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2013年普通高等学校招生全国统一考试--理科数学(山东卷)含答案


2013 山东理科含答案

2013 年山东高考数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题分,满分 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 (1)复数 z 满足(z-3)(2-i)=(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数为( D ) A 2+i B2-i C +i D-i C)

(2)设集合 A=

{0,1,2},则集合 B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( A1 B3 C D9 (3)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+

1 ,则 f(-1)= ( x

A

)

(A)-2

(B)0

(C)1

(D)2

(4)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为

9 ,底面积是边长为 4
B )

3 的正

三角形,

若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( (A)

5? 12

(B)

? 3

(C)

? 4

(D)

? 6 ? 个单位后,得到一个偶函数的图像,则 ? 的一个 8

()将函数 y=in(2x + ? )的图像沿 x 轴向左平移 可能取值为 B

(A)

3? 4

(B)

? 4

(C)0

(D) ?

?
4

?2x ? y ? 2 ? 0 ? (6)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组: ? x ? 2y ? 1 ? 0 ,所表示的区域上一动点,则直线 ? 3x ? y ? 8 ? 0 ?
OM 斜率的最小值为 (C) ? C

(A)2

(B)1

1 3

(D) ?

1 2
B

(7)给定两个命题 p、q,若﹁p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是﹁q 的 (A)充分而不必条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

-1-

2013 山东理科含答案

(8)函数 y=xx + inx 的图象大致为

D (A )

(B) (C) (D) 2 2 ( 9 ) 过 点 ( 3 , 1 ) 作 圆 ( x-1 ) +y =1 的 两 条 切 线 , 切 点 分 别 为 A , B , 则 直 线 AB 的 方 程 为 A (A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0 B

(10)用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A)243 (B)22 (C)261 (D)279

(11)抛物线 C1:y=

x2 1 2 ? y 2 ? 1的右焦点的连线交 C1 于第一象限 x (p>0)的焦点与双曲线 C2: 3 2p
D

的点 M 若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=

(12)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0 则当

xy 2 1 2 取得最大值时, ? ? 的最大值 z x y z
(C)



B

(A)0

(B)1

9 4

(D)3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 (13)执行右面的程序框图,若输入的的值为 02,则输入的 n 的值为

3

(14)在区间[-3,3]上随机取一个数 x,使得 |x+1 |- |x-2 |≥1 成立的概率为 (1)已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120 ,且 | AB |? 3,| AC |? 2, 若

1 3

AP ? ? AB ? AC, 且 AP ? BC ,则实数 ? 的值为

7 12

(16)定义“正对数” : ln x ? ?
? b

?

? 0, 0 ? x ? 1 ,现有四个命题: x ?1 ?ln x,
?

①若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln (a ) ? b ln a

-2-

2013 山东理科含答案

②若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? (ab) ? ln ? a ? ln ? b ③若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ( ) ? ln a ? ln b ④若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? (a ? b) ? ln ? a ? ln ? b ? ln 2 其中的真命题有: ①③④ (写出所有真命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分
?

a b

?

?

(17)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, ,且 a+=6,b=2,B= (Ⅰ)求 a,的值; (Ⅱ)求 in(A-B)的值 解答: (1)由 B=

7 9

7 14 2 2 ac ,又 a+=6,解得 a ? c ? 3 与余弦定理得, a ? c ? 4 ? 9 9 1 4 2 2 2 与正弦定理可得, sin A ? , cos A ? , 3 9 3 10 2 27

(2)又 a=3,b=2, sin B ? 所以 in(A-B)=inAB-AinB=

(18) (本小题满分 12 分) 如图所示, 在三棱锥 P-ABQ 中, PB⊥平面 ABQ, BA=BP=BQ, D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD, PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH。 (Ⅰ)求证:AB//GH; (Ⅱ)求二面角 D-GH-E 的余弦值 解答: (1)因为 C、D 为中点,所以 CD//AB 同理:EF//AB,所以 EF//CD,EF ? 平面 EFQ, 所以 CD//平面 EFQ,又 CD ? 平面 PCD,所以 CD//GH,又 AB//CD,所以 AB//GH (2)由 AQ=2BD, D 为 AQ 的中点可得, △ABQ 为直角三角形, 以 B 为坐标原点,以 BA、BC、BP 为 x、y、z 轴建立空间直 角坐标系,设 AB=BP=BQ=2 ,可得平面 GCD 的一个法向量为 n1 ? (0,2,1) ,平面 EFG 的一个法向量为

n2 ? (0,1, 2) ,可得 cos ? ?

4 4 4 ? ,所以二面角 D-GH-E 的余弦值为 ? 5 5 5 5

(19)本小题满分 12 分 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束除第五局甲队获胜的概 率是

1 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 假设每局比赛结果互相独立 2 3

(1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率 (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为

-3-

2013 山东理科含答案

3:2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 x 的分布列及数学期望 解答: (1) p1 ? C3 ( ) ?
3 3

2 3

8 8 4 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 , p2 ? C3 ( ) ? ? , p3 ? C4 ( ) ( ) ? ? 27 3 3 3 27 3 3 2 27

(2)由题意可知 X 的可能取值为:3,2,1,0 相应的概率依次为: ,

1 4 4 16 7 , , ,所以 EX= 9 27 27 27 9

(20) (本小题满分 12 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1 (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设数列{bn}的前 n 项和 Tn,且 Tn+ n 项和 Rn 解答: (1)由 S4=4S2,a2n=2an+1, {an}为等差数列,可得, a1 ? 1, d ? 2 所以 an ? 2n ? 1

an ? 1 = λ (λ 为常数) ,令 n=b2n, (n∈N? )求数列{n}的前 2n

an ? 1 2n n?2 = λ 可得, b1 ? ? ? 1 ,Tn-1+ n = λ 两式相减可得,当 n ? 2 时, bn ? n ?1 , n 2 2 2 n ?1 4 3n ? 1 所以当 ? ? 0 时,n=b2n= n ?1 ,错位相减法可得,Rn= ? 4 9 9 ? 4 n ?1
(2)由 Tn+

?? ? 1 n ? 1 5 3n ? 1 ? 当 ? ? 0 时,n=b2n= ? n ? 1 ,可得 Rn= ? ? ? 9 9 ? 4 n ?1 n?2 ? n ?1 ?4
(21) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ?

x ? c(e ? 2.71828 e2 x

是自然对数的底数, c ? R)

(1)求 f ( x ) 的单调区间,最大值; (2)讨论关于 x 的方程 | ln x |? f ( x) 根的个数

解答: (1) f ( x ) ?
'

1? 2x 1 ' ,令 f ( x) ? 0 得, x ? , 2x e 2

当 x ? (??, ), f ( x) ? 0, 函数单调递增;
'

1 2

1 1 x?( , ? ?), f ' ( x) ? 0, 函数单调递减; 所以当 x ? 时,函数取得最的最大值 2 2 1 f max ( x ) ? ?c 2e 1 ? c ,然后递减到,而函数|lnx|是(0,1)时由正无 (2)由(1)知,f(x)先增后减,即从负无穷增大到 2e
穷递减到 0,然后又逐渐增大。

-4-

2013 山东理科含答案

故令 f(1)=0 得, c ? ? 所以当 c ? ? 当c ? ?

1 , e2

1 时,方程有两个根; e2

1 时,方程有一两个根; e2 1 当 c ? ? 2 时,方程有无两个根 e
(22) (本小题满分 13 分) 椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 a 2 b2

3 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直 2

线被椭圆 C 截得的线段长为 l (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(,0) ,求的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 p 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 设直 线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明

1 1 为定值,并求出这个定值 ? kk1 kk2

解答: (1)由已知得,

c 3 2b 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a2 ? 4, b2 ? 1 , ? a a 2

所以椭圆方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

(2)由题意可知:

PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM 2 = , = ,设 P( x0 , y0 ) 其中 x0 ? 4 ,将向量 | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |

2 3 2 坐标代入并化简得: ( 4x0 ?16) ? 3x0 ?12x0 ,因为 x0 ? 4,

所以 m ?

3 3 3 x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? ( ? , ) 4 2 2

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

x0 x y0 y0 x 1 1 ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 ,而 k1 ? , k2 ? ,代入 中得: ? 4 4 y0 kk1 kk2 x? 3 x? 3

x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值 kk1 kk2 x0 x0

-5-


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