故 D, N , F 共线,且 FP ? BC .
又 OE 是 AC 的中垂线,则 DC ? DA ,而 DF , OE 为 ?BDC 的内、外角平分线, 故有 OD ? DF ,则 OF 为 ? M 的直径,所以, OM ? MF ,又因
E F

N 1 1 P ?BDC ? ?DBC ? ?NBF , 2 2 M 则 NF ? BF . 作 NH ? BD 于 H ,则有, B D H A 1 DH ? ? BD ? DC ? BC ? O 2 1 1 1 1 ? ? BD ? DA ? BC ? ? ? AB ? BC ? ? BC ? BP ,且 ?NDH ? ?BDC ? ?FBP , 2 2 2 2 所以, Rt ?NDH ? Rt ?FBP ,故得 DN ? BF ? NF ,因此, MN 是 ?FOD 的中位线,从而 MN ∥ OD , 而 OD ? DN ,则 MN ? DN .故 ?DMN 为直角三角形. 证二:记 BC ? a, CD ? b, BD ? c ,因 DE 是 AC 的中垂线,则 AD ? CD ? b ,由条件 b ? c ? 2a ? ○ 1 延长 DN 交 ? M 于 F ,并记 FN ? e, DN ? x ,则 FB ? FC ? FN ? e ,对圆内接四边形 BDCF 用托勒密

?BNF ?

定理得 FC ? BD ? FB? CD ? BC? DF ,即 ec ? eb ? a? x? e 2 ,由 ○ 1 、○ 2 得 2ae ? a ? x ? e? ,所以 ? ?? ○

x ? e ,即 N 是弦 DF 的中点,而 M 为外心,所以 MN ? DF ,故 ?DMN 为直角三角形.
二、 (本小题满分 40 分) 对给定的自然数 m 与 n , m < n ,任意一个由 n 个连续整数组成的集合都含有两个不同的数,它们的乘积能 被 mn 整除. 这 n 个数中,必有 n 的倍数 a i 和 m 的倍数 a j ; (1)若 i ? j ,则 mn ai a j ;

证明:设 n 个连续整数为 a1 ? a2 ? ? ? an ,则 n ? a n ? ?a 1 ? 1? ,由 m ? n 有 m ? an ? ? a1 ? 1? ,于是,在

三、 (本小题满分 50 分) 求证:数列 an =3n cos ? n arccos

? ?

1? (n ? N * ) 的每一项都是整数,但都不是 3 的倍数 ? 3?

四、 (本小题满分 50 分) 圆周上有 n 个点,用弦两两连结起来,其中任何 3 条弦都不在圆内共点,求由此形成的互不重叠的圆内 区域的个数


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