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待定系数法求递推数列通项公式


第 1 页 共 1 页 最全的待定系数法求递推数列通项

用待定系数法求递推数列通项公式初探

摘要: 本文通过用待定系数法分析求解 9 个递推数列的例题, 得出适用待定系数法求其 通项公式的七种类型的递推数列,用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项 相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。 关键词:变形 对应系数 待定 递推数列

数列在高中数学中占有重要的地位,推导通项公式是学习数列必由之路,特别是根 据递推公式推导出通项公式, 对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点,递推公式 千奇百怪,推导方法却各不相同,灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高,解题 的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和 公式法。但是对比较复杂的递推公式,用上述方法难以完成,用待定系数法将递推公式 进行变形, 变成新的数列等差数列或等比数列。 下面就分类型谈谈如何利用待定系数法 求解几类数列的递推公式。

一、 an ?1 ? pan ? q 型( p、q 为常数,且 pq ? 0, p ? 1 ) 例题 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 1 ,试求其通项公式。 分析:显然,这不是等差或等比数列,但如果在 an ?1 ? 2an ? 1 的两边同时加上 1,整理 为 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , 此时, an ?1 ? 1 和 an ? 1 看作一个整体, 把 或者换元, bn ?1 ? an ?1 ? 1 , 令 那么 bn ? an ? 1 , bn ?1 ? 2bn ,b1 ? a1 ? 1 ? 2 ,因此,数列 ?an ? 1? 或 ?bn ? 就是以 2 为首项, 即 以 2 为公比的等比数列
an ? 1 ? 2 n ,或者 b ? 2n ,进一步求出 a ? 2n ? 1 。 n n

启示:在这个问题中,容易看出在左右两边加上 1 就构成了新的等比数列 ?an ? 1? ,那 不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时,该怎么办呢?

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其实,已知 an ?1 ? 2an ? 1 ,可变形为 an ?1 ? ? ? 2(an ? ? ) 的形式,然后展开括号、移 项后再与 an ?1 ? 2an ? 1 相比较,利用待定系数法可得 2? ? ? ? 1, ? ? 1 。 这样,对于形如 an ?1 ? pan ? q (其中 p、q 为常数,且 pq ? 0, p ? 1 )的递推数列, 先变为 an ?1 ? ? ? p(an ? ? ) 的形式,展开、移项,利用待定系数法有
( p ? 1)? ? q , ? ?
q p ?1



an ?1 ?

q q ? p(an ? ) p ?1 p ?1

? q q ? , 公比为p的 等比数列 则数列 ?an ? ? 首项为 a1 ? p ?1 p ? 1? ?
an ? q q q q ? (a1 ? ) p n ?1即an ? (a1 ? ) p n ?1 ? p ?1 p ?1 p ?1 p ?1

因此,形如 an ?1 ? pan ? q 这一类型的数列,都可以利用待定系数法来求解。 那么,若 q 变为 f (n) , f (n) 是关于 n 非零多项式时,该怎么办呢?是否也能运用待 定系数法呢?

二 a

n ?1

? pa ? qn ? r ( pq ? 0, 且p ? 1) 型 n

例题 2.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 3n ? 1 ,试求其通项公式。 分析:按照例题 1 的思路,在两边既要加上某一常数同时也要加上 n 的倍数,才能使新 的数列有一致的形式。先变为 an?1 ? ? (n ? 1) ? ? ? 2(an ? ? n) ? 1 ,展开比较得 ? ? 3,即
an ?1 ? 3(n ? 1) ? 2(an ? 3n) ? 4

进一步
an?1 ? 3(n ? 1) ? 4 ? 2(an ? 3n ? 4)

则 数 列 ?an ? 3n ? 4? 是 a1 ? 3 ?1 ? 4 ? 8首项为a1 ? 3 ?1 ? 4 ? 8公比为2 的 等 比 数 列 , 所 以

an ? 3n ? 4 ? 8 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 , an ? 2n ? 2 ? 3n ? 4

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同样,形如 a

n ?1

? pa ? qn ? r 的递推数列,设 an ?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y ) 展开、 n

? ( p ? 1) x ? q 移项、整理,比较对应系数相等,列出方程 ? ?( p ? 1) y ? x ? r
q ? x? ? p ?1 ? ? q r ?y ? x ? r ? ? 2 ? p ? 1 ( p ? 1) p ?1 ?
? q q r q q r ? (n ? 1) ? ? ? p ? an ? n? ? 2 2 p ?1 ( p ? 1) p ?1 p ?1 ( p ? 1) p ? 1? ? ?

解得

即 an ?1 ?

? q q r ? q q r n? ? 则数列 ?an ? 为首项,以 p 为公比 ? ? ? 是以 a1 ? 2 2 p ?1 ( p ? 1) p ? 1? p ? 1 ( p ? 1) p ?1 ?

的等比数列。于是就可以进一步求出 ?an ? 的通项。 同理, a 若 也可以构造新的等比数列, ? pa ? f (n) 其中 f (n) 是关于 n 的多项式时, n?1 n 利用待定系数法求出其通项。比如当 f (n) ? qn 2 ? rn ? s =时,可设
an ?1 ? x(n ? 1)2 ? y (n ? 1) ? z ? p(an ? xn 2 ? yn ? z )

展开根据对应系数分别相等求解方程即可。
f (n) 为 n 的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。

而如果当 f (n) 是 n 的指数式,即 f (n) ? q n ? r 时,递推公式又将如何变形呢?

三 a

n ?1

? pa ? rq n ? s 型 ( pqr ? 0, 且p ? 1, q ? 1, p ? q ) n

例题 3.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 3an ? 2n ,试求其通项 an 。 分析 1:由于 an ?1 ? 3an ? 2n 与例题 1 的区别在于 2n 是指数式,可以用上面的思路进行变 形,在两边同时加上 2 ? 2 n 变为 an ?1 ? 2n ?1 ? 3an ? 3 ? 2n 即
an ?1 ? 2n ?1 ? 3(an ? 2n )

则数列 ?an ? 2n ? 是首项为 3,公比为 3 的等比数列 an ? 2 n ? 3n ,则

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a n ? 3n ? 2 n

分析 2:如果将指数式先变为常数,两边同除 2 n?1
an ?1 3an 1 3 an 1 ? ? ? ? ? 2n ?1 2n ?1 2 2 2n 2

就回到了我们的类型一。进一步也可求出 an ? 3n ? 2 n 。

例题 4.在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an ?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 ,试求 ?an ? 的通项 an 。 分析:若按例题 3 的思路 2,在两边同时除以 2 n?1 ,虽然产生了 了

an ?1 a 、 n ,但是又增加 n ?1 2n 2

4 ,与原式并没有大的变化。所以只能运用思路 1,在两边同时加上 10 ? 2 n 整理 n?1 2
an?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 3(an ? 5 ? 2n ) ? 4

进一步
an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)

则数列 ?an ? 5 ? 2n ? 2? 是首项为 15,公比为 3 的等比数列
an ? 5 ? 2n ? 2 ? 15 ? 3n ?1 ? 5 ? 3n



an ? 5(3n ? 2n ) ? 2

启示:已知数列 ?an ? 的首项, an?1 ? pan ? rq n ? s( pqr ? 0且p ? 1, q ? 1, q ? p) 1)当 s ? 0 ,即 an ?1 ? pan ? rq n 由例题 3 知,有两种思路进行变换,利用待定系数法构造 首项和公比已知或可求的等比数列。 思路一:在两边同时除以 q n?1 ,将不含 an ?1和an 的项变为常数,即
an ?1 p an r ? ? ? q n ?1 q q n q

r ? ? ?a q ? ? ? 为前面的类型一,再用类型一的待定系数法思想可得数列 ? n ? 最终求解出 ?an ? n p ? q ? ? 1? q ? ? ? ?

的通项。

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思路二:在两边同时加上 qn 的倍数,最终能变形为 an ?1 ? xq n ?1 ? p (an ? xq n ) 对应系数相等得
( p ? q) x ? r ,即 x ?
r p?q



an ?1 ?

r r ? q n ?1 ? p(an ? ? qn ) p?q p?q

? ? r 求出数列 ?an ? ? q n ? 的通项,进一步求出 ?an ? 的通项。 p?q ? ?

2)当 s ? 0 时,即 an ?1 ? pan ? rq n ? s 由例 4 可知只能在选择思路二,两边既要加 qn 的倍数,也要加常数,最终能变形为
an ?1 ? xq n ?1 ? y ? p(an ? xq n ? y )

比较得 x,y 的方程组
?( p ? q ) x ? r ? ? ( p ? 1) y ? s r ? ?x ? p ? q ? 即? ?y ? s ? p ?1 ?

于是 an ?1 ?

r s r s ? q n ?1 ? ? p(an ? ? qn ? ) p?q p ?1 p?q p ?1

? r s ? 求出数列 ?an ? ? qn ? ? 的通项,进一步求出 ?an ? 的通项。 p?q p ? 1? ?

四: an? 2 ? pan?1 ? qan ? f (n)型 (已知a1 , a2 其中 f (n) 可以为常数、n 的多项式或指数式) 以 f (n) =0 为例。
2 1 例题 5.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an ,试求 ?an ? 的通项。 3 3

分析:这是三项之间递推数列,根据前面的思路,可以把 an?1 看做常数进行处理,可变
1 为 an ? 2 ? an ?1 ? ? (an ?1 ? an ) ,先求出数列 ?an ?1 ? an ? 的通项 3 1 an ?1 ? an ? (? ) n ?1 3

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然后利用累加法即可进一步求出 ?an ? 的通项 an 。 对于形如 an ? 2 ? pan ?1 ? qan 的递推数列,可以设 an ? 2 ? xan ?1 ? y (an ?1 ? xan ) 展开,利用

?x ? y ? p 对应系数相等,列方程 ? ? xy ? q
于 是 数 列 ?an ?1 ? xan ? 就 是 以 a2 ? xa1 为 首 项 , y 为 公 比 的 等 比 数 列 , 不 难 求 出

?an ?1 ? xan ? 的通项进一步利用相关即可求出 an 。
同理, an ? 2 ? pan ?1 ? qan ? f (n) 当 f (n) 为非零多项式或者是指数式时,也可结合前 面的思路进行处理。问题的关键在于先变形
an? 2 ? xan?1 ? y (an?1 ? xan ) ? f (n)

然后把 an ?1 ? xan 看做一个整体就变为了前面的类型。

五: an?1 ? p ? an r ( p ? 1且p ? R ?,r ? 0, r ? 1) 型, ?an ? 为正项数列 例题 6.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? 2an 2 ,试求其通项 an 。 分析:此题和前面的几种类型没有相同之处,左边是一次式,而右边是二次式,关键在 于通过变形, 使两边次数相同, 由于 an ? 0 , 所以可联想到对数的相关性质, an ?1 ? 2an 2 对 两边取对数,即
lg an ?1 ? lg(2an 2 ) ? lg 2 ? lg an 2 ? 2 lg an ? lg 2

就是前面的类型一了,即
lg an?1 ? lg 2 ? 2(lg an ? lg 2)
lg an ? lg 2 ? (lg 2) ? 2n ?1 ? lg 22
n?1

变形得

an ? 2 2

n ?1

?1

对于类似 an?1 ? p ? an r ( p ? 1且p ? R ?,r ? 0, r ? 1) 的递推数列,由于两边次数不一致, 又是正项数列,所以可以利用对数性质,两边同时取对数,得
lg an ?1 ? lg p ? an r ? r lg an ? lg p

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lg p ? ? 然后就是前面的类型一了,就可以利用待定系数法进一步构造数列 ?lg an ?1 ? ? 为已 r ? 1? ? lg p ? ? 知首项和公比的等比数列了。求出 ?lg an ?1 ? ? 最终就可以得出 ?an ? 的通项。 r ? 1? ?

同样,如果将 an?1 ? p ? an r ( p ? 1且p ? R ?,r ? 0, r ? 1) 中的 p 换为指数式 qn 时,同样 可以利用相同的方法。即: an?1 ? q n ? an r (q ? 1且q ? R ?,r ? 0, r ? 1) 两边取对数 变为类型二
lg an ?1 ? lg(q n ? an r ) ? r lg an ? n lg q

lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? r (lg an ? xn ? y)

即可进一步得出 ?an ? 的通项。 以上是一些整式型的递推数列通项公式的求解, 接下来再看看比较复杂的分式型递 推数列。

六: an ?1 ?

ran ? s ( pr ? 0)型 pan ? q
an ,试求其通项 an 。 3an ? 2

例题 7.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

分析:这是一个分式型数列,如果去分母变为 3an ?1an ? 2an ?1 ? an ? 0 后就无法进行处理 了。两边同时取倒数
3a ? 2 1 1 ? n ? 2? ? 3 an ?1 an an

就是前面的类型一了。

?1 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? 3? an ?1 ? an ?

?1 ? 1 所以数列 ? ? 3? 是首项为 ? 3 ? 4 ,公比为 2 的等比数列,不难求出 a1 ? an ?
an ? 1 2
n ?1

?3

例题 8.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

an ? 2 ,试求其通项 an 。 3an ? 2

第 8 页 共 8 页 最全的待定系数法求递推数列通项

分析:此题比例题 7 的区别多了常数项,两边取倒
1 1 ? ?4 ? ?3 an ?1 an ? 2

左右两边

1 1 与 并不一致。但可以对照例题 7 的思路,取倒数之后分母会具有一 an ?1 an ? 2

致的结构,根据等式和分式的性质,我们可在两边同时加上某一常数,整理:
2 ? 2x ? ? (3 x ? 1) ? an ? ? a ?2 3x ? 1 ? ? an ?1 ? x ? n ?x? 3an ? 2 3an ? 2

此时如果

2x ? 2 2 ? x ,那么递推式左边和右边分母就一致了。解方程得 x1 ? ? , x2 ? 1 3x ? 1 3

因此

2? ? ?1? an ? ? 2 3? an?1 ? ? ? 3 3an ? 2
an ?1 ? 1 ? (an ?1 ? 1) 4 3an ? 2 (an ?1 ? 1) 4 , 3an ? 2

此时可选择其中一个递推式按照例题 7 的方式进行处理,这里选择 an ?1 ? 1 ? 两边取倒
1 an ?1 ? 1 ? 3an ? 2 1 1 3 ?? ? (an ?1 ? 1) 4 an ? 1 4 4

回到了类型一

3 1 1 3 ? ?? ( ? ) an ?1 ? 1 5 4 an ? 1 5

1

根据类型一的方法易求出:
an ? 4 ? ( ?4) n ?1 ? 1 6 ? ( ?4) n ?1 ? 1

现在我们将两式相比:
an ?1 ? 2 2 an ? 3 ??1? 3 an ?1 ? 1 4 an ? 1

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2? ? ? an ? 3 ? 则数列 ? ? 是我已知首项和公比的等比数列,进一步化简求出 an 。 ? an ? 1 ? ? ?

通过以上两个例题可知,形如 an ?1 ? 的综合能力要求较高。

ran ? s ( pr ? 0) 这一类型的递推数列,对学生 pan ? q

1、如果右边分子缺常数项,即 s ? 0 ,那么直接对两边取倒数即可得:
1 q 1 p ? ? ? an ?1 r an r

此时,若

q q ? 1 ,那就是我们熟悉的等差数列,若 ? 1 ,那就是前面的类型一——用待 r r

定系数法求解。 2、若 s ? 0 , 就需要先变形, 使左边和右边分子结构一致。 两边同时加上某一个常数( x )
(r ? xp )(an ? s ? xq ) r ? px pan ? q

an ?1 ? x ?

然后令

s ? qx ? x ,解出 x 的值。 r ? px

而另一种思路是直接设 an ?1 ?

ran ? s 变形之后为 pan ? q y ( an ? x ) pan ? q

an ?1 ? x ?

然后展开,根据对应项系数相等得二元方程组

? y ? xp ? r ? ? x( y ? q ) ? s
求出 x, y 。 两种思路都是解 x 的一元二次方程,设其解为 x1 , x2 。
an ?1 ? x1 ? y1 (an ? x1 ) y (a ? x2 ) 和an ?1 ? x2 ? 2 n p(an ? q) p(an ? q)

若 x1 ? x2 时,那就只能利用例题 7 的方法,两边取倒数,部分分式整理即可转变为

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类型一。
p(an ? q) p(an ? x1 ) ? p(q ? x1 ) p(q ? x1 ) 1 1 p ? ? ? ? ? an ?1 ? x1 y1 (an ? x1 ) y1 (an ? x1 ) y1 an ? x1 y1

最终求出 an 。 当 x1 ? x2 时, 可以选择其中的一个按照上面的方式进行求解, 但是此时计算量颇大, 于是直接将两式相比得:
an ?1 ? x1 y1 an ? x1 ? ? an ?1 ? x2 y2 an ? x2

?a ? x ? a ?x y 所以数列 ? n 1 ? 是首项为 1 1 ,公比为 1 的等比数列。进一步求出 an 。 a1 ? x2 y2 ? an ? x2 ?

七: an ?1 ?

ran 2 ? s ( pr ? 0, p ? 2r , q 2 ? 4rs ? 0)型 pan ? q

例题 9.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ?

an 2 ? 3 ,试求其通项 an 。 2an ? 2

分析: 本题属于分式非线性递推式, 与类型五又有相似之处, 所以我们可以结合类型五、 六的思路,进行变换: 两边同时加上某个常数,设最终变为:
an ?1 ? x ? ( an ? x ) 2 2 an ? 2

与原式比较,对应系数相等,得
x2 ? 2 x ? 3

解方程得 即有:

x1 ? ?1, x2 ? 3

(an ? 3) 2 an ?1 ? 3 ? 2 an ? 2 an ?1 ? 1 ? (an ? 1) 2 2an ? 2

对单个式子进行处理,无从下手,两式相比得

第 11 页 共 11 页 最全的待定系数法求递推数列通项

an ?1 ? 3 ? an ? 3 ? ?? ? an?1 ? 1 ? an ? 1 ?

2

然后,两边取对数得:
? a ?3? a ?3 an ? 3 lg n ?1 ? lg ? n ? ? 2 lg an ?1 ? 1 an ? 1 ? an ? 1 ?
2

? a ? 3? a ?3 则数列 ?lg n ? lg 5 ,公比为 2 的等比数列。 ? 是首项为 lg 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ?
lg
n?1 an ? 3 ? lg 52 an ? 1

进一步解得

an ?

52 ? 3 5
2n?1

n ?1

?1

? 1? 5

4
2n?1

?1

显然, 按照例题 9 的思路, 形如 an?1 ?

ran 2 ? s ( pr ? 0) 这一类型的参数 p、q、r、s 必 pan ? q

须满足一定的条件,所得方程应有两个不相等的实根。 现在来探讨应该满足哪些条件?
ran 2 ? s r (an ? x) 2 ?x? 设 an ?1 ? x ? ,即: pan ? q pan ? q

ran 2 ? s r (an ? x)2 ?x? pan ? q pan ? q
所以
ran 2 ? xpan ? xq ? s ? ran 2 ? 2rxan ? rx 2
p ? 2r , rx 2 ? qx ? s ? 0

对应系数相等得

方程 rx 2 ? qx ? s ? 0 要满足 ? ? q 2 ? 4rs ? 0 设方程的两根为 x1 , x2 则有

an?1 ? x1 ? an?1 ? x2 ?

r (an ? x1 )2 pan ? q r (an ? x2 )2 pan ? q

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两式相比得

an ?1 ? x1 ? an ? x1 ? ?? ? an ?1 ? x2 ? an ? x2 ?
lg

2

两边取对数得

an ?1 ? x1 a ?x ? 2 lg n 1 an ?1 ? x2 an ? x2

? a ?x ? a ?x 数列 ?lg n 1 ? 是首项为 lg 1 1 ,公比为 2 的等比数列。 a1 ? x 2 ? an ? x2 ? ? a ?x ? 求出 ?lg n 1 ? 的通项再整理一下就得出了 ?an ? 的通项,问题就得以解决了。 ? an ? x2 ?

本文主要是通过例题的分析讲解,并进行归纳总结概括而形成的,是我在平时的学 习中, 通过平时自己的一些积累和参考其他作者的思路,对用待定系数法求解递推数列 的初步探讨和认识。例题的深度层层深入,前面的类型是后面的基础,特别是第一种类 型, 是学习其他几种类型的充分依据,其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进 行求解。

参考文献
[1]李春雷 用不动点法探究递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2006.05 期 [2]用待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2007.07 期 [3]例析待定系数法求解递推数列的通项公式[J].中学数学研究 2009.07 期


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